Exercício de Algebra Linear (56)

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A5) Determine o resto da divisão de f (x) = 7x5+ax3+bx2+4x+1 ∈ �[x] por x−2,
sabendo o quociente da divisão é q(x) = 7x4 + cx3 + dx2 + ex + 25 ∈ �[x].
Solução: O resto da divisão por um polinômio de grau 1 só pode ter resto
constante. Suponhamos que o resto dessa divisão seja r(x) = k ∈ �. Devemos ter
f (x) = q(x) · (x − 2) + r(x), ou seja,
7x5 + ax3 + bx2 + 4x + 1 = (7x4 + cx3 + dx2 + ex + 25) · (x − 2) + k.
O termo independente de x do lado esquerdo da última igualdade é igual a 1. Por
outro lado, o termo independente de x do lado direito é igual a 25 · (−2) + k. Logo,
25 · (−2) + k = 1⇒ k − 50 = 1⇒ k = 51 .
A6) Considere a equação de coeficientes inteiros 25x6+bx5+cx4+dx3+ex2+49 = 0
e o conjunto
A =
{
7
10
,
8
5
,
25
49
,
7
25
,
7
3
,
19
7
,
3
25
,
49
5
,
7
8
,
17
5
}
.
Quais os elementos de A que podem ser raı́zes dessa equação?
Solução: Sendo p, q ∈ �, para que pq seja raiz da equação dada, devemos ter
p | 49 e q | 25. Portanto, dos elementos de A, os únicos que têm chance de serem
raı́zes são o 725 e o
49
5 .
A7) Determine as raı́zes das seguintes equações polinomiais:
a) 15x3 + 22x2 − 15x + 2 = 0
b) 4x4 + 19x3 + 23x2 + 41x − 12 = 0
Solução:
a) O termo independente de x da equação f (x) = 15 x3 + 22x2 − 15x+ 2 = 0 é 2 e
o coeficiente do termo de maior grau é 15.
◦ Os divisores de 2 são ±1, ±2
◦ Os divisores de 15 são ±1, ±3, ±5, ±15
◦ As possı́veis raı́zes racionais da equação são os divisores de 2 divididos
pelos divisores de 15, ou seja, são ±1, ±13 , ±
1
5 , ±
1
15 , ±2, ±
2
3 , ±
2
5 , ±
2
15
◦ Substituindo cada uma das possı́veis raı́zes em f (x) obtemos f (−2) = 0,
f (15) = 0 e f (
1
3) = 0.
Logo, as raı́zes da equação são −2, 15 e
1
3 .
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