AD2-MDI-Q4-2023-1-Gabarito

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Gabarito da Questão 4 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2023-1
Questão 4 (2,5 pontos)
Determine os pares de valores (x, y) que são solução do sistema abaixo:
x2 − 3y2 = −12
x2 + y2 + 2y = 8
Uma solução: Uma boa estratégia para resolver este sistema seria isolar o x2 na primera equação
e depois substitúı-lo na segunda. Com isso, teremos uma equação apenas com y. Vejamos: isolando
x2 na primera equação, temos
x2 − 3y2 = −12 ∴ x2 = 3y2 − 12.
Substituindo x2 = 3y2 − 12 na segunda equação, temos
x2 + y2 + 2y = 8 ∴ (3y2 − 12) + y2 + 2y = 8 ∴ 3y2 − 12 + y2 + 2y = 8 ∴ 4y2 + 2y − 20 = 0,
que pode ainda ser simplificada dividindo-se todos os termos por 2, obtendo-se
2y2 + y − 10 = 0.
As soluções desta equação de incógnita y são dadas por
y =
−1±
√
12 − 4 · 2 · (−10)
2 · 2
=
−1±
√
81
4
=
−1± 9
4
Temos portanto
y =
−1 + 9
4
=
8
4
= 2 ou y =
−1− 9
4
=
−10
4
= −5
2
.
Para y = 2, temos
x2 = 3 · 22 − 12 = 3 · 4− 12 = 0,
portanto, temos o ponto (0, 2) na solução. Já para y = −5
2
, temos
x2 = 3
(
−5
2
)2
− 12 = 3 · 25
4
− 12 = 75
4
− 12 = 75− 48
4
=
27
4
,
assim,
x = ±
√
27
4
= ±
√
9 · 3
4
= ±3
√
3
2
.
Temos portanto os pontos
(
−3
√
3
2
,
5
2
)
e
(
3
√
3
2
,
5
2
)
. Portanto, a solução do sistema é o conjunto
S =
{
(0, 2),
(
−3
√
3
2
,−5
2
)
,
(
3
√
3
2
,−5
2
)}
.
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 4 da AD 2 – 2023-1 2
Outra solução: Subtraindo a primeira equação da segunda, temos
x2 + y2 + 2y − (x2 − 3y2) = 8− (−12),
portanto
x2 + y2 + 2y − x2 + 3y2 = 8 + 12,
e assim,
4y2 + 2y = 20.
Com isso, temos
4y2 + 2y − 20 = 0,
e, dividindo por 2,
2y2 + y − 10 = 0.
O restante desta solução segue a anterior.
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