calculo numerico raizes

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CÁLCULO NUMÉRICO 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Celina Jarletti 
 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Em problemas de variadas ciências pode ocorrer a necessidade de 
resolver uma equação que modele o problema em análise. 
Resolver uma equação é determinar os valores para os quais a função 
(que é representada pela equação) se anula. 
São conhecidas técnicas para diversas situações (equação de primeiro 
grau, de segundo grau, algumas polinomiais, racionais, irracionais, 
logarítmicas, exponenciais e trigonométricas), porém em situações em que a 
equação é mais elaborada ou complicada (denominada equação 
transcendental ou transcendente) não existem procedimentos simples que a 
solucione. 
Os procedimentos por métodos numéricos de cálculo surgem como 
possível recurso de solução nestas situações mais elaboradas. 
Os métodos numéricos para a resolução de equações são compostos de 
duas fases: 
• Fase 1: isolamento das raízes em um intervalo (a; b) que contém a raiz 
𝜀𝜀, ou seja, 𝜀𝜀 ∈ (𝑎𝑎; 𝑏𝑏). 
• Fase 2: refinamento das raízes por melhorias sucessivas até obter uma 
aproximação com precisão prefixada, por meio de algum dos métodos: 
de quebra do intervalo (bissecção e falsa posição); de ponto fixo 
(iteração linear e Newton-Raphson); e de passos múltiplos (secante). 
TEMA 1 – ISOLAMENTO DA(S) RAIZ(ES) 
Em qualquer equação que defina uma função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é necessário 
inicialmente definir o domínio para conhecer quais valores a variável 𝑥𝑥 pode 
assumir. Nesta aula buscamos valores reais que serão as raízes ou zeros da 
equação, tornando o domínio como o conjunto dos números reais, denotado 
por 𝑅𝑅 𝑜𝑜𝑜𝑜 (−∞; +∞), retirando-se as restrições. 
As restrições envolvem: 
a) Raízes de índice par com radicando negativo; 
b) Divisão por zero; 
c) Logaritmandos de valores não positivos; e 
 
3 
 
d) Funções trigonométricas em ângulos de descontinuidade. Tangente e 
Secante com ângulos de 90° ou 270º e seus congruentes. Cotangente e 
Cossecante com ângulos de 0º ou 180° e seus congruentes. 
Considerando que os zeros reais ou raízes reais são representados 
pelas abcissas dos pontos onde o traçado gráfico intercepta o eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂����, ou seja, 
à esquerda da raiz o traçado do gráfico está acima do eixo (função é positiva), 
e à direita da raiz o gráfico está abaixo do eixo (função é negativa), ou o 
inverso, então o produto destes valores será negativo, conforme Teorema 1, do 
livro Ruggiero, p. 29. 
“Seja f(x) uma função contínua num intervalo (a; b) 
Se f(a). f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto 𝑥𝑥 = 𝜀𝜀 entre a e b que 
é zero de f(x). “ 
Observação: 
Sob as hipóteses do teorema, se 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) existir e preservar o sinal em (a; 
b) então este intervalo contém uma única raiz da função f(x). 
Vejamos como utilizar o conjunto das informações mencionadas para 
determinar a raiz real de uma equação. 
Exemplo: seja a equação que define uma função qualquer dada por: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 − ln (4 − 𝑥𝑥) 
Determinar a raiz ou raízes reais. 
Resolução: 
Inicialmente é necessário determinar o domínio da função, ou seja, o 
conjunto de valores reais que a variável independente 𝑥𝑥 pode assumir. 
Observa-se ocorrência de logaritmos, situação de restrição nos reais, 
então: 4 − 𝑥𝑥 > 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑥𝑥 < 4 
Construindo uma tabela com valores decrescentes para a variável 𝑥𝑥 e 
determinando os correspondentes valores de 𝑓𝑓(𝑥𝑥), por meio da substituição do 
valor atribuído para 𝑥𝑥 na equação de 𝑓𝑓(𝑥𝑥), resulta: 
𝒙𝒙 3,99 3 2 1 0 -1 -2 -3 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) +58,6601 +20,085
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+6,6959 +1.6197 -0,3863 -1,2416 -1,6564 -1,8961 
Observa-se que os valores de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) são decrescentes com o decréscimo 
dos valores de 𝑥𝑥, ou seja, a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é uma função crescente. 
 
4 
 
Um detalhe primordial a ser observado na tabela é a localização de 
mudança de sinal nos valores de 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Isto ocorre quando 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é positiva em 
𝑥𝑥 = 1 e 𝑓𝑓(𝑥𝑥) assume valor negativo em 𝑥𝑥 = 0. Este detalhe indica a ocorrência 
da raiz no intervalo (0; 1) ou 𝜀𝜀 ∈ ( 0; 1). 
A representação gráfica da função ilustra a região de ocorrência de raiz, 
Figura 1 – Gráfico de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 − ln(4 − 𝑥𝑥) 
 
Após o conhecimento do intervalo que contém a raiz da função, é 
necessário estabelecer alguns parâmetros antes de seguir para a segunda fase 
do processo: a de refinamento da raiz. 
O primeiro parâmetro é a precisão desejada (𝜖𝜖) para a raiz (𝜀𝜀) da 
equação. Usaremos 𝜖𝜖 = 10−2 (exatidão até a segunda casa decimal) em 
diferentes métodos do cálculo numérico. Em todos os métodos apresentaremos 
resultados com 6 (seis) casas decimais, sendo o arredondamento feito na sexta 
casa após a vírgula. 
Independentemente do método escolhido, a precisão requerida será a 
mesma, podendo apresentar diferenças posteriores à casa de exatidão e no 
número de iterações (ciclos de cálculos que se repetem). 
As iterações serão finalizadas quando for atendido um dos critérios de 
parada, ou ambos, definidos por: 
|𝑓𝑓(�̅�𝑥)| < 𝜖𝜖 e / ou |�̅�𝑥 − 𝜀𝜀| < 𝜖𝜖 
 O primeiro critério estabelece que o valor da função esteja muito próximo 
de zero, ou seja, |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| < 10−2 e o segundo critério estabelece que a diferença 
entre o valor estimado para a raiz (�̅�𝑥) e a raiz da equação (𝜀𝜀) seja menor que 
a precisão desejada |�̅�𝑥 − 𝜀𝜀| < 10−2 . 
 
 
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TEMA 2 - MÉTODO DA BISSECÇÃO 
Também denominado de Método do Meio Intervalo (MMI). 
Consiste em dividir o intervalo (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) de existência da raiz ao meio (por 
média aritmética), tomando como estimativa da raiz o ponto médio do intervalo 
(�̅�𝑥 = 𝑎𝑎+𝑏𝑏
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), escolher apropriadamente uma das partes do intervalo que foi 
fracionado e descartar a outra. 
A escolha é feita mediante a observação de sinais contrários (positivo e 
negativo, ou o inverso) para os valores da função nos extremos do intervalo. 
Aqui verificamos a mesma análise que empregamos na primeira etapa do 
processo, ou seja, a raiz estará entre extremos de intervalo com funcional de 
sinais contrários. 
O processo é repetido algumas vezes até que um dos critérios de 
parada seja atendido. 
Vejamos o exemplo: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 − ln(4 − 𝑥𝑥) com a raiz 𝜀𝜀 ∈ (0; 1) 
Tem-se 𝑓𝑓(0) = −0,386294 < 0 e 𝑓𝑓(1) = 1,619670 > 0 
Calculando o ponto médio do intervalo �̅�𝑥 = 𝑎𝑎+𝑏𝑏
2
= 0+1
2
= 0,5 
Valor do funcional no ponto médio 𝑓𝑓(0,5) = 0,395958 > 0. 
A avaliação da função no ponto médio resulta um valor positivo, 
indicando que o ponto médio será inserido no extremo do intervalo que tiver 
valor funcional positivo, no caso, o extremo direito do intervalo inicial. Desta 
forma o novo intervalo que contém a raiz a raiz da equação é ( 0; 0,5). 
Esta mesma análise se repete em todos os ciclos de cálculo (iterações) 
que são denotados por K (contador de ciclos). 
Os valores obtidos são apresentados em uma tabela que facilita a 
visualização dos valores calculados e análise para escolha dos extremos do 
intervalo (a; b). 
 
 
 
 
 
 
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K – ciclos 𝑎𝑎 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) < 0 
 
𝑏𝑏 
𝑓𝑓(𝑏𝑏) > 0 
 
�̅�𝑥 =
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
2
 𝑓𝑓(�̅�𝑥) 
1 0 1 0,5 +0,395958 
2 0 0,5 0,25 -0,037730 
3 0,25 0,5 0,375 +0,167137 
4 0,25 0,375 0,3125 +0,061889 
5 0,25 0,3125 0,28125 +0,011397 
6 0,25 0,28125 0,265625 -0,013335 
7 0,265625 0,28125 0,2734375 -0,001011 
A raiz é aproximadamente igual a 0,2734375 com erro menor que 10−2. 
Observa-se que foram atendidos os dois critérios de parada, ou seja, |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| =
|−0,001011| < 10−2 e |�̅�𝑥 − 𝜀𝜀| = |0,2734375 − 0,265625| < 10−2 = 𝜖𝜖 . 
Este resultado foi obtido com 7 iterações ou ciclos de cálculo. 
TEMA 3 – MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO 
Similar ao método anterior, porém a estimativa da raiz é feita por meio 
do emprego de média ponderada, em que os pesos são os valores do funcional 
nos extremosdo intervalo: 
�̅�𝑥 =
𝑎𝑎 . 𝑓𝑓(𝑏𝑏) – 𝑏𝑏 . 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑓𝑓(𝑏𝑏) –𝑓𝑓(𝑎𝑎)
 
Os critérios de parada do processo numérico cíclico e a precisão 
requerida para a raiz da equação não sofrem alteração. 
Exemplo: considerando 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 − ln (4 − 𝑥𝑥) com raiz 𝜀𝜀 ∈ [0; 1] sendo 
𝑓𝑓(0) = −0,386294 e 𝑓𝑓(1) = +1,619670 
A determinação da primeira estimativa de raiz é dada por: 
 �̅�𝑥 = 𝑎𝑎 . 𝑓𝑓(𝑏𝑏) – 𝑏𝑏 . 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑓𝑓(𝑏𝑏) –𝑓𝑓(𝑎𝑎)
= 0 . 1,619670 – 1 . (−0,386294)
1,619670 –(−0,386294)
= 0,192573 
O valor do funcional neste ponto é igual a 𝑓𝑓(�̅�𝑥) = −0,124589 < 0 
A avaliação da função no ponto �̅�𝑥 estimado resulta um valor negativo, 
indicando que este ponto será inserido no extremo do intervalo que tiver valor 
funcional negativo, no caso, o extremo esquerdo do intervalo inicial. Desta 
forma o novo intervalo que contém a raiz a raiz da equação é ( 0,192573; 1). 
Repetindo algumas vezes o mesmo processo de cálculo e análise de 
resultados, constrói-se a tabela numérica: 
 
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K – ciclos 𝑎𝑎 
 𝑓𝑓(𝑎𝑎) < 0 
𝑏𝑏 
 𝑓𝑓(𝑏𝑏) > 0 
�̅�𝑥 =
𝑎𝑎 . 𝑓𝑓(𝑏𝑏) – 𝑏𝑏 . 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑓𝑓(𝑏𝑏) –𝑓𝑓(𝑎𝑎)
 
𝑓𝑓(�̅�𝑥) 
1 0 1 0,192573 -0,124589 
2 0,192573 1 0,250246 -0,037349 
3 0,250246 1 0,267145 -0,010944 
4 0,267145 1 0,272064 -0,003184 
A raiz é aproximadamente igual a 0,272064 com erro menor que 10−2. 
Observa-se que foram atendidos os dois critérios de parada. Este resultado foi 
obtido com 4 iterações. 
Observação: já é possível notar a proximidade de resultados obtidos nos 
dois métodos apresentados. Os demais métodos trarão resultados similares 
obtidos por metodologias diferentes. 
TEMA 4 - MÉTODOS DE PONTO FIXO 
A ideia central nestes métodos envolve manipulação na equação de 
definição da função. 
Faz-se necessário um bom traquejo com as propriedades da matemática 
básica principalmente com propriedades envolvendo radiciações, logaritmos e 
exponenciais quando ocorrerem na equação da função em análise. 
4.1. Método iterativo linear 
Consiste em transformar a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) contínua no intervalo (a; b) em 
uma equação equivalente 𝑥𝑥 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥) e a partir de uma aproximação inicial 𝑥𝑥0 
(atribuída no intervalo de existência da raiz), gerar uma sequência de 
aproximações para a raiz pela relação 𝑥𝑥𝑘𝑘+1 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥𝑘𝑘). 
A função 𝜑𝜑(𝑥𝑥) é denominada função de iteração. 
Normalmente ocorre mais de uma função de iteração, sendo que 
algumas podem gerar sequências convergentes (quando os resultados se 
aproximam de um único valor) e outras podem gerar sequências divergentes 
(quando a sequência de respostas se distancia de um único valor ou recai fora 
do intervalo de existência da raiz). 
Exemplo: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 − ln (4 − 𝑥𝑥) com a raiz 𝜀𝜀 ∈ (0; 1) 
Na situação de raiz a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) torna-se nula. Então: 
 
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Considerando 𝑒𝑒𝑥𝑥 − ln (4 − 𝑥𝑥) = 0 tem-se: 
𝑒𝑒𝑥𝑥 = ln (4 − 𝑥𝑥) 
Aplicando 𝑙𝑙𝑙𝑙 nos dois lados da igualdade (para eliminar a exponencial) 
ln(𝑒𝑒𝑥𝑥) = ln (ln(4 − 𝑥𝑥)) 
Usando a propriedade de logaritmos ln𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 ln𝑎𝑎 resulta 
𝑥𝑥 . ln 𝑒𝑒 = ln (ln(4 − 𝑥𝑥)) 
Sabendo que ln 𝑒𝑒 = 1 tem-se: 
𝑥𝑥 = ln(ln(4 − 𝑥𝑥)) = 𝜑𝜑1(𝑥𝑥) (primeira opção de função de iteração) 
Com a determinação desta função de iteração e tendo atribuição inicial 
𝑥𝑥0 = 0,5 (ponto médio do intervalo de existência da raiz) pode-se construir uma 
tabela com os valores numéricos calculados nas iterações. 
K – Contador de 
iterações ou de ciclos 
𝑥𝑥𝑘𝑘+1 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥𝑘𝑘) = ln (ln(4 − 𝑥𝑥)) 
1 0,225351 
2 0,283901 
3 0,272067 
4 0,274486 
As estimativas da raiz (𝑥𝑥𝑘𝑘) estão dentro do intervalo ( 0 ; 1), gerando 
sequência convergente de cálculos. Observe a proximidade dos resultados 
obtidos. 
 A raiz é aproximadamente igual a 0,274486 com erro menor que 10−2. 
Ocorreu atendimento a um dos critérios de parada, ou seja, |�̅�𝑥 − 𝜀𝜀| < 10−2. 
Este resultado foi obtido com 4 iterações. 
 Seria possível determinar o valor do funcional para cada valor estimado 
da raiz, que permitiria o teste do outro critério de parada. O atendimento a 
somente um dos critérios é suficiente para encerrar o processo de cálculo. 
Ainda considerando 𝑒𝑒𝑥𝑥 − ln (4 − 𝑥𝑥) = 0 tem-se: 
𝑒𝑒𝑥𝑥 = ln (4 − 𝑥𝑥) 
Aplica-se a função exponencial aos dois lados da igualdade com o intuito 
de eliminar o logaritmo, resultando: 
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥 = 𝑒𝑒ln(4−𝑥𝑥) 
Utilizando a propriedade 𝑒𝑒ln𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 tem-se: 
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥 = 4 − 𝑥𝑥 
Isolando o valor de 𝑥𝑥, resulta: 
 
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𝑥𝑥 = 4 − 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥 = 𝜑𝜑2(𝑥𝑥) (segunda opção de função de iteração) 
 Utilizando o ponto médio 𝑥𝑥 = 0,5 do intervalo que contém a raiz, resulta 
sequência divergente de estimativas para a raiz da função. 
K – Contador de ciclos 𝑥𝑥𝑘𝑘+1 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥𝑘𝑘) = 4 − 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑥𝑥 
1 -1,200326 
2 +2,648661 
3 -1376,557210 
Os valores obtidos para a estimativa de raiz estão fora do intervalo inicial 
(0; 1) e a cada iteração o resultado obtido tem pior qualidade e erros imensos. 
Cabe aqui ressaltar que devido à possibilidade de determinar várias 
funções de iteração, nem todas serão fornecedoras de respostas resolutivas do 
problema. O bom senso indica que em se determinando uma função de 
iteração que apresente resultado convergente de resposta, não é necessário 
buscar outras funções de iteração. 
4.2. Método de Newton-Raphson 
Busca garantir e acelerar a convergência do método anterior por meio do 
emprego da função derivada 𝑓𝑓´(𝑥𝑥). 
As técnicas para determinação da expressão da função derivada são 
amplamente detalhadas em disciplinas de cálculo diferencial e integral e 
apresentam um conjunto de fórmulas de fácil manuseio. 
A sequência de estimativas para a raiz da equação 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é calculada por: 
𝑥𝑥𝑘𝑘+1 = 𝑥𝑥𝑘𝑘 −
𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘)
𝑓𝑓´(𝑥𝑥𝑘𝑘)
 
Os critérios de parada do processo de cálculo não sofrem alteração. 
Exemplo 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 − ln (4 − 𝑥𝑥) com a raiz 𝜀𝜀 ∈ (0; 1) 
Calculando a expressão da derivada vem: 
𝑓𝑓´(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 −
−1
4 − 𝑥𝑥
= 𝑒𝑒𝑥𝑥 +
1
4 − 𝑥𝑥
 
Usando a atribuição inicial 𝑥𝑥0 = 0,5 vem: 
𝑓𝑓(0,5) = 𝑒𝑒0,5 − ln(4 − 0,5) = 𝑒𝑒0,5 − ln(3,5) = 0,395958 
𝑓𝑓´(0,5) = 𝑒𝑒0,5 +
1
4 − 0,5
= 𝑒𝑒0,5 +
1
3,5
= 1,934436 
Cálculo da primeira estimativa: 
 
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𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥0 −
𝑓𝑓(𝑥𝑥0)
𝑓𝑓´(𝑥𝑥0)
= 0,5 −
0,395958
1,934436
= 0,295311 
Construindo uma tabela com a inserção do valor obtido, e repetindo o 
processo com em outra iteração, resulta: 
K 𝑥𝑥𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑘𝑘+1 = 𝑥𝑥𝑘𝑘 −
𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘)
𝑓𝑓´(𝑥𝑥𝑘𝑘)
 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘+1) 
1 0,5 0,295311 0,033945 
2 0,295311 0,274273 0,000312 
A raiz é aproximadamente igual a 0,274273 com erro menor que 10−2. 
Foi atendido o critério de parada |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| < 10−2 e foram requeridas 2 iterações 
no processo de cálculo. 
TEMA 5 - MÉTODO DE PASSOS MÚLTIPLOS 
São métodos que necessitam mais de uma atribuição (e/ou estimativa) 
para realizar uma nova estimativa da raiz da equação. 
5.1. Método da secante 
Substitui a expressão da derivada do método anterior (que pode ser 
difícil de calcular) por uma aproximação: 
𝑓𝑓´(𝑥𝑥𝑘𝑘) =
∆𝑓𝑓(𝑥𝑥)
∆𝑥𝑥
=
𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘−1)
𝑥𝑥𝑘𝑘 − 𝑥𝑥𝑘𝑘−1
 
Após um pouco de álgebra, é possível obter a expressão: 
𝑥𝑥𝑘𝑘+1 =
𝑥𝑥𝑘𝑘−1.𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘)−𝑥𝑥𝑘𝑘.𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘−1)
𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘)−𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘−1)
 . 
São necessárias duas atribuições iniciais para calcular uma primeira 
estimativa. Estas atribuições são diferentes entre si e de livre escolha no 
intervalo de existência da raiz. 
Detalhe: a expressão de cálculo da estimativa de raiz é basicamente a 
mesma do método da falsa posição. 
Em caso de necessidade de várias iterações, são utilizadas sempre as 
duas últimas avaliações e seus respectivos valores de funcional. 
Exemplo: 𝑓𝑓(𝑥𝑥)= 𝑒𝑒𝑥𝑥 − ln (4 − 𝑥𝑥) com a raiz 𝜀𝜀 ∈ (0; 1) 
Usando as atribuições iniciais arbitrárias 𝑥𝑥0 = 0,3 𝑒𝑒 𝑥𝑥1 = 0,7 
 Tem-se: 𝑓𝑓(0,3) = 0,041526 e 𝑓𝑓(0,7) = 0,819830 
 
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K Atribuições 𝑥𝑥𝑘𝑘+1 =
𝑥𝑥𝑘𝑘−1.𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘) − 𝑥𝑥𝑘𝑘 .𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘−1)
𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘−1)
 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘+1) 
1 𝑥𝑥0 = 03, 𝑥𝑥1 = 0,7 𝑥𝑥2 = 0,278658 0,007271 
A raiz é aproximadamente igual a 0,278658 com erro menor que 10−2. 
Observa-se que foi atendido um dos critérios de parada, ou seja, |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| < 10−2. 
Este resultado foi obtido com 1 iteração. 
NA PRÁTICA 
(Estudo da convergência). 
Os métodos da bissecção e da posição falsa têm convergência garantida 
se a função for contínua no intervalo (a; b) de existência da raiz, porém, o 
número de iterações necessárias para a obtenção da raiz pode ser elevado em 
relação aos demais métodos. Em relação aos cálculos são de simplicidade, 
porque utilizam médias aritmética (método da bissecção) e ponderada (método 
da posição falsa). 
O método da iteração linear pode apresentar diversas opções para a 
função de iteração, sendo nem todas convergentes, o que pode ser uma 
dificuldade para emprego do método. Em alguns casos, este método utiliza um 
número de iterações não elevado, em outros, pode requerer muitas iterações. 
A determinação das equações de iteração requer um bom conhecimento e 
manuseio com propriedades elementares, o que pode ser uma dificuldade para 
alguns estudantes. 
O método de Newton-Raphson pode apresentar dificuldade quando da 
determinação da expressão da derivada, porém, o número de iterações 
costuma ser pequeno. 
O método da secante é uma forma aproximada para o método de 
Newton-Raphson e pode requerer um pouco mais de iterações para a obtenção 
da estimativa de raiz da função. 
Observando os resultados dos exemplos estudados, pode-se concluir 
que escolher um método melhor está relacionado com a própria equação a ser 
resolvida, ao comportamento desta função no intervalo (a; b), às dificuldades 
de cálculo da derivada e ao critério de parada. Resultados melhores podem ser 
obtidos com o aumento da quantidade de casas decimais de cada cálculo. O 
emprego do computador para uma rotina de cálculo de cada método pode 
 
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fornecer resultados com exatidão até dez ou mais casas decimais e utilizando 
pequeno tempo computacional. 
O conteúdo apresentado envolveu a determinação de uma única raiz 
real para a função analisada. Em situações que ocorram mais de uma raiz real, 
o procedimento é análogo, com atenção ao intervalo de existência de cada raiz. 
Quando a função tiver raiz complexa, não se aplicam estes procedimentos. Em 
casos de uma raiz de multiplicidade par é necessário analisar o comportamento 
da derivada da função. 
FINALIZANDO 
Determinar raízes reais de funções tem ocorrência frequente em 
problemas de natureza de ciências exatas e da tecnologia. 
Nem sempre serão de solução imediata ou fácil resolução. 
As técnicas de cálculo numérico são o recurso possível e indicado 
quando situações adversas se apresentarem. 
A escolha do método de solução depende da adaptabilidade individual e 
da própria equação em análise. 
Bons estudos a todos(as)! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
Bibliografia básica 
BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico. [S.l.]: Harbra, 1983. 
CLAUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo numérico computacional. [S.l.]: 
Atlas S.A., 1994. 
FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
JARLETTI, A. C. Cálculo numérico. Curitiba: InterSaberes, 2017. 
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo numérico, aspectos teóricos 
e computacionais. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2014. 
SPERANDIO, D. Cálculo numérico. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014. 
Bibliografia complementar 
BARROSO, L. C. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: 
Harbra, 1987. 
BURIAN, R.; HETEM JUNIOR, A. Cálculo numérico. Rio de Janeiro: LTC, 
2007.