Aula 8- Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes
O procedimento descrito a seguir é utilizado para a solução de
Eds Lineares Homogêneas de ordem superior:
( ) ( 1)
1 2 1 0'' ' 0 .1
n n
n na y a y a y a y a y eq
−
−+ + + + + = →
Com ai, i = 1,2,…,n constantes reais e an ≠ 0
Considere a equação diferencial linear de segunda ordem: '' ' 0 .2ay by cy eq+ + = →
onde a, b e c são constantes.
A solução assume a forma: mxy e=
Logo: mxy e= → 2'' mxy m e=' mxy me= →
Substituindo na eq.2: '' ' 0ay by cy+ + = →
( ) ( ) ( )2 0mx mx mxa m e b me c e+ + = → ( )2 0mxe am bm c+ + =
Como a equação é satisfeita quando m é raiz da equação quadrática:0mxe ≠
2 0 .3am bm c eq+ + = →
equação auxiliar
2 4
2
b b acm
a
− ± −
=
Caso 1: Raízes Reais e Distintas
Da equação auxiliar, temos duas soluções linearmente independentes em
(-∞,∞)
1
1
m xy e= 22
m xy e=e
'' ' 0 .2ay by cy eq+ + = →A solução geral da equação diferencial:
1 2
1 2
m x m xy c e c e= +
2 0 .3am bm c eq+ + = →
2 4 0b ac− >
Exemplo: Determine a solução geral da equação diferencial de segunda
ordem: 12 '' 5 ' 2 0y y y− − =
Sol.: Montamos a equação auxiliar 2 0 .3am bm c eq+ + = →
212 5 2 0m m− − = →
( )5 25 4 12 2
2 12
m
± − ⋅ ⋅ −
= →
⋅
1
2
3
m = 2
1
4
m = −e
A solução geral da equação diferencial: 1 21 2
m x m xy c e c e= +
2 1
3 4
1 2
x x
y c e c e
−
= +
Caso 2: Raízes Reais e Repetidas
Da equação auxiliar, temos uma única solução da forma: 11
m xy e=
Da fórmula de resolução de equação quadrática, obtemos que:
1 2
bm
a
= −
Vimos que uma segunda solução da equação pode ser obtida por:
( ) ( )
( )
( )2 1 21
P x dxey x y x dx
y x
−∫
= ∫
2 0 .3am bm c eq+ + = →
2 4 0b ac− =
1
0
2
bm
a
− ±
=
2 4
2
b b acm
a
− ± −
=
Logo: ( ) 12P x m= − →
Temos: ( )
1
1
1
2
2 2
m x
m x
m x
ey x e dx
e
= →∫ ( ) 12
m xy x e dx= →∫ ( ) 12 m xy x xe=
'' ' 0 .2ay by cy eq+ + = →A solução geral da equação diferencial:
1 1
1 2
m x m xy c e c xe= +
'' ' 0ay by cy+ + =( ) ( )'' ' 0y P x y Q x y+ + = '' ' 0b cy y y
a a
+ + =
12
b m
a
− = → 12
b m
a
= −
1 2
bm
a
= −
( ) ( )
( )
( )2 1 21
P x dxey x y x dx
y x
−∫
= ∫
( ) 12P x dx m dx− = − − →∫ ∫
( ) 12P x dx xm− =∫
( )1 221 m xy e=
Exemplo: Determine a solução geral da equação diferencial de segunda
ordem: '' 10 ' 25 0y y y− + =
Sol.: Montamos a equação auxiliar 2 0 .3am bm c eq+ + = →
2 10 25 0m m− + = →
10 100 4 1 25
2 1
m ± − ⋅ ⋅= →
⋅
1 2 5m m= =
A solução geral da equação diferencial: 1 11 2
m x m xy c e c xe= +
5 5
1 2
x xy c e c xe= +
Caso 3: Raízes Complexas Conjugadas
2 0 .3am bm c eq+ + = →
2 4 0b ac− <
Da equação auxiliar, temos duas soluções da forma:
( )
1
i xy e α β+= ( )2
i xy e α β−=e
Com o uso da fórmula de Euler e algumas manipulações
algébricas, expressamos a solução geral na forma:
( ) ( )cosie i senθ θ θ= + ⋅
( ) ( )1 2cosx xy c e x c e sen xα αβ β= +
βiαm +=1 βiαm −=2e
( ) ( )cosie i senθ θ θ= + ⋅
( ) ( )1 2cosx xy c e x c e sen xα αβ β= +
1 1 2 2y d y d y= + → ( ) ( )1 2
i x i xy d e d eα β α β+ −= + →
( ) ( )
1 2
x xi x ixy d e d eα β α β+ −= + → 1 2
x xi x xiy d e e d e eα β α β−= + →
1 2
x xi xiy e d e d eα β β− = + → 
( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2cos cosxy e d x i sen x d x i sen xα β β β β = + ⋅ + − ⋅ → 
( ) ( )cosxie x i sen xβ β β= + ⋅
( ) ( )cosxie x i sen xβ β β− = − ⋅
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2cos cosxy e d x d i sen x d x d i sen xα β β β β= + ⋅ + − ⋅ →  
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2cosxy e d d x d i d i sen xα β β= + + − →   ( ) ( )1 2cos
xy e c x c sen xα β β= + →  
Exemplo: Determine a solução geral da equação diferencial de segunda
ordem: '' 9 0y y+ =
Sol.: Montamos a equação auxiliar 2 0 .3am bm c eq+ + = →
2 9 0m + = → 0 0 4 1 9
2 1
m ± − ⋅ ⋅= →
⋅ 1
3m i=
A solução geral da equação diferencial: ( ) ( )1 2cosx xy c e x c e sen xα αβ β= +
( ) ( )0 01 2cos 3 3x xy c e x c e sen x⋅ ⋅= +
2 3m i= −e
( ) ( )1 2cos 3 3y c x c sen x= +
Obs.: Em geral, para resolver uma equação diferencial de ordem n, onde ai,
i = 0, 1, . . . , n são constantes reais, devemos resolver uma equação
polinomial de grau n.
( ) ( 1)
1 2 1 0'' ' 0 .1
n n
n na y a y a y a y a y eq
−
−+ + + + + = →
1 2
1 2 1 0 0
n n
n na m a m a m a m a
−
−+ + + + + =
Se todas as raízes são reais e distintas, então a solução geral é:
1 2
1 2 .... n
m xm x m x
ny c e c e c e= + + +
1 1 1 12 1,..m x m x m x m xke , xe ,x e , x e−
Obs.: É um pouco mais difícil resumir os análogos dos casos II e III, pois as
raízes de uma equação auxiliar de grau maior que dois podem ocorrer em
muitas combinações.
1 1 1 12 1
1 2 3 ....
m x m x m x m xk
ky c e c xe c x e c x e
−= + + + +
Obs.: Quando m1 é uma raiz de multiplicidade k de uma equação auxiliar de
grau n, tem-se que as soluções linearmente independentes são:
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