Fatoração pelo Método de Cholesky

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Cálculo Numérico 
Profa. Thaynara A. de Lima
Sistemas lineares:
Fatoração de Cholesky.
Fatoração de Chobsky
Consiste em um método para fatorar matrizes simétricas , positivas definida .
Def ( Matriz positiva definida) Uma matriz A : nxn é positiva definida
se para todo xtor , × E IR
"
,
tem- se
É A x do ← fatoração de Chduky .
Se uma matriz A é simétrico e positiva definida , é possível
fataá- la , de modo que
A = G. Gt
,
em que
G é uma matriz triangular superior com elementos da diagonalestritamente positivos .
Considere uma matriz A de ordem n satisfazendo as, condição seja Ax a matrizconstituída das K primeiras linhas e colunas de A Suponha detlArtto para H , .in-1
A pode ser fatorado como uma matriz LDJ em que
L é umamatriz triangular inferior , de ordem n , com diagonal unitária
D
,
de ordem n
,
é uma matriz diagonal ,
J é umamatriz triangular superior , de ordem n , com diagonal unitária .
Além disso
, use
A é simétrica
o = E
Sob as condições anteriores ,
A = LDLT
01;
Se A é positiva definida , os elementos da matriz D não estritamente post .De fato , use A é positiva definida então é Axdo , qualquer que seja XER" , xto.
Então YLDLYX = ytdy em que y = htx
Agora , note que se y EN , y # o , então existe x # o tal que Ltx =y
mãe "¥ ; Iii ::p"
Teríamos
,
X , HM,aXL t . . . + MsnXn = Y ,
Xa t.it mmxn = ya} ssiduhmão EficAe
Xn = Yn
Em particular , se y= ei , kien , temos CFD ei = dii , e como ytDydo ,
segue que diido , para todo i E
11
,
e.
,
nl
.
Portanto
, use
A fa uma matriz simétrica , positiva definida , então A pode ser fatorado como
A = LD E um que L é triangular inferior , com diagonal unitária
D tem elementos na diagonal estritamente
positivos .
Desta maneira , A = LDLT
A-- h 55 E um que dit -- TÁ
Fazendo 6=45 , obtemos
A = GGT
, em que Gé triangular inferior com diagonal
estritamente positiva .
Jurema (Fatoração de Chobsky) Seja A uma matriz de ordem n , simétrica e positiva
definida . Então existe uma única matriz triangular inferior G , de ordem n , com diagonal
positiva , tal que A-- GGT .
Exemplo retirado de [1J
mim! ! ! :) "" ! ! !
Observações sobre os cálculos .
Seja Awmamáhizdeademn , simétrica apositiva definida
A = Gg, Aga . . . AINl :: :
Retirado de [1)
Gas = AI
ta
Retirado de [ 13
Retirado de [ 13
Uma
vez que conseguimos determinar o fator G , pode-se resolver o uistema
Ax = b da seguinte maneira :
Gcíx - b
y
Resolva Gy = b
Resolva Grey .
-
OK
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