Aula IV (ASSÍNCRONO)

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AULA 4 – TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
(FUNÇÕES RACIONAIS POR MEIO DE 
FRAÇÕES PARCIAIS)
Profª.Adna Queiroz Sales
queirozadna@gmail.com
DCME – CCEN
Bacharelado em Ciência e Tecnologia | Calculo II – 2020.1 (Remoto)
2
6. INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR 
FRAÇÕES PARCIAIS
Recorde que uma função racional é da forma
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
, onde 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) são polinômio e 𝑞(𝑥) ≠
0. Quando o grau de 𝑝(𝑥) é menor que o grau de 𝑞(𝑥), a função racional
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
é chamada de
função racional própria. Quando o grau de 𝑝(𝑥) é maior que o grau de 𝑞(𝑥), a função racional
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
é chamada de função racional imprópria.
Será descrito um método para calcular ׬
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
𝑑𝑥, onde 
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
é uma função própria. A ideia 
básica é escrever a função racional dada como uma soma de frações mais simples. Para isto, 
alguns resultados de álgebra serão apresentados.
3
Preposição 1. Se um 𝑞(𝑥) é um polinômio com coeficientes reais, 𝑞(𝑥) pode ser escrito como 
o produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais. 
Exemplo: 𝑞 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1)
Definição 1. Um polinômio quadrático é irredutível se não puder ser escrito como o produto 
de dois fatores lineares com os coeficientes reais. 
Definição 2. Toda função racional própria pode ser expressa como uma soma
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
= 𝐹1 𝑥 + 𝐹2 𝑥 +⋯+ 𝐹𝑛 𝑥
onde, 𝐹1 𝑥 , 𝐹2 𝑥 ,… , 𝐹𝑛 𝑥 são funções racionais da forma 
𝐴
(𝑎𝑥+𝑏)𝑘
ou 
𝐴𝑥+𝐵
(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐)𝑘
nos quais os denominadores são fatores de 𝑞(𝑥).
A soma é a decomposição em frações parciais e 
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
de cada termo 𝐹𝑖 𝑥 , 𝑖 = 1, … , 𝑛, é uma 
fração parcial. 
4
Exemplo: 
5𝑥 − 3
𝑥2 − 2𝑥 − 3
=
𝐴
𝑥 + 1
+
𝐵
𝑥 − 3
𝐴 𝑥 − 3 + 𝐵 𝑥 + 1 ≡ 5𝑥 − 3
𝐴𝑥 − 3𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐵 ≡ 5𝑥 − 3
𝑥 𝐴 + 𝐵 − 3𝐴 + 𝐵 ≡ 5𝑥 − 3
É possível verificar que 
𝐴 + 𝐵 = 5 (1)
−3𝐴 + 𝐵 = −3 (2)
Fazendo (1) menos (2) 
4𝐴 = 8 ⇒ 𝐴 = 2
Substituindo o valor de 𝐴 em (1) encontramos que 𝐵 = 3
Logo, 
5𝑥 − 3
𝑥2 − 2𝑥 − 3
=
2
𝑥 + 1
+
3
𝑥 − 3
5
Diretrizes para obter a decomposição de uma função racional 
𝒑(𝒙)
𝒒(𝒙)
em frações 
parciais
1. O grau de 𝑝(𝑥) dever ser menor que o grau de 𝑞(𝑥). Se não for, divida 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥) e
trabalhe com o resto.
2. Deve-se fatorar 𝑞(𝑥) completamente em fatores lineares 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑘 e/ou quadráticos
irredutíveis 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑘 , onde 𝑘 é um inteiro não negativo.
3. As formas das respectivas frações parciais são asseguradas por resultados da álgebra e não
serão demonstrados.
a) Fatores lineares: para cada fator da forma 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑚, onde 𝑚 é a maior potência de 𝑎𝑥 + 𝑏
que divide 𝑞(𝑥), associe a soma de 𝑚 frações parciais
𝐴1
𝑎𝑥 + 𝑏
+
𝐴2
𝑎𝑥 + 𝑏 2
+⋯+
𝐴𝑚
𝑎𝑥 + 𝑏 𝑚
b) Fatores quadráticos: para cada fator da forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑛, onde 𝑛 é a maior potência
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 que divide 𝑞(𝑥), associe a soma de 𝑛 frações parciais
𝐵1𝑥 + 𝐶1
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
+
𝐵2𝑥 + 𝐶2
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 2
+⋯+
𝐵𝑛𝑥 + 𝐶𝑛
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑛
4.𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑚, 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛, 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 são constantes a serem determinadas.
6
1) ׬
1
𝑥2−1
𝑑𝑥
Solução:
1
𝑥2−1
=
𝐴
𝑥+1
+
𝐵
𝑥−1
𝐴 𝑥 − 1 + 𝐵 𝑥 + 1 ≡ 1
𝐴𝑥 − 𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐵 ≡ 1
𝑥(𝐴 + 𝐵) − 𝐴 + 𝐵 ≡ 1
É possível verificar que
𝐴 + 𝐵 = 0 (1)
−𝐴 + 𝐵 = 1 (2)
Fazendo (1) menos (2)
2𝐴 = −1 ⇒ 𝐴 =
−1
2
Substituindo o valor de 𝐴 em (1) encontramos que 𝐵 =
1
2
6.1EXEMPLOS
Logo,
1
𝑥2−1
=
Τ−1 2
𝑥+1
+
Τ1 2
𝑥−1
Portanto,
׬
1
𝑥2−1
𝑑𝑥 = ׬
Τ−1 2
𝑥+1
+
Τ1 2
𝑥−1
𝑑𝑥
=
−1
2
׬
1
𝑥+1
𝑑𝑥 +
1
2
׬
1
𝑥−1
𝑑𝑥
=
1
2
𝑙𝑛 𝑥 − 1 − 𝑙𝑛 𝑥 + 1 + 𝐶
7
Continuação 1)
*Primeira integral que surge
−1
2
׬
1
𝑥+1
𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥 + 1 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
−1
2
׬
1
𝑥+1
𝑑𝑥 =
−1
2
׬
1
𝑢
𝑑𝑢 =
−1
2
𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶 =
−1
2
𝑙𝑛 𝑥 + 1 + 𝐶
*Segunda integral que surge
1
2
׬
1
𝑥−1
𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥 − 1 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
1
2
׬
1
𝑥−1
𝑑𝑥 =
1
2
׬
1
𝑢
𝑑𝑢 =
1
2
𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶 =
1
2
𝑙𝑛 𝑥 − 1 + 𝐶
8
׬ (2
6𝑥+7
𝑥+2 2
𝑑𝑥
Solução:
6𝑥+7
𝑥+2 2
=
𝐴
𝑥+2
+
𝐵
(𝑥+2)2
𝐴 𝑥 + 2 + 𝐵 ≡ 6𝑥 + 7
𝐴𝑥 + 2𝐴 + 𝐵 ≡ 6𝑥 + 7
𝐴𝑥 + 2𝐴 + 𝐵 ≡ 1
É possível verificar que 
𝐴 = 6 (1)
2𝐴 + 𝐵 = 7 (2)
Substituindo o valor de 𝐴 em (2) encontramos que 𝐵 = −5
Logo, 
6𝑥+7
𝑥+2 2
=
6
𝑥+2
+
−5
(𝑥+2)2
Portanto, 
׬
6𝑥+7
𝑥+2 2
𝑑𝑥 = ׬
6
𝑥+2
+
−5
(𝑥+2)2
𝑑𝑥
= ׬6
1
𝑥+2
𝑑𝑥 − ׬5
1
𝑥+2 2
𝑑𝑥
= 6 𝑙𝑛 𝑥 + 2 +
5
𝑥+2
+ 𝐶
9
Continuação 2)
*Primeira integral que surge
׬6
1
𝑥+2
𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥 + 2 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
׬6
1
𝑥+2
𝑑𝑥 = ׬6
1
𝑢
𝑑𝑢 = 6 𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶 = 6 𝑙𝑛 𝑥 + 2 + 𝐶
*Segunda integral que surge
׬5−
1
𝑥+2 2
𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥 + 2 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
׬5−
1
𝑥+2 2
𝑑𝑥 = ׬5−
1
𝑢2
𝑑𝑢 = −5 ∙
𝑢−1
−1
+ 𝐶 = 5
1
𝑢
+ 𝐶 =
5
𝑥+2
+ 𝐶
10
׬ (3
1
𝑥 𝑥2+1
𝑑𝑥
Solução:
1
𝑥 𝑥2+1
=
𝐴
𝑥
+
𝐵𝑥+𝐶
𝑥2+1
𝐴 𝑥2 + 1 + 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑥 ≡ 1
𝐴𝑥2 + 𝐴 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 ≡ 1
𝑥2(𝐴 + 𝐵) + 𝐶𝑥 + 𝐴 ≡ 1
É possível verificar que 
𝐴 + 𝐵 = 0 (1)
𝐶 = 0 (2)
𝐴 = 1 (3)
Substituindo o valor de 𝐴 em (1) encontramos que 𝐵 = −1
Logo, 
1
𝑥 𝑥2+1
=
1
𝑥
+
−𝑥
𝑥2+1
Portanto, 
׬
1
𝑥 𝑥2+1
𝑑𝑥 = ׬
1
𝑥
+
−𝑥
𝑥2+1
𝑑𝑥
= ׬
1
𝑥
𝑑𝑥 − ׬
𝑥
𝑥2+1
𝑑𝑥
= 𝑙𝑛 𝑥 −
1
2
𝑙𝑛 𝑥2 + 1 + 𝐶
11
Continuação 3)
*Segunda integral que surge
׬−
𝑥
𝑥2+1
𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥2 + 1 ⇒ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
׬−
𝑥
𝑢
𝑑𝑢
2𝑥
= −
1
2
׬
𝑑𝑢
𝑢
= −
1
2
𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶 = −
1
2
𝑙𝑛 𝑥2 + 1 + 𝐶
12
׬ (4
2𝑥3−4𝑥2−𝑥−3
𝑥2−2𝑥−3
𝑑𝑥
Solução:
Depois de dividirmos, obtemos
2𝑥3−4𝑥2−𝑥−3
𝑥2−2𝑥−3
= 2𝑥 +
5𝑥−3
𝑥2−2𝑥−3
onde,
5𝑥−3
𝑥2−2𝑥−3
=
𝐴
𝑥+1
+
𝐵
𝑥−3
𝐴 𝑥 − 3 + 𝐵 𝑥 + 1 𝑥 ≡ 5𝑥 − 3
𝐴𝑥 − 3𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐵 ≡ 5𝑥 − 3
𝑥 𝐴 + 𝐵 − 3𝐴 + 𝐵 ≡ 5𝑥 − 3
É possível verificar que 
𝐴 + 𝐵 = 5 (1)
−3𝐴 + 𝐵 = −3 (2)
Fazendo (1) menos (2)
4𝐴 = 8 ⇒ 𝐴 = 2
Substituindo o valor de 𝐴 em (1) encontramos que 𝐵 = 3
Logo, 
5𝑥−3
𝑥2−2𝑥−3
=
2
𝑥+1
+
3
𝑥−3
Portanto, 
׬
2𝑥3−4𝑥2−𝑥−3
𝑥2−2𝑥−3
𝑑𝑥 = ׬ 2𝑥 +
5𝑥−3
𝑥2−2𝑥−3
𝑑𝑥
= ׬ 2𝑥 +
2
𝑥+1
+
3
𝑥−3
𝑑𝑥
= 2𝑥𝑑𝑥׬ + ׬
2
𝑥+1
𝑑𝑥 + ׬
3
𝑥−3
𝑑𝑥
= 2
𝑥2
2
+ 2 𝑙𝑛 𝑥 + 1 + +3 𝑙𝑛 𝑥 − 3 + 𝐶