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avaliação presencial Utilize preferencialmente folhas sulfite, identificando em cada uma delas, frente e verso, com seu R.A. Evite escrever no canto superior direito das folhas de resposta. Boa prova! ra: curso: Engenharia de Produção bimestre: 11o bimestre data: / /2017 P1-1polo: mediador responsável: grupo (dia da semana, período, no): nome: ra: Avaliação Presencial 1Abril /2017 disciplina Economia II nOTa (0-10): Leia atentamente todas as questões. É permitido o uso de calculadora. questão 1 (3,0 pontos) Avalie as seguintes afirmações, atribuindo (V) quando verdadeira ou (F) quando falsa: ( ) a. (1 ponto) A elasticidade de renda da demanda de um bem normal é positiva, isto é, quando a aumenta a renda do demandante, a demanda por aquele bem também aumenta. ( ) b. (1 ponto) A função de produção F(K,L) = 2K + L apresenta retornos crescentes de escala. ( ) c. (1 ponto) Nem sempre os mercados são eficien- tes na alocação de recursos. A existência de in- formações assimétricas é um exemplo de falhas de mercado que pode gerar problemas de sele- ção adversa ou risco moral. questão 2 (2,0 pontos) Considere as seguintes afirmações: a. O efeito cumulativo de consumo é um exemplo de externalidade de difusão (ou de rede) positiva. b. A estratégia de discriminação de preços é bastante comum. A cobrança de preços distintos por sessões de cinema durante a semana (quando a demanda é baixa) e no final de semana (quando a demanda é maior) é um exemplo de discriminação de preço de terceiro grau. c. As inovações podem ser classificadas, segundo seu grau, em incrementais ou radicais. Inovações radi- cais tendem a provocar ruptura nos padrões de con- sumo ou produção de um ou mais setores. d. As cadeias globais de valor se caracterizam pela in- tegração vertical das etapas produtivas dentro das empresas. Indique as duas afirmações verdadeiras (1 ponto cada): ( ) ( ) questão 3 (2,0 pontos) Suponha que a curva de demanda por um determina- do produto seja dada por QD = 200 – P e a curva de oferta corresponda a QS = 1,5P – 25: a. (1 ponto) Calcule o preço (P) e a quantidade (Q) de equilíbrio de mercado para esse produto. b. (1 ponto) Se, por qualquer razão, o preço fosse fi- xado em $ 100, quais seriam as novas quantidades ofertadas e demandadas no mercado? Haveria ex- cesso de oferta ou excesso de demanda neste caso? questão 4 (3,0 pontos) Sobre mercados competitivos e concentrados, responda: a. (1 ponto) Em mercados perfeitamente competitivos, o poder de mercado das empresas é nulo. O que isso significa? b. (1 ponto) Suponha que a função de custo marginal de uma empresa competitiva seja dada por: CMg(q) = 5 + 4q. Se o preço de mercado fosse P = 105, qual seria o nível de produção da empresa (q*) que ma- ximizaria seus lucros? c. (1 ponto) Qual o nome dado à estrutura de mercado em que há um único ofertante e, em geral, diversos demandantes? disciplina Modelagem e Simulação nOTa (0-10): questão 1 (2,0 pontos) Para a Cadeia de Markov dada a seguir: = 2,6.,2, 07,3, 4,6,0 1P a. Determine seu grafo. b. Se é ou não ergódica e justifique. 2 Avaliação Presencial Abril/2017 questão 2 (2,0 pontos) Para a Cadeia de Markov determine as probabilidades de estado estacionário. AVALIAÇÕES CURSO: Engenharia Ciclo Base BIMESTRE: 11 DISCIPLINA: Modelagem e Simulação PROFESSOR: Anibal Tavares de Azevedo PROVA 1 1) (2,0 pontos) Para a Cadeia de Markov dada a seguir: = 2,6.,2, 07,3, 4,6,0 1P . Item (a): Determine seu grafo. Item (b): Se é ou não ergódica e justifique. 2) (2,0 pontos) Para a Cadeia de Markov determine as probabilidades de estado estacionário. 85,015,0 1,09,0 . 3) (4,0 pontos) Os produtos de uma fábrica devem passar por um torno CNC e depois duas máquinas de pintura são empregadas para finalização do mesmo de modo que todos os produtos devem passar por dois estágios conforme a configuração de atendimento de cada estágio dada na Figura 1. questão 3 (4,0 pontos) Os produtos de uma fábrica devem passar por um tor- no CNC e depois duas máquinas de pintura são empre- gadas para finalização do mesmo de modo que todos os produtos devem passar por dois estágios conforme a configuração de atendimento de cada estágio dada na Figura 1. Figura 1: No primeiro estágio só existe um servidor e no segundo existem dois. O problema pode ser modelado como um sistema de filas em série conforme dado na Figura 2. Figura 2: Sistema de filas em série com dois estágios. Os dados do sistema são dados na Tabela 1. Figura 1: No primeiro estágio só existe um servidor e no segundo existem dois. O problema pode ser modelado como um sistema de filas em série conforme dado na Figura 2. Figura 2: Sistema de filas em série com dois estágios. Os dados do sistema são dados na Tabela 1. Tabela 1: Parâmetros do sistema de filas em série. Parâmetro Valor (serviços/hora) λ 5 Estágio 1: µ1 10 Estágio 2: µ2 6 Item (A): Calcular a probabilidade de haver duas ou mais obras de pavimentação na fila do estágio 1. Item (B): Calcular o tempo médio de fila no estágio 2. Item (C):Em um novo modelo é considerado que existe uma probabilidade de haver retrabalho em cada estágio e no estágio 2 existe apenas 1 servidor conforme dados da Figura 3 e da Tabela 2. Tabela 1: Parâmetros do sistema de filas em série. a. Calcular a probabilidade de haver dois ou mais pro- dutos na fila do estágio 1. b. Calcular o tempo médio de fila no estágio 2. c. Em um novo modelo é considerado que existe uma probabilidade de haver retrabalho em cada estágio e no estágio 2 existe apenas 1 servidor conforme dados da Figura 3 e da Tabela 2. Figura 3: Modelo novo que emprega redes de filas. Os dados do modelo novo são fornecidos na Tabela 2. Figura 3: Modelo novo que emprega redes de filas. Os dados do modelo novo são fornecidos na Tabela 2. Tabela 2: Parâmetros do sistema de filas em série. Estágio Parâmetro Valor (serviços/hora) 1 r1 10 µ1 25 p12 1/4 (só %) 2 r2 15 µ2 30 p21 1/2 (só %) Considerando o novo modelo, pede-se: Item (c.1): A fração de tempo que cada servidor está ocupado. Item (c.2): O tempo médio que uma peça gasta no sistema. 4) (2,0 pontos) Em cada mês, um posto de combustível vende 8.000 litros de gasolina. A cada vez que a distribuidora reabastece os tanques do posto, custa R$ 50 mais R$ 0,7 por litro. O custo anual de armazenamento de um litro de gasolina é de R$ 0,5. Item (a): Quão grande devem ser as ordens de compra? Item (b): Quanto tempo se passa entre duas ordens? Tabela 2: Parâmetros do sistema de filas em série. Considerando o novo modelo, pede-se: c1. A fração de tempo que cada servidor está ocupado. c2. O tempo médio que uma peça gasta no sistema. questão 4 (2,0 pontos) Em cada mês, um posto de combustível vende 8.000 litros de gasolina. A cada vez que a distribuidora rea- bastece os tanques do posto, custa R$ 50 mais R$ 0,7 por litro. O custo anual de armazenamento de um litro de gasolina é de R$ 0,5. a. Quão grande devem ser as ordens de compra? b. Quanto tempo se passa entre duas ordens? Avaliação Presencial 3Abril /2017 FORMULÁRIO Cadeia de Markov ∑ = = S k kjkj p 1 ππ 121 =+++ sπππ Modelo M/M/1/Gd/∞/∞ µlr /= )1(0 rπ -= )1( rrπ -= jj lµ l r r - = - = )1( L r rr - =-= 1 2 LLq 01 π-=sL l LW = l q q L W = Modelo M/M/1/Gd/C/∞ µlr /= FORMULÁRIO CADEIA DE MARKOV ∑ = = S k kjkj p 1 ππ 121 =+++ sπππ Modelo M/M/1/GD/∞/∞: µλρ /= , )1(0 ρπ −= , )1( ρρπ −= jj , λµ λ ρ ρ − = − = )1( L , ρ ρρ − =−= 1 2 LLq , 01 π−=sL , λ LW = , λ q q L W = Modelo M/M/1/GD/C/∞: µλρ /= , )1/()1( 10 +−−= cρρπ , Cj j j ,...,1,0 == πρπ , ,...,1,0 +== Cjjπ )1)(1( ])1(1[ 1 1 ρρ ρρρ −− ++−= + + C CC CCL , 01 π−=sL , sq LLL −= , )1( C LW πλ − = e )1( C q q L W πλ − = Modelo M/M/S/GD/∞/∞: µλρ s/= , ∑ − = − + = 1 0 0 )1(! )( ! )( 1 s i si s s i s ρ ρρ π sj j s j j ,...,1,! )( 0 == πρπ , ,...1, ! )( 0 +== − sjss s sj j j πρπ , )1(! )()( 0 ρ πρ − =≥ s ssjP s , ρ ρ − ≥ = 1 )( sjPLq , λµ − ≥ = s sjPWq )( , λ q q L W = , µ λ += qLL , λ LW = , , [ ] −− −−−− ≥+=> − ρ ρµµ 1 )1(exp1)(1)( s sstsjPetWP t , [ ]tssjPtWP )1(exp)()( ρµ −−≥=> Sistemas de Filas em Série: Usar equacionamento dos modelos anteriores. Redes de Filas Abertas: ∑ ≠= += K jii iijjj pr ,1 λλ kLLLL +++= ...21 krrr +++= ...21λ λ LW = Lote Econômico: 1/2 h 2KD q* = q*/D Cjjj ,...,1,0 == πrπ ,...,1,0 +== Cjjπ FORMULÁRIO CADEIA DE MARKOV ∑ = = S k kjkj p 1 ππ 121 =+++ sπππ Modelo M/M/1/GD/∞/∞: µλρ /= , )1(0 ρπ −= , )1( ρρπ −= jj , λµ λ ρ ρ − = − = )1( L , ρ ρρ − =−= 1 2 LLq , 01 π−=sL , λ LW = , λ q q L W = Modelo M/M/1/GD/C/∞: µλρ /= , )1/()1( 10 +−−= cρρπ , Cj j j ,...,1,0 == πρπ , ,...,1,0 +== Cjjπ )1)(1( ])1(1[ 1 1 ρρ ρρρ −− ++− = + + C CC CCL , 01 π−=sL , sq LLL −= , )1( C LW πλ − = e )1( C q q L W πλ − = Modelo M/M/S/GD/∞/∞: µλρ s/= , ∑ − = − + = 1 0 0 )1(! )( ! )( 1 s i si s s i s ρ ρρ π sj j s j j ,...,1,! )( 0 == πρπ , ,...1, ! )( 0 +== − sjss s sj j j πρπ , )1(! )()( 0 ρ πρ − =≥ s ssjP s , ρ ρ − ≥ = 1 )( sjPLq , λµ − ≥ = s sjPWq )( , λ q q L W = , µ λ += qLL , λ LW = , , [ ] −− −−−− ≥+=> − ρ ρµµ 1 )1(exp1)(1)( s sstsjPetWP t , [ ]tssjPtWP )1(exp)()( ρµ −−≥=> Sistemas de Filas em Série: Usar equacionamento dos modelos anteriores. Redes de Filas Abertas: ∑ ≠= += K jii iijjj pr ,1 λλ kLLLL +++= ...21 krrr +++= ...21λ λ LW = Lote Econômico: 1/2 h 2KD q* = q*/D 01 π-=sL sq LLL -= )1( C LW πl - = )1( C q q L W πl - = Modelo M/M/s/Gd/∞/∞ ∑ - = - + = 1 0 0 )1(! )( ! )( 1 s i si s s i s r rr π sj j s j j ,...,1,! )( 0 == πrπ ,...1, ! )( 0 +== - sjss s sj j j πrπ )1(! )()( 0 r πr - =≥ s ssjP s r r - ≥ = 1 )( sjPLq lµ - ≥ = s sjPWq )( l q q L W = µ l += qLL l LW = [ ] -- ---- ≥+=> - r rµµ 1 )1(exp1)(1)( s sstsjPetWP t [ ]tssjPtWP )1(exp)()( rµ --≥=> sisteMas de Filas eM série Usar equacionamento dos modelos anteriores. redes de Filas abertas ∑ ≠= += K jii iijjj pr ,1 ll kLLLL +++= ...21 krrr +++= ...21l l LW = lote eConôMiCo q* 1/2 h 2KD q* = q*/D µlr s/= 4 gabaRItO disciplina Economia II nOTa (0-10): Na correção das provas, atentar para o seguinte: 1. Pontuação de cada questão encontra-se nos res- pectivos enunciados. Questões 1 e 4 valem 3 pontos cada e questões 2 e 3 valem 2 pontos cada, soman- do 10 pontos no total. 2. Para informações específicas sobre atribuição de notas no caso das questões dissertativas 3 e 4, ver gabarito abaixo. questão 1 (3,0 pontos) a. ( V ) b. ( F ) c. ( V ) questão 2 (2,0 pontos) ( A ) ( C ) questão 3 (2,0 pontos) a. (Atribuir 0,5 ponto se o aluno obteve o preço correto e mais 0,5 ponto da questão se obteve a quantidade correta): QD = QS 200 – P = 1,5P – 25 Portanto, P = 90 Substituindo esse preço em qualquer uma das equações anteriores, temos que: Q = 110 b. (Atribuir 0,5 ponto se o aluno obteve as novas quan- tidades ofertadas e demandadas e mais 0,5 ponto da questão se respondeu corretamente à pergunta se haveria excesso de oferta ou de demanda): Se P = 100 e QD = 200 – P, QD = 100 Se P = 100 e QS = 1,5P – 25, QS = 125 Neste caso, haveria excesso de oferta. questão 4 (2,0 pontos) a. (Atribuir o ponto da questão às respostas que trans- mitam de modo semelhante a ideia abaixo): Significa que as empresas não possuem capacidade de influenciar (ou determinar) o preço de mercado. Elas são tomadoras de preço. b. (Atribuir o ponto da questão aos alunos que obti- verem o nível de produção q* correto; caso o aluno erre o cálculo, mas mostre o raciocínio que levaria à resposta correta, atribuir 0,5 ponto): Uma empresa competitiva maximiza seus lucros ao nível de produção em que CMg = RMg = P. Neste caso, igualando o CMg da empresa ao preço de mer- cado, CMg(q) = 5 + 4q = 105, obtém-se o nível de produção q* = 25. c. (Atribuir o ponto da questão aos alunos que mencio- narem o nome correto): Monopólio. disciplina Modelagem e Simulação nOTa (0-10): Na correção das provas, atentar para o seguinte: 1. As respostas podem ser expressas em termos de fração ou casas decimais. Calculadoras podem ser utilizadas. 2. As questões 1, 2 e 4 valem 2,0 pontos e a questão 3 vale 4,0, somando 10 pontos no total. 3. A seção “Pontuação” indica precisamente qual a pontuação para cada resultado obtido ou proprie- dade e/ou ideia escrita. questão 1 a. Embora os valores numéricos deste item sejam di- ferentes para cada uma das 9 provas, os elementos não-nulos são os mesmos. Deste modo, a topolo- gia do grafo é a mesma, variando apenas os valores que devem ser inseridos em cada um dos arcos. De modo geral, o grafo é dado por: Pontuação → Cada arco correto: 0,1 (total 0,7) → Desenhar cada um dos 3 estados: 0,1 (total 0,3) b. Como observado no item (a), a topologia do grafo é a mesma para todas as 9 provas de modo que as afir- mativas abaixos são válidas para todas as 9 provas: I. Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de i, e vice-versa. 5 II. Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são aperiódicos. III. Em função de (i) todos os estados são recorren- tes, pois, em função de (i) para quaisquer estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. Pontuação → Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 verificações, total 0,9). → Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Er- gódica: 0,1. questão 2 (i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de i, e vice-versa. (ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são aperiódicos. (iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. Pontuação: - Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 verificações, total 0,9). - Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: [ ] [ ] = 11 1 2111211 aa πππ → −= =+ 21 1221111 1 ππ πππ aa → −= =+− 12 221111 1 0)1( ππ ππ aa → 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π → )1/( 1121211 aaa −+=π → )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. Pontuação: - Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. - Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. - Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 3) Nesta questão é necessário considerar: → (i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de i, e vice-versa. (ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são aperiódicos.(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. Pontuação: - Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 verificações, total 0,9). - Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: [ ] [ ] = 11 1 2111211 aa πππ → −= =+ 21 1221111 1 ππ πππ aa → −= =+− 12 221111 1 0)1( ππ ππ aa → 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π → )1/( 1121211 aaa −+=π → )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. Pontuação: - Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. - Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. - Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 3) Nesta questão é necessário considerar: → → (i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de i, e vice-versa. (ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são aperiódicos. (iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. Pontuação: - Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 verificações, total 0,9). - Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: [ ] [ ] = 11 1 2111211 aa πππ → −= =+ 21 1221111 1 ππ πππ aa → −= =+− 12 221111 1 0)1( ππ ππ aa → 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π → )1/( 1121211 aaa −+=π → )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. Pontuação: - Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. - Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. - Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 3) Nesta questão é necessário considerar: (i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de i, e vice-versa. (ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são aperiódicos. (iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. Pontuação: - Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 verificações, total 0,9). - Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: [ ] [ ] = 11 1 2111211 aa πππ → −= =+ 21 1221111 1 ππ πππ aa → −= =+− 12 221111 1 0)1( ππ ππ aa → 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π → )1/( 1121211 aaa −+=π → )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. Pontuação: - Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. - Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. - Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 3) Nesta questão é necessário considerar: → (i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de i, e vice-versa. (ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são aperiódicos. (iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. Pontuação: - Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 verificações, total 0,9). - Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: [ ] [ ] = 11 1 2111211 aa πππ → −= =+ 21 1221111 1 ππ πππ aa → −= =+− 12 221111 1 0)1( ππ ππ aa → 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π → )1/( 1121211 aaa −+=π → )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. Pontuação: - Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. - Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. - Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 3) Nesta questão é necessário considerar: → (i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de i, e vice-versa. (ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são aperiódicos. (iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. Pontuação: - Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 verificações, total 0,9). - Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: [ ] [ ] = 11 1 2111211 aa πππ → −= =+ 21 1221111 1 ππ πππ aa → −= =+− 12 221111 1 0)1( ππ ππ aa → 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π → )1/( 1121211 aaa −+=π → )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. Pontuação: - Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. - Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. - Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 3) Nesta questão é necessário considerar: → (i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de i, e vice-versa. (ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são aperiódicos. (iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. Pontuação: - Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 verificações, total 0,9). - Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: [ ] [ ] = 11 1 2111211 aa πππ → −= =+ 21 1221111 1 ππ πππ aa → −= =+− 12 221111 1 0)1( ππππ aa → 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π → )1/( 1121211 aaa −+=π → )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. Pontuação: - Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. - Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. - Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 3) Nesta questão é necessário considerar: → (i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de i, e vice-versa. (ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são aperiódicos. (iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. Pontuação: - Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 verificações, total 0,9). - Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: [ ] [ ] = 11 1 2111211 aa πππ → −= =+ 21 1221111 1 ππ πππ aa → −= =+− 12 221111 1 0)1( ππ ππ aa → 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π → )1/( 1121211 aaa −+=π → )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. Pontuação: - Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. - Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. - Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 3) Nesta questão é necessário considerar: (i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de i, e vice-versa. (ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são aperiódicos. (iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. Pontuação: - Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 verificações, total 0,9). - Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: [ ] [ ] = 11 1 2111211 aa πππ → −= =+ 21 1221111 1 ππ πππ aa → −= =+− 12 221111 1 0)1( ππ ππ aa → 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π → )1/( 1121211 aaa −+=π → )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. Pontuação: - Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. - Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. - Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 3) Nesta questão é necessário considerar: Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. Pontuação → Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. → Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. → Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. questão 3 Nesta questão é necessário considerar: a. Como apenas o estágio 1 é considerado, basta apli- car o modelo M/M/1. Nesse caso, deseja-se calcular: p(fila ≥ 2) = 1 - p(fila ≤ 1) = 1 - (π0 + π1) = 1 - ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 Para esta prova: ρ = 5/10 e ρ2 = 25/100 = 0,25 Pontuação → Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. → Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. b. Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é necessário empregar o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 5/12 = 0,42: Item (a): Como apenas o estágio 1 é considerado, basta aplicar o modelo M/M/1. Nesse caso, deseja-se calcular: p(fila ≥ 2) = 1 – p(fila ≤ 1) = 1 – (π0 + π1) = 1 – ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 Para esta prova: ρ = 5/10 e ρ2 = 25/100 = 0,25 Pontuação: - Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. - Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. Item (B): Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é necessário empregar o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 5/12 = 0,42: 41,045,2 1 61,084,01 1 )42,01(!2 )42,0*2( !1 )42,0*2( !0 )42,0*2( 1 2100 ==++ = − ++ =π 25,041,0*61,0 )1(! )()( 0 ==− =≥ π ρ ρ s ssjP s 13,0 5)6(2 25,0)( = − = − ≥ = λµs sjPWq horas Pontuação: - Calcular corretamente π0: 0,5 - Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 - Calcular corretamente Wq: 0,25 Item (C):Considerando que o modelo é de redes de filas: Item (c.1): O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido com a resolução de um sistema linear derivado da seguinte equação: ∑ ≠= += K jii iijjj pr ,1 λλ , j = 1, ..., K. Para o caso de dois estágios, têm-se: Item (a): Como apenas o estágio 1 é considerado, basta aplicar o modelo M/M/1. Nesse caso, deseja-se calcular: p(fila ≥ 2) = 1 – p(fila ≤ 1) = 1 – (π0 + π1) = 1 – ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 Para esta prova: ρ = 5/10 e ρ2 = 25/100 = 0,25 Pontuação: - Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. - Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. Item (B): Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é necessário empregar o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 5/12 = 0,42: 41,045,2 1 61,084,01 1 )42,01(!2 )42,0*2( !1 )42,0*2( !0 )42,0*2( 1 2100 ==++ = − ++ =π 25,041,0*61,0 )1(! )()( 0 ==− =≥ π ρ ρ s ssjP s 13,0 5)6(2 25,0)( = − = − ≥ = λµs sjPWq horas Pontuação: - Calcular corretamente π0: 0,5 - Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 - Calcular corretamente Wq: 0,25 Item (C):Considerando que o modelo é de redes de filas: Item (c.1): O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido com a resolução de um sistema linear derivado da seguinte equação: ∑ ≠= += K jii iijjj pr ,1 λλ , j = 1, ..., K. Para o caso de dois estágios, têm-se: Item (a): Como apenas o estágio 1 é considerado, basta aplicar o modelo M/M/1. Nesse caso, deseja-se calcular: p(fila ≥ 2) = 1 – p(fila ≤ 1) = 1 – (π0 + π1) = 1 – ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 Para esta prova: ρ = 5/10 e ρ2 = 25/100 = 0,25 Pontuação: - Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. - Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. Item (B): Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é necessário empregar o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 5/12 = 0,42: 41,045,2 1 61,084,01 1 )42,01(!2 )42,0*2( !1 )42,0*2( !0 )42,0*2( 1 2100 ==++ = − ++ =π 25,041,0*61,0 )1(! )()( 0 ==− =≥ π ρ ρ s ssjP s 13,0 5)6(2 25,0)( = − = − ≥ = λµs sjPWq horas Pontuação: - Calcular corretamente π0: 0,5 - Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 - Calcular corretamente Wq: 0,25 Item (C):Considerando que o modelo é de redes de filas: Item (c.1): O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido com a resolução de um sistema linear derivado da seguinte equação: ∑ ≠= += K jii iijjj pr ,1 λλ , j = 1, ..., K. Para o caso de dois estágios, têm-se: Item (a): Como apenas o estágio 1 é considerado, basta aplicar o modelo M/M/1. Nesse caso, deseja-se calcular: p(fila ≥ 2) = 1 – p(fila ≤ 1) = 1 – (π0 + π1) = 1 – ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 Para esta prova: ρ = 5/10 e ρ2 = 25/100 = 0,25 Pontuação: - Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. - Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. Item (B): Para calcular o tempo médio de fila no estágio2 é necessário empregar o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 5/12 = 0,42: 41,045,2 1 61,084,01 1 )42,01(!2 )42,0*2( !1 )42,0*2( !0 )42,0*2( 1 2100 ==++ = − ++ =π 25,041,0*61,0 )1(! )()( 0 ==− =≥ π ρ ρ s ssjP s 13,0 5)6(2 25,0)( = − = − ≥ = λµs sjPWq horas Pontuação: - Calcular corretamente π0: 0,5 - Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 - Calcular corretamente Wq: 0,25 Item (C):Considerando que o modelo é de redes de filas: Item (c.1): O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido com a resolução de um sistema linear derivado da seguinte equação: ∑ ≠= += K jii iijjj pr ,1 λλ , j = 1, ..., K. Para o caso de dois estágios, têm-se: Pontuação → Calcular corretamente π0: 0,5 → Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 → Calcular corretamente Wq: 0,25 c. Considerando que o modelo é de redes de filas: c1. O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido com a resolução de um siste- ma linear derivado da seguinte equação: , j = 1, ..., K. Para o caso de dois estágios, têm-se: l1 = r1 + p21l2 (1) l2 = r2 + p12l1 (2) Aplicando equação (2) em (1): l1 = r1 + p21(r2 + p12l1) → l1 - p21p12l1 = r1 + p21r2 → l1 - p21p12l1 = r1 + p21r2 (1 - p21p12) l1 = r1 + p21r2 → l1 = (r1 + p21r2) / (1 - p21p12) (3) Para o caso em que r1 = 10, r2 = 15, p21 = 1/2 e p12 = 1/4, então: l1 = (10 + 1/2*15) / (1 - 1/2*1/4) = 8/7*(10 + 15/2) = 20 serviços/hora l2 = 15 + 1/4*20 = 20 serviços/hora Item (a): Como apenas o estágio 1 é considerado, basta aplicar o modelo M/M/1. Nesse caso, deseja-se calcular: p(fila ≥ 2) = 1 – p(fila ≤ 1) = 1 – (π0 + π1) = 1 – ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 Para esta prova: ρ = 5/10 e ρ2 = 25/100 = 0,25 Pontuação: - Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. - Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. Item (B): Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é necessário empregar o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 5/12 = 0,42: 41,045,2 1 61,084,01 1 )42,01(!2 )42,0*2( !1 )42,0*2( !0 )42,0*2( 1 2100 ==++ = − ++ =π 25,041,0*61,0 )1(! )()( 0 ==− =≥ π ρ ρ s ssjP s 13,0 5)6(2 25,0)( = − = − ≥ = λµs sjPWq horas Pontuação: - Calcular corretamente π0: 0,5 - Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 - Calcular corretamente Wq: 0,25 Item (C):Considerando que o modelo é de redes de filas: Item (c.1): O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido com a resolução de um sistema linear derivado da seguinte equação: ∑ ≠= += K jii iijjj pr ,1 λλ , j = 1, ..., K. Para o caso de dois estágios, têm-se: 6 Como para os dois estágios existe um servidor, en- tão, a ociosidade será dada por: π0 = 1 - r = 1 - l/u Para o estágio 1: π0 =1 - l1/u1 = 1 - 20/25 = 0,20 Para o estágio 2: π0 =1 - l2/u2 = 1 - 20/30 = 0,33 Pontuação → Encontrar os valores corretos de l1 e l2: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. → Encontrar ociosidade π0 de cada estágio: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. c2. Para calcular o tempo médio que uma peça gasta no sistema é necessário, antes, calcular o número médio de pessoas em cada estágio: λ1 = r1 + p21λ2 (1) λ2 = r2 + p12λ1 (2) Aplicando equação (2) em (1): λ1 = r1 + p21(r2 + p12λ1) → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 (1 - p21p12) λ1 = r1 + p21r2 → λ1 = (r1 + p21r2) / (1 - p21p12) (3) Para o caso em que r1 = 10, r2 = 15, p21 = 1/2 e p12 = 1/4, então: λ1 = (10 +1/2*15) / (1 –1/2*1/4) = 8/7*(10 + 15/2) = 20 serviços/hora λ2 = 15 +1/4*20 = 20 serviços/hora Como para os dois estágios existe um servidor, então, a ociosidade será dada por: π0 = 1 - ρ = 1 - λ/u Para o estágio 1: π0 =1 - λ1/u1 = 1 – 20/25 = 0,20 Para o estágio 2: π0 =1 - λ2/u2 = 1 – 20/30 = 0,33 Pontuação: - Encontrar os valores corretos de λ1 e λ2: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. - Encontrar ociosidade π0 de cada estágio: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. Item (c.2): Para calcular o tempo médio que uma peça gasta no sistema é necessário, antes, calcular o número médio de pessoas em cada estágio: )1( i i iL ρ ρ − = Do item anterior: Estágio 1: 00,4 2,0 8,0 )8,01( 8,0 )1( 1 1 1 ==− = − = ρ ρL Estágio 2: 00,2 3/1 3/2 )3/21( 3/2 )1( 2 2 2 ==− = − = ρ ρL O L do sistema é dado por: L = L1 + L2 = 6,00 Para encontrar o tempo médio no sistema calcula-se: λ = r1 + r2 = 10 + 15 = 25 Do item anterior: Estágio 1: λ1 = r1 + p21λ2 (1) λ2 = r2 + p12λ1 (2) Aplicando equação (2) em (1): λ1 = r1 + p21(r2 + p12λ1) → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 (1 - p21p12) λ1 = r1 + p21r2 → λ1 = (r1 + p21r2) / (1 - p21p12) (3) Para o caso em que r1 = 10, r2 = 15, p21 = 1/2 e p12 = 1/4, então: λ1 = (10 +1/2*15) / (1 –1/2*1/4) = 8/7*(10 + 15/2) = 20 serviços/hora λ2 = 15 +1/4*20 = 20 serviços/hora Como para os dois estágios existe um servidor, então, a ociosidade será dada por: π0 = 1 - ρ = 1 - λ/u Para o estágio 1: π0 =1 - λ1/u1 = 1 – 20/25 = 0,20 Para o estágio 2: π0 =1 - λ2/u2 = 1 – 20/30 = 0,33 Pontuação: - Encontrar os valores corretos de λ1 e λ2: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. - Encontrar ociosidade π0 de cada estágio: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. Item (c.2): Para calcular o tempo médio que uma peça gasta no sistema é necessário, antes, calcular o número médio de pessoas em cada estágio: )1( i i iL ρ ρ − = Do item anterior: Estágio 1: 00,4 2,0 8,0 )8,01( 8,0 )1( 1 1 1 ==− = − = ρ ρL Estágio 2: 00,2 3/1 3/2 )3/21( 3/2 )1( 2 2 2 ==− = − = ρ ρL O L do sistema é dado por: L = L1 + L2 = 6,00 Para encontrar o tempo médio no sistema calcula-se: λ = r1 + r2 = 10 + 15 = 25 Estágio 2: λ1 = r1 + p21λ2 (1) λ2 = r2 + p12λ1 (2) Aplicando equação (2) em (1): λ1 = r1 + p21(r2 + p12λ1) → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 (1 - p21p12) λ1 = r1 + p21r2 → λ1 = (r1 + p21r2) / (1 - p21p12) (3) Para o caso em que r1 = 10, r2 = 15, p21 = 1/2 e p12 = 1/4, então: λ1 = (10 +1/2*15) / (1 –1/2*1/4) = 8/7*(10 + 15/2) = 20 serviços/hora λ2 = 15 +1/4*20 = 20 serviços/hora Como para os dois estágios existe um servidor, então, a ociosidade será dada por: π0 = 1 - ρ = 1 - λ/u Para o estágio 1: π0 =1 - λ1/u1 = 1 – 20/25 = 0,20 Para o estágio 2: π0 =1 - λ2/u2 = 1 – 20/30 = 0,33 Pontuação: - Encontrar os valores corretos de λ1 e λ2: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. - Encontrar ociosidade π0 de cada estágio: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. Item (c.2): Para calcular o tempo médio que uma peça gasta no sistema é necessário, antes, calcular o número médio de pessoas em cada estágio: )1( i i iL ρ ρ − = Do item anterior: Estágio 1: 00,4 2,0 8,0 )8,01( 8,0 )1( 1 1 1 ==− = − = ρ ρL Estágio 2: 00,2 3/1 3/2 )3/21( 3/2 )1( 2 2 2 ==− = − = ρ ρL O L do sistema é dado por: L = L1 + L2 = 6,00 Para encontrar o tempo médio no sistema calcula-se: λ = r1 + r2 = 10 + 15 = 25 O L do sistema é dado por: L = L1 + L2 = 6,00 Para encontrar o tempo médio no sistema calcula- -se: l = r1 + r2 = 10 + 15 = 25 Então: W = L / l = 6/25 = 0,24 horas Pontuação → Encontrar os valores corretos de Li de cada estágio: 0,25 por cada, 0,5 no total. → Encontrar o valor de λ do sistema: 0,25 ponto. → Calcular corretamente o valor de W: 0,25 ponto. questão 4 A resolução desta questão depende da aplicação da equação de Lote Econômico. a. O tamanho do lote (ou da compra) é dado por: Então: W = L / λ = 6/25 = 0,24 horas Pontuação: - Encontrar os valores corretos de Li de cada estágio: 0,25 por cada, 0,5 no total. - Encontrar o valor de λ do sistema: 0,25 ponto. - Calcular corretamente o valor de W: 0,25 ponto. 4) A resolução desta questão depende da aplicação da equação de Lote Econômico. Item (a): O tamanho do lote (ou da compra) é dado por: 1/2 h 2KD q* = Para esta questão: K = 50, D = 8000 e h =0,5. Assim, q* = 1264,91. Pontuação: - Identificar corretamente os valores K, D e h: 0,25 cada. - Calcular corretamente o valor de q*: 0,25. Item (b): O tempo entre duas ordens é dado por: q*/D. Para esta questão q*/D = 1265/8000 = 0,16 ano ≈ 1,9 meses. Pontuação: - Identificar que a razão q*/D fornece o intervalo entre duas ordens: 0,5. - Calcular corretamente a razão e achar o valor próximo de 3 meses: 0,5. Para esta questão: K = 50, D = 12 x 8000 e h = 0,5. As- sim, q* = 4381.78. Pontuação → Identificar corretamente os valores K, D e h: 0,25 cada. → Calcular corretamente o valor de q*: 0,25. b. O tempo entre duas ordens é dado por: q*/D. Para esta questão q*/D = 4382/(12 × 8000) = 0,05 ano ≈ 0,55 meses = 18,25 dias. Pontuação → Identificar que a razão q*/D fornece o intervalo en- tre duas ordens: 0,5. → Calcular corretamente a razão e achar o valor próxi- mo de ano, meses ou dia: 0,5.
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