Aula 01 - Unidades e Vetores Física

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Medidas e Vetores
Universidade Federal de Uberlândia
Campus Patos de Minas
Instituto de F́ısica
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F́ısica - Uma ciência Experimental
Observações −→ Padrões −→ Teorias (hipóteses)
Testes experimentais −→ Leis e prinćıpios.
Galileu descreveu a Lei de Queda
Livre através de observações feitas
na Torre de Pisa! - A aceleração
dos corpos independe do peso dos
mesmos.
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Limite de validade1
Ao cair de um prédio esses dois corpos abaixo possuem a mesma aceleração?! Isso
significa que a teoria está errada?!
A lei de queda livre só se aplica a corpos que possuem o peso muito superior a
resistência do ar. Se esse experimento fosse feito no vácuo, os dois teriam a
mesma aceleração.
1No Moodle da disciplina existe um v́ıdeo muito interessante que exemplifica esse fenômeno!
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Modelos Idealizados
Modelo: Versão simplificada de um sistema f́ısico, afim de facilitar seu
entendimento. - Massas puntiformes, corpos ŕıgidos, isolantes perfeitos.
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Padrões e Unidades
Grandezas F́ısicas: É qualquer número usado para descrever quantitativamente
um fenômeno f́ısico.
Definição Operacional: Quando definimos a grandeza através de uma medida
isso é posśıvel quando a grandeza é muito fundamental, como, por exemplo, o
tempo e a distância.
Em outros casos definimos a grandeza pela forma que podemos calculá-las a partir
dessas grandezas fundamentais (como a velocidade, aceleração, etc).
Unidades: São padrões de referência utilizados de forma comparativa, ou seja,
uma pessoa que mede 1,70 m é 1,70x maior que uma barra de um metro,
portanto, o metro, é uma unidade de distância.
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Grandezas Padrão
As grandezas fundamentais que utilizaremos aqui serão:
Tempo: Inicialmente definida como uma fração do dia solar, atualmente
medida através de “relógios atômicos”. É exatamente 9.192.631.770 ciclos de
radiação de um átomo de césio-133.
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Comprimento: O metro foi originalmente definido como 1/10.000.000 da
distância entre o polo Norte ao equador. Depois definiu-se a velocidade da
luz como c = 299.792.458 m/s e o metro como a distância que a luz viaja,
no vácuo, em 1/c segundos. Ou, de maneira similar, a luz percorre, no
vácuo, 299.792.458 metros em um segundo.
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Massa: Utilizava-se um cilindro de platina e iŕıdio como o padrão de um
quilograma. Em 2018, o padrão foi modificado e definido, utilizando de uma
balança de Watt, onde usa-se como referência a constante de Planck
~ = 6, 62607015× 10−24 m2 kg/s.
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As unidades básicas do Sistema Internacional e prefixos
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Prefixos das unidades no SI
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Conversão de Unidades e Dimensões de Quantidades
F́ısicas
Há diferentes sistemas de unidades! Temos que saber converter de uma
unidade para outra!
Exemplo: 1 mi=1, 609 km
1 mi
1, 609 km
= 1
Podemos somar apenas elementos de mesma dimensão e unidade!
Exemplo: Se A = 1m2 e B = 2ft2, só conseguimos obter C definido por
A + B = C ,
se convertermos A em ft2, ou B em m2 (1ft2 = 9, 29× 10−2m2).
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Algarismos Significativos
Conjunto de algarismos corretos de uma medida mais um último algarismo,
que é o duvidoso (zeros á direita são algarismos significativos e zeros à
esquerda não são).
Exemplos: (a) 2,50 têm três algarismos significativos; (b) 0,006 têm um
algarismo significativo.
“Quando multiplicamos ou dividimos quantidades, o número de algarismos
significativos da resposta final não é maior que aquela da quantidade com o
menor número de algarismos significativos.”
Exemplo: 2, 50· 90 = 225 = 2, 2× 102.
“Quando adicionamos ou subtráımos quantidades, o número de casas
decimais da resposta deve coincidir com o do termo com menor número de
casas decimais.”
Exemplo 1: 1, 21342− 1, 040 = 0, 17342 = 0, 173.
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Exemplo 2: Propomos o seguinte experimento para obter o número π. Por meio
de uma fita métrica medimos o diâmetro D de um disco e sua circunferência S . O
número π pode ser obtido sabendo que
S = πD .
Substituindo os valores encontramos
π =
424 mm
135 mm
= 3, 14(. . .) .
Note que neste experimento π de ser dado com 3 algarismos significativos.
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Ordem de grandeza
Ordem de grandeza é definido como o arrendondamento mais próximo de
alguma potência de 10.
Exemplo: 8× 10−4 m tem ordem de grandeza de 10−3 m. 2
2Note que o número 8 fica mais próximo de 10 do que de 1.
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Vetores e operações (Revisão)
Quantidades f́ısicas têm magnitude e orientação. Vetores são objetos que têm
módulo, direção e sentido.
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Definições e operações básicas
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Soma e Subtração: ~A + ~B = ~C
De maneira geométrica
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Para mais do que uma soma: aplicar o método sucessivamente.
Perceba que (~A + ~B) + ~C = ~A + (~B + ~C )
Definição do vetor oposto:
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Exemplo: Você caminha 3, 00 km para leste e depois 4, 00 km para norte. Qual
deslocamento resultante?
Multiplicando o vetor por um escalar: ~A + ~A + ~A = 3~A
De maneira geral ~B = s ~A é vetor com magnitude |s|A, com mesma direção
de ~A e com mesmo sentido, se s é um número positivo e, sentido contrário,
se s é negativo.
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Componentes de vetores
Uma vez estabelecido um sistema de referência, podemos definir as componentes
de um vetor.
Ax = A cos θ e Ay = A sen θ.
tg θ =
Ay
Ax
=⇒ θ = tg−1
(
Ay
Ax
)
.
A =
√
A2x + A
2
y .
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As componentes de um vetor podem ser positivas ou negativas.
Perceba que com essa definição, a multiplicação de um vetor por um escalar s é o
mesmo que multiplicar cada componente por s.
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A soma de vetores segue uma regra similar: o vetor soma resultante tem
componentes iguais a soma de cada componente individual.
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Vetores Unitários
Um vetor unitário é aquele que possui módulo igual a 1, não possuindo nenhuma
unidade.
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Em termos dos vetores unitários um vetor ~A qualquer é escrito como
~A = Ax î + Ay ĵ + Az k̂ .
Soma
~A + ~B = (Ax î + Ay ĵ + Az k̂) + (Bx î + By ĵ + Bz k̂)
= (Ax + Bx )̂i + (Ay + By )̂j + (Az + Bz)k̂ .
Exemplo: Dados os vetores ~A = (4, 00 m)̂i + (3, 00 m)̂j e
~B = (2, 00 m)̂i− (3, 00 m)̂j,
(a) B =?; (b) ~A + ~B =?; (c) ~A− ~B =?
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Solução:
(a)
B =
√
B2x + B
2
y =
√
(2, 00 m)2 + (−(3, 00 m)2) = 3, 61 m
(b)
~A + ~B = [(4, 00 m) + (2, 00 m)]̂i + [(3, 00 m) + (−(3, 00 m))]̂j
= (6, 00 m)̂i
(c)
~A− ~B = [(4, 00 m)− (2, 00 m)]̂i + [(3, 00 m)− (−(3, 00 m))]̂j
= (2, 00 m)̂i + (6, 00 m)̂j
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Um exemplo um pouco mais aplicado: Um paciente com o ombro deslocado é
colocado em um aparelho de tração conforme figura abaixo. As trações ~A e ~B
possuem o mesmo módulo, mas devem ser combinados de forma a produzir uma
força igual a 12, 8 N para fora, no braço do paciente. Qual deve ser o valor dessa
força de tração?
Resposta: 7, 55 N.
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Produto de vetores: produto escalar e vetorial
Em nossa disciplina vamos verificar que produtos de vetores também fornecem
informações de importantes grandezas f́ısicas. Nesse sentido, vamos trabalhar com
as definições de produto escalar e produto vetorial
Produto escalar: o produto escalar entre dois vetores, ~A e ~B, é representado
por ~A · ~B, e definido por
~A · ~B = AB cosφ = |~A||~B| cosφ ,
onde φ é o ângulo entres os vetores ~A e ~B.
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Uma das maneiras de interpretar um produto escalar é pensá-lo como um produto
de uma componente com a projeção de outra componente.
Propriedades:
1 ~A · ~B = ~B · ~A.
2 (α~A) · ~B = ~A · (α~B) = α(~A· ~B).
3 Diz-se que ~A e ~B são ortogonais se ~A · ~B = 0.
4 ~A · (~B + ~C) = ~A · ~B + ~A · ~C.
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Note que
ı̂ · ı̂ = ̂ · ̂ = k̂ · k̂ = (1)(1) cos 0 = 1 ,
ı̂ · ̂ = ı̂ · k̂ = ̂ · k̂ = (1)(1) cos 90 = 0 ,
Um resultado interessante e que será muito útil é que o produto escalar pode ser
calculado a partir somente das componentes dos vetores, i.e.,
~A · ~B = (Ax ı̂+ Ay ̂+ Az k̂)· (Bx ı̂+ By ̂+ Bz k̂) .
~A · ~B = AxBx + AyBy + AzBz .
Aplicação na f́ısica
Veremos mais tarde que a definição de trabalho está intimamente ligado ao
produto escalar.
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Produto vetorial: O produto vetorial entre dois vetores, ~A e ~B, é
representado por ~A× ~B, que é um novo vetor (pseudovetor) perpendicular à
~A e ~B, com sentido definido pela “regra da mão direita” e módulo dado por
|~A× ~B| = ABsenφ ,
sendo φ o ângulo entre os vetores.
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Propriedades:
1 ~A× ~B = −~B× ~A.
2 (α~A)× ~B = ~A× (α~B) = α(~A× ~B).
3 ~A× (~B + ~C) = ~A× ~B + ~A× ~C.
Utilizando vetores unitários
~A× ~B = (Ax ı̂+ Ay ̂+ Az k̂)× (Bx ı̂+ By ̂+ Bz k̂) .
~A× ~B = (AyBz − AzBy )̂i + (AzBx − AxBz )̂j + (AxBy − AyBx)k̂ .
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Fazendo uso da notação de determinante temos uma representação mais compacta
~A× ~B =
î ĵ k̂
Ax Ay Az
Bx By Bz
Observação: Não se preocupe se você não lembra o que é determinante e/ou
como trabalha-se com o mesmo. Em geral, a utilização da regra da mão direita já
irá ser suficiente para os problemas de interesse da disciplina.
Aplicação na f́ısica Em problemas que envolve dinâmica de rotações. E.g., o
torque ~τττ devido a uma força ~F atuando a uma posição ~r de uma dada origem é.
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DÚVIDAS?!
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