Regra da cadeia

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A regra da cadeiaCAPÊNDICE
A regra da cadeia pode ser usada para determinar a derivada com rela-
ção ao tempo de uma função composta de duas funções. Por exemplo, se y	é 
uma função de x	e x	é uma função de t, podemos determinar a derivada de y	
em relação a t	da seguinte forma:
	 y
# =
dy
 dt
=
dy
 dx
dx
 dt
	 (C.1)
Em  outras  palavras,  para  determinar  y,	 tomamos  a  derivada  comum 
(dy/dx) e a multiplicamos pela derivada com relação ao tempo (dx/dt).
Se diversas variáveis são funções do tempo e elas são multiplicadas, a 
regra do produto d(uv) = du v + u dv tem de ser usada com a regra da ca-
deia quando se tomam as derivadas com relação ao tempo. A seguir vere-
mos alguns exemplos.
EXEMPLO C.1 
Se y = x3 e x = t4, determine y, a segunda derivada de y	em relação ao tempo.
SOLUÇÃO
Usando a regra da cadeia (Equação C.1),
y
# = 3x2x#
Para obter a segunda derivada de tempo, temos de usar a regra do produto, já que x e x	são funções 
de  tempo, e além disso, deve-se aplicar a  regra de  três composta para 3x2. Desse modo, com u = 3x2 e 
v = x, temos
 y
$
= [6xx
#
]x
#
+ 3x2[x
$
]
 = 3x[2x
#2 + xx
$
]
Visto que x = t4, então x = 4t3 e x = 12t2, de maneira que
 y
$
= 3(t4)[2(4t3)2 + t4(12t2)]
 = 132t10
Observe que esse resultado também pode ser obtido combinando-se as funções e depois utilizando as 
derivadas com relação ao tempo, que são
 y = x3 = (t4)3 = t12
 y
#
= 12t11
 y
$
= 132t10
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616  Dinâmica
EXEMPLO C.2
Se y = xex, determine y.
SOLUÇÃO
Visto que x	e ex são ambas funções do tempo, as regras do produto e da cadeia têm de ser aplicadas. 
Tome u	=	x	e v = ex.
y
# = [x#]ex + x[exx#]
A segunda derivada com relação ao tempo também exige a aplicação das regras do produto e da ca-
deia. Observe que a regra do produto se aplica a três variáveis do tempo no último termo, ou seja, x, ex e x.
 y
$ = 5[x$]ex + x#[exx]# 6 + 5[x#]exx# + x[exx#]x# + xex[x$]6
 = ex[x$(1 + x) + x# 2(2 + x)]
Se x = t2 então x = 2t, x = 2, de maneira que, em termos em t, temos
y
$ = et
2
[2(1 + t2) + 4t2(2 + t2)]
EXEMPLO C.3
Se a trajetória nas coordenadas radiais é dada como r = 5u2, onde u	é uma função conhecida de tem-
po, determine r.
SOLUÇÃO
Inicialmente, utilizando a regra da cadeia, depois as regras da cadeia e do produto, onde u = 10u e  
v = u, temos 
r = 5u2
r
# = 10uu
#
r
$ = 10[(u
#
)u
#
+ u(u
$
)]
 = 10u
#2 + 10uu
$
EXEMPLO C.4
Se r2 = 6u3, determine r.
SOLUÇÃO
Aqui as regras da cadeia e do produto são aplicadas como a seguir.
 r2 = 6u3
2rr
# = 18u2u
#
2[(r
#
)r
#
+ r(r
$
)] = 18[(2uu
#
)u
#
+ u2(u
$
)]
 r
# 2 + rr$ = 9(2uu
# 2 + u2u
$
)
Para determinar r para um valor especificado de u,	que é uma função conhecida de tempo, podemos 
primeiro determinar u e u. Depois, usando esses valores, avaliar r	a partir da primeira equação, r a partir da 
segunda equação e r usando a última equação.
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