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Universidade Paulista
Teoria das Estruturas
Mecânicas
Aula 01 
Curso Engenharia Mecânica
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 Hibbeler, R. C.; Resistência dos Materiais. Pearson. 5ª Ed.
 Gere, J. M.; Mecânica dos Materiais. Thomson. 7ª Ed.
 Beer, F.; Resistência dos Materiais. Pearson. 3ª Ed.
Referências Bibliográficas
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Exercício - Revisão de RM
Determine para a viga abaixo: as curvas de força cortante e
momento fletor e a máxima tensão trativa de flexão.
Resposta:
σmax = 1,97 MPa
1 m
28 KN/m
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Resolução: Prof. 
Franquetto
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Introdução
VQ
Ib
 
Curva da Força Cortante
Curva do Momento Fletor
Distribuição linear da tensão de 
flexão
RM
TEM
Distribuição parabólica da 
tensão de cisalhamento
My
I
  
Todo carregamento externo irá produzir no interior da viga esforços cortante (Força
cortante, V) e fletor (Momento fletor, M).
Representação 
esquemática.
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Introdução
Tensão de cisalhamento longitudinalTensão de cisalhamento 
transversal
São observadas dois tipos de tensões de cisalhamento em vigas.
Tábuas soltas
Representação esquemática da tensão de 
cisalhamento longitudinal 
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Tensão de Cisalhamento
Tomando um elemento infinitesimal dx de um viga sob flexão :
Isolando a parte superior (área A) do elemento
dx surge a tensão de cisalhamento para manter
o equilíbrio.
Tensão de 
flexão
Vista da seção transversal da viga
Vista longitudinal da viga
Tensão de 
cisalhamento
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Fazendo somatória de forças no eixo “x”.
0)(
0)( 21





 








dAy
I
dMM
bdxdAy
I
M
dAbdxdA
AA
AA


Tensão de 
flexão
Tensão de flexão
Área A
Tensão de cisalhamento
Parâmetro “b” é a 
base da viga na 
região sob estudo
Vista da 
seção 
transversal 
da viga
Tensão de Cisalhamento
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




A
ydA
dx
dM
Ib
1
Isolando a tensão de cisalhamento: V [N]
Ib
VQ

Tensão de cisalhamento 
em um elemento 
localizado a uma distância 
y1 da LN
Momento de inércia de toda a 
seção transversal
Largura da seção transversal no 
ponto de interesse
Centróide da área A
Força cortante 
Área superior a posição y1
Q [m3]
Tensão de Cisalhamento
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





 21
2
42
y
hb
Q
  22
11
)(
h
y
h
y
bdyyydAQ






 21
2
42
y
h
I
V
Substituindo na 
equação da tensão 
de cisalhamento
Distribuição
parabólica (y1) 
da tensão de 
cisalhamento
através da seção
transversal 
retangular.
Tensão máxima de 
cisalhamento está no 
centróide.
Para uma viga de seção retangular:
Tensão de Cisalhamento
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Exercício 01
Para a viga abaixo, determine: A) a tensão de cisalhamento no
ponto localizado a 75 mm do topo da viga. B) a máxima tensão de
cisalhamento.
Resposta:
δ = 468,3 kPa
δmax = 500 kPa
75 mm
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Exercício 02
Para a viga abaixo, determine a tensão de cisalhamento no ponto
localizado a 25 mm do topo da viga e a 200 mm do apoio direito.
Resposta:
δ = 3,8 MPa
1 m
28 KN/m
0,2 m
0,1 m
0,1 m
0,025 m
0,025 m
Seção transversal
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Exercícios propostos
 Tensão de cisalhamento
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Exercício 01
Para a peça indicada, determine a máxima tensão de
cisalhamento.
380 mm
6,7 KN
Seção transversal
100 mm
10 mm
10 mm
50 mm
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Exercício 02
Calcule a máxima tensão de cisalhamento na seção transversal
apresentada abaixo.
100
90
10
10
5,0 kN/m
1 2
Dimensões em milímetros
(m)
A C
B
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Exercício 03
Para a viga em balanço apresentada abaixo, calcule:
a) A máxima tensão de cisalhamento no ponto B da alma da viga.
b) a máxima tensão de cisalhamento que atua sobre a seção a-a.
50 mm
70 mm
20 mm
20 mm
B
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Momento Estático de área
Centróide
Momento de Inércia
REVISÃO
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Momento estático de área
 x
A
Q ydA
Dada uma área A situada no plano xy, se x e y forem
coordenadas de um elemento de area dA, define-se o
momento estático da área A em relação aos eixos x e y
como:
 y
A
Q xdA
Unidade do momento estático de área: m3
x
dA
yx
y
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Centróide

A
ydA Ay

A
xdA Ax
x
O centróide da área é definida como o ponto C de
coordenadas e que satisfazem as relações:
Qy
Qx
y
dA
y
x
dA
y
x
dA
yx
y
x
y
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Centróide de áreas compostas
 

i i
i
y A
y
A
x
y
Consiste em obter o centróide a partir do cálculo individual
do centróide de áreas elementares como, triângulos,
quadrados, retangulos, circulos, etc.
x
y
A1
A2
A3
 

i i
i
x A
x
A
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Exercício 01
 2
1
6x
Q bh
Calcule para a área triangular o momento estático Qx em
relação ao eixo x e a ordenada y do centróide.
y
x
b
h
Respostas:

1
3
y h
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Exercício 02
Calcule o centróide da área de um quarto de circulo.
R
x
y

 
4
3
R
x y
Resposta:
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 1.2y m
x
y
Obtenha o centróide da figura abaixo.
Respostas:
 0.348x m
1 2 3
1
2
Dimensões em metros
Exercício 03
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 
 

2 3 3
2 2
10 200 10 111,6
10 5
ba a b
y mm
a b
Obtenha o centróide da figura abaixo para a=100 mm e
b=200 mm.
Respostas:
 0x
Exercício 04
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Momento de inércia
  2x
A
I y dA
Dada uma área A situada no plano xy, se x e y forem
coordenadas de um elemento de area dA, define-se o momento
de inércia de área A em relação aos eixos x e y como:
  2y
A
I x dA
Unidade do momento de inércia de área: m4
dA
yx
y
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 3
1
12x
I bh
Calcule o momento de inércia Ix em relação ao eixo centroidal.
Resposta:
Exercício 05
y
x
h
b
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 ' 2x x yI I Ad
 ' 2y y xI I Ad
O momento de inércia centroidal pode ser transladado para um outro sistema de coordenada
utilizando o teorema dos eixos paralelos.
A demonstração do teorema está disponível no livro do Hibbeler.
'I
dx
dy
Momento de inércia no 
centróide da figura
Área da seção transversal
Distância do 
centróide ao eixo de 
interesse
Teorema dos Eixos Paralelos
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Calcule o momento de inércia em relação ao eixo x que passa
pelo centróide da figura abaixo.
 6 42.31 10xI x mm
Respostas:
20
80
40
60
Dimensões em milimetros
 46y mm
y
x
Exercício 06
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Slide 32
Propriedades Geométricas
Momento de inérciaCentróide
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