Apol 2 Equações Diferenciais Ordinárias (tent 1)

Prévia do material em texto

Voltar
WESLEY SOUZA
RU: 3410015
CURSO: BACHARELADO EM QUÍMICA - USA
AVALIAÇÃO »  NOVO
Atenção. Este gabarito é para uso exclusivo do aluno e não deve ser publicado ou compartilhado em redes sociais ou grupo
de mensagens.
O seu compartilhamento infringe as políticas do Centro Universitário UNINTER e poderá implicar sanções disciplinares, com
possibilidade de desligamento do quadro de alunos do Centro Universitário, bem como responder ações judiciais no âmbito
cível e criminal.
 PROTOCOLO: 2023072834100155E3D5A6 WESLEY MARINHO DE SOUZA - RU: 3410015 Nota: 0
Disciplina(s):
Equações Diferenciais Ordinárias
Data de início: 28/07/2023 19:27
Prazo máximo entrega: -
Data de entrega: 28/07/2023 19:28
Questão 1/10 - Equações Diferenciais Ordinárias
Leia o texto:
Considerando os conteúdos do texto-base Equações diferenciais ordinárias: métodos de resolução e 
aplicações sobre equações diferenciais, verifique as afirmações abaixo e assinale com (V) as proposições 
verdadeiras e com (F) as afirmações falsas:
 I. ( ) x = 0 é um ponto singular regular da equação diferencial .
II. ( ) x = 0 é um ponto singular regular da equação diferencial 
III. ( ) x = -4 é um ponto singular irregular da equação diferencial 
 
 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 0.0 Você não pontuou essa questão
Questão 2/10 - Equações Diferenciais Ordinárias
Leia o texto:
Considerando a afirmação e os conteúdos do texto-base Equações diferenciais ordinárias: métodos de 
resolução e aplicações sobre equações diferenciais não homogêneas de segunda ordem, determine a 
solução geral da equação:
 
 
 
 
 
Assinale a alternativa correta: 
Nota: 0.0 Você não pontuou essa questão
Questão 3/10 - Equações Diferenciais Ordinárias
Considerando os conteúdos do livro-base Equações diferenciais ordinárias: métodos de resolução e 
aplicações, sobre transformadas inversas de Laplace, assinale a alternativa com a transformada inversa de 
Laplace de:
 .
 
 
Nota: 0.0 Você não pontuou essa questão
Questão 4/10 - Equações Diferenciais Ordinárias
Considerando os conteúdos do livro-base Equações diferenciais ordinárias: métodos de resolução e 
aplicações, sobre sistemas de equações diferenciais lineares, resolva e assinale a alternativa com a 
solução correta:
 
 
Nota: 0.0 Você não pontuou essa questão
Questão 5/10 - Equações Diferenciais Ordinárias
Leia o texto:
Considerando os conteúdos do texto-base Equações diferenciais ordinárias: métodos de resolução e 
aplicações sobre sistemas de equações diferenciais lineares e o sistema dado:
 
 assinale a alternativa correta:
 
 
Nota: 0.0 Você não pontuou essa questão
Questão 6/10 - Equações Diferenciais Ordinárias
Leia o trecho de texto:
Considerando os conteúdos do livro-base Matemática Avançada - Equações Diferenciais Elementares e 
Transformada de Laplace sobre sistemas de equações diferenciais lineares, assinale a alternativa com a 
solução do sistema de equações diferenciais:
 
 
Nota: 0.0 Você não pontuou essa questão
Questão 7/10 - Equações Diferenciais Ordinárias
Considerando os conteúdos do livro-base Equações diferenciais ordinárias: métodos de resolução e 
aplicações, sobre transformadas inversas de Laplace, assinale a alternativa com a transformada inversa de 
Laplace de: 
 
 
Nota: 0.0 Você não pontuou essa questão
Questão 8/10 - Equações Diferenciais Ordinárias
Considerando os conteúdos do livro-base Equações diferenciais ordinárias: métodos de resolução e 
aplicações, sobre transformadas de Laplace, assinale a alternativa com a transformada 
de: 
 
 
Nota: 0.0 Você não pontuou essa questão
Questão 9/10 - Equações Diferenciais Ordinárias
Considerando os conteúdos do livro-base Equações diferenciais ordinárias: métodos de resolução e 
aplicações, sobre transformadas de Laplace, assinale a alternativa com a transformada de Laplace da 
função:
 
 
Nota: 0.0 Você não pontuou essa questão
Questão 10/10 - Equações Diferenciais Ordinárias
Questão de Laboratório de Experimentos Práticos Interdisciplinares (21/04/2022)
Leia o texto:
Uma aplicação bastante usual do elemento chamado indutor são os circuitos elétricos onde estão os relés, 
em circuitos de comando. É uma lógica em que se aplica esse componente para a partir de uma informação 
comandar, por exemplo, ligar ou desligar um componente maior
 
 
Considerando o texto e os conteúdos da aula de Laboratório de Experimentos Práticos Interdisciplinares 
do dia 21/04/2022, além dos geradores, transformadores e motores, qual outro equipamento possui um 
indutor? Assinale a alternativa correta.
Nota: 0.0 Você não pontuou essa questão
4x2y!! " xy! + 5xy = 0
3x2y!! " 3x(x2 " 1)y! " 8y = 0.
(x2 " 16)y!! + (x + 4)y! + 4y = 0.
A V - F - F
B F - V - V
C V - F - V
D V - V - F
E F - V - F
Afirmação I
são analíticas em
, logo é um ponto singular regular.
Afirmação II 
 são analíticas em
, logo é um ponto singular regular.
Afirmação III 
 temos os pontos singulares
 e
Para o ponto
 são analíticas
que é analítica no ponto
.
 que é analítica no ponto
logo ponto singular regular em x = -4, afirmação é falsa.
(livro-base, p. 107-111)
TB - C
HC - C5

4x2y!! " xy! + 5xy = 0 # y!! " y! + y = 0 # xP(x) = " x2Q(x) =14x
5
4x
1
4
xP(x)$e$x2Q(x)
x = 0
3x2y!! " 3x(x2 " 1)y! " 8y = 0 # y!! " y! + y = 0
(x2"1)
x
8
3x2
xP(x) = "(x2 " 1) x2Q(x) = 83
xP(x)$e$x2Q(x)
x = 0
(x2 " 16)y!! + (x + 4)y! + 4y = 0
y!! + y! + y = 0 # y!! + y! + y = 0
(x+4)
(x2"16)
4
(x2"16)
(x+4)
(x"4)2%(x+4)2
4
(x"4)2%(x+4)2
y!! + y! + y = 01
(x"4)2%(x+4)
4
(x"4)2%(x+4)2
x = 4
x = "4
x = "4 (x " x0)P(x)$e$(x " x0)2 Q(x)
(x + 4)P(x) = =
(x+4)
(x"4)2%(x+4)
1
(x"4)2
x = "4
(x + 4)2Q(x) = =
4(x+4)2
(x"4)2%(x+4)2
4
(x"4)2
x = "4
" 2 + y = 10et
d2y
dt2
dy
dt
A
B
C
D
E
y(t) = et(A + Bt) + 10t2et
y(t) = et(A + Bt) + 10tet
y(t) = et(A + Bt) + 5tet
y(t) = et(A + Bt) + 5t2et
 
Solução 
 
Solução particular
 
substituindo na equação, chega-se a
 
 
Solução geral (livro-base, p. 61-67)
 r2 " 2r + 1 = 0 # raízes r1 = r2 = 1
y(t) = et(A + Bt) + yp
yp = ct2et # y! = ct2et + 2tcet # y!! = ct2et + 4ctet + 2cet
ct2et + 4ctet + 2cet " 2ct2et " 4ctet + ct2et = 10et # 2cet = 10et # c = 5
y(t) = et(A + Bt) + 5t2et
y(t) = Atet + Btet + 5t2et
L"1 { }3s
s2"9
A
B
C
D
E
f(t) = 3 cos 3t
Comentário:
 

f(t) = L"1 { } = 3L"1 { }
L"1 { } = cos at
f(t) = 3 cos 3t
Verdadeira (livro-base,$ p. 132-140)
3s
s2"9
s
s2"9
s
s2"a2
f(t) = 3 cos t
f(t) = cos 3t
f(t) = 5cos3t
f(t) = 2 cos 2t
!""#""$
= x " 4y
= "x + 3y
dx
dt
dy
dt
A
B
C
D
E
X(t) = c1 ( 1 + &5
3
) e(2"&5)t + c2 ( 1 " &5
3
) e(3+&5)t
X(t) = c1 ( 1 + &5
1
) e(2"&5)t + c2 ( 2 " &3
2
) e(2+&3)t
X(t) = c1 ( 1 + &5
1
) e(2"&5)t + c2 ( 1 " &5
1
) e(2+&5)t
 Encontrando os autovalores, calculando o det = 0 para:$
'
'
'
1 " ! "4
"1 3 " !
'
'
'
# !2 " 4! " 1 = 0 # !1 = 2 " &5 !2 = 2 + &5
Cálculo do autovetor com$! = 2 " &5resolvendo o sistema
%
&
"1 + &5 "4 ( 0
"1 1 + &5 ( 0
'
( #
%
&
1 "(1 + &5) ( 0
0 0 ( 0
'
(
Como solução temos o autovetor$K1 = ( 1 + &5
1
)
Cálculo do autovetor com! = 2 + &5resolvendo o sistema
%
&
"1 " &5 "4 ( 0
"1 1 " &5 ( 0
'
( #
%
&
1 "(1 " &5) ( 0
0 0 ( 0
'
(
Como solução temos o autovetor$K2 = ( 1 " &5
1
)
Assim temos como solução:$X(t) = c1 ( 1 + &5
1
) e(2"&5)t + c2 ( 1 " &5
1
) e(2+&5)t
Verdadeira (livro-base, p. 155-162)$
X(t) = c1 ( 1 + &5
1
) e(2"&5)t + c2 ( 2 " &5
1
) e(3+&5)t
X(t) = c1 ( 1 + &5
1
) e(2"&5)t + c2 ( 1 " &3
1
) e(1+&3)t
!""#""$
= 4x " 3y
= 6x + 12y
,
dx
dt
dy
dt
A
B
C
D
E
X(t) = c1 [( "
1
) cos &2 t " (
0
) sen &2 t] e8t + c2 [(
0
) cos &2 t + ( "
1
) sen23 13 13 23
X(t) = c1 [( "
1
) cos &2 t " (
0
) sen &2 t] e8t + c2 [(
0
) cos &2 t + ( "
1
)23 &26 &26 23
 Encontrando os autovalores, calculando o det = 0 para:$
'
'
'
4 " ! "3
6 12 " !
'
'
'
Como é uma matriz triangular temos que$!1 = 8 + &2i !2 =8 " &2i
Cálculo do autovetor com$!1 = 8 + &2i$resolvendo o sistema
%
&
4 " &2i "3 ( 0
6 4 " &2i ( 0
'
( #
%)&
1 " i ( 0
0 0 ( 0
'*(
Como solução temos o autovetor$K1 = ( " + i
1
)
ReK1 = ( "
1
) $e$ImK1 = (
0
)
Solução:$
X(t) = c1 [( "
1
) cos &2 t " (
0
) sen &2 t] e8t + c2 [(
0
) cos &2 t + ( "
1
)
$(livro-base, p. 155-157)$
TB – C$
HC - C5$
2
3
&2
6
2
3
&2
6
2
3
&2
6
2
3
&2
6
&2
6
2
3
X(t) = c1 [( "
1
) cos &2 t " (
0
) sen &2 t] e8t + c2 [( "
1
) cos &2 t + (
0
)23 &26 23 &26
X(t) = c1 [( "
1
) cos 8 t " (
0
) sen 8 t] e&2t + c2 [( "
1
) cos 8 t + (
0
) sen23 &26 23 &26
X(t) = c1 [( "
1
) sen &2 t " (
0
) sen &2 t] e8t + c2 [( "
1
) cos &2t t + (
0
)23 &26 23 &26
!""#""$
= x + 3y
= "x + 5y
dx
dt
dy
dt
A
B
C
D
E
X(t) = c1 ( "32 ) e2t + c2 (
"2
1
) e4t
X(t) = c1 ( 21 ) e2t + c2 (
1
"1
) e4t
X(t) = c1 ( 31 ) e2t + c2 (
1
1
) e4t
 Encontrando os autovalores, calculando o det = 0 para:
'
'
'
1 " ! 3
"1 5 " !
'
'
'
# !2 " 6! + 8 = 0 # !1 = 2 !2 = 4
Cálculo do autovetor com! = 2resolvendo o sistema
%
&
"1 3 ( 0
"1 3 ( 0
'
( #
%
&
1 "3 ( 0
0 0 ( 0
'
(
Como solução temos o autovetor$K1 = ( 31 )
Cálculo do autovetor com$! = 4$resolvendo o sistema$
%
&
"3 3 ( 0
"1 1 ( 0
'
( #
%
&
1 "1 ( 0
0 0 ( 0
'
(
Como solução temos o autovetor$K2 = ( 11 )
Assim temos como solução:$X(t) = c1 ( 31 ) e2t + c2 (
1
1
) e4t
Verdadeira (livro-base,$ p.155-162)$
X(t) = c1 ( 21 ) e2t + c2 (
1
"2
) e4t
X(t) = c1 ( 3"1 ) e2t + c2 (
2
3
) e4t
L"1 { }16(s"4)(s+4)
A
B
C
D
E
f(t) = 4sen(t)
f(t) = 4sen(4t)
 f(t) = L"1 { } = L"1 { }
f(t) = 4L"1 { }
como
L"1 { } = sen kt
temos$
f(t) = 4L"1 { }
f(t) = 4sen 4t
Verdadeira (livro-base,$ p. 132-135)$
16
(s"4)(s+4)
16
s2"42
4
s2"42
k
s2"k2
4
s2"42
f(t) = 16sen(4t)
f(t) = 16sen(16t)
f(t) = 4sen(2t)
L {4e"4t cos 3t}
A
B
C
D
E
4(s+3)
(s+3)2+9
(s+4)
(s+4)2+4
s
(s+4)2+9
4(s+4)
(s+4)2+9
 L {4e"4t cos 3t} = 4L {e"4t cos 3t}
4L {e"4t cos 3t} = 4L {cos 3t} |s#s"("4)
Temos que$L {cos kt} = , logo
L {cos kt} =
Com o deslocamento em s temos$
L {4e"4t cos 3t} = 4L {cos 3t} |s#s"("4) = 4 |s#s"("4)
L {4e"4t cos 3t} =
Verdadeira (livro-base,$ p. 127-135)$
s
s2+k2
s
s2+k2
s
s2+32
4(s+4)
(s+4)2+9
(s+1)
(s+4)2+9
f(t) = { 2 , 0 ) t <
2 + sen (t " ) , t *
"
2
"
2
"
2
A
B
C
D
E
L {f(t)} = + e" s2s
"
2
1
s2+1
 f(t) = 2 + u( )(t)sen (t " )
L {f(t)} = L {2} + L {u( )(t)sen (t " )}
L {f(t)} = + e" sL {sen (t)}
como$L {sen (t)} =
L {f(t)} = + e" s
Verdadeira (livro-base,$ p. 127-135)$
"
2
"
2
"
2
"
2
2
s
"
2
1
s2+1
2
s
"
2 1
s2+1
L {f(t)} = + e" s3
s
"
3
1
s3+1
L {f(t)} = + e" s5
s
3"
2
1
s2+1
L {f(t)} = + e""2
s
1
s2+1
L {f(t)} = +2
s
1
s2+1
Fonte: texto elaborado pelo autor da questão.
A Pilhas
B Alto-falantes
C Turbinas
D Lâmpadas halógenas
E Aquecedores
Comentário: uma outra aplicação também que se utiliza no dia a dia é a transformação da
energia elétrica em energia sonora, através dos alto-falantes (videoaula 1 - 11’15’’).

28/07/2023 18:36
Página 1 de 1