AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (40)

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MA22 - Unidade 11 - Parte 1
Derivação impĺıcita
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
10 de maio de 2013
Derivação impĺıcita
Dada uma equação entre x e y pode ser muito dif́ıcil ou
mesmo imposśıvel encontrar a definição expĺıcita y = f (x), ou
pode haver mais de uma função que satisfaça a equação.
Exemplo:
x2 + y2 = 4⇒ y2 = ±
√
4− x2
No entanto, admitindo a existência de função derivável
y = f (x), a relação pode permitir o cálculo da derivada f ′(x).
A técnica de calcular a derivada dydx a partir de uma relação entre
x e y sem ter uma definição expĺıcita da função é conhecida
como derivação impĺıcita.
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Exemplo 1
Seja y = f (x) função derivável satisfazendo a equação
y3 − xy = 1. Encontre dydx .
Solução: Derivando y3 − xy = 1 obtemos:
3y2
dy
dx
− (1.y + x .dy
dx
) = 0
3y2
dy
dx
− y − x .dy
dx
= 0
dy
dx
(
3y2 − x
)
= y ⇒ dy
dx
=
y
3y2 − x
Portanto, a derivada de f (x) para os pontos em que
3y2 − x 6= 0 é
dy
dx
=
y
3y2 − x
.
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Exemplo 2
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
y3 − 3x2y + x3 = 11
no ponto (2, 3).
O ponto (2, 3) satisfaz à equação: 33 − 3(22)3 + 23 = 11.
Admitindo a existência de uma função y = f (x) derivável que
satisfaça a equação, obtemos sua derivada por derivação
impĺıcita:
y3 − 3x2y + x3 = 11
3y2
dy
dx
− 3
(
2xy + x2
dy
dx
)
+ 3x2 = 0
3y2
dy
dx
− 6xy − 3x2 dy
dx
+ 3x2 = 0
dy
dx
(
3y2 − 3x2
)
= 6xy − 3x2
dy
dx
=
6xy − 3x2
3y2 − 3x2
=
2xy − x2
y2 − x2
Portanto, a derivada de f (x) para os pontos em que
y2 − x2 6= 0 é dy
dx
=
2xy − x2
y2 − x2
.
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Exemplo 2 - continuação
Para o ponto (2, 3), obtemos:
dy
dx
∣∣∣∣
x=2
=
2xy − x2
y2 − x2
=
2 · 2 · 3− 22
32 − 22
=
8
5
A reta tangente em x = 2 tem coeficiente angular 85 .
A equação da reta é y = 85x + b e passa por (2, 3), logo
3 = 85 · 2 + b ⇒ b = −
1
5 .
A reta tangente tem equação
y =
8
5
x − 1
5
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Exemplo 3
Encontre a equação da reta tangente à hipérbole xy = 1
passando pelo ponto (u, v), em que (u, v), u 6= 0 é um ponto
qualquer da hipérbole.
Fazendo a derivação impĺıcita:
xy = 1 =⇒ y + x dy
dx
= 0 =⇒ dy
dx
= −v
u
.
O coeficiente angular da tangente é −v/u. Logo, a reta tem
equação y = −v
u
x + b e passa pelo ponto (u, v).
Resulta que v = −v
u
u + b =⇒ b = 2v .
A reta tangente tem equação
y = −v
u
x + 2v .
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