Questão 40

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Questão 40 – Página 382 AID: 56 | 11/04/2016	
Enunciado:
A região do primeiro quadrante, limitada pelos eixos coordenados, pela reta e pela curva , faz uma rotação em torno do eixo . Ache o volume do sólido gerado.
Solução:
A figura abaixo mostra o sólido obtido após rotação das curvas em torno do eixo .
Notamos que a função pode ser expressa do seguinte modo:
Um elemento de volume é um disco centrado no eixo x de raio de modo que . Aplicando o Teorema 6.1.3 teremos:
 = 
Substituindo os intervalos onde a função existe a integral torna-se:
 =
Usando a identidade trigonométrica: 
 = 
 = 
 = 
 = 
Portanto, o volume do sólido de revolução é unidades cúbicas
(
)
0
1
4
cot
42
x
x
x
fx
p
pp
££
££
ì
=
í
î
()
i
fw
0,
2
x
p
éù
Î
êú
ëû
2
0
1
lim()
n
ii
i
Vfwx
p
D®
=
=D
å
2
2
0
()
fxdx
p
p
ò
42
4
22
0
1cot
dxxdx
pp
p
p
éù
+
êú
ëû
òò
22
cotcossec1
xx
=-
42
4
2
0
cossec1
xxdx
pp
p
p
éù
+-
êú
ëû
òò
]
[
]
{
}
42
4
0
cot
xxx
pp
p
p
+--
4
cotcot
2244
p
pppp
p
ìü
--+-
íý
îþ
p
1
y
=
cot
ygx
=
x