Aula 9 - Coeficientes a Determinar Abordagem da Superposição

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Coeficientes a Determinar: Abordagem da Superposição
Seja uma Equação Linear não Homogênea de ordem n
( ) ( 1)
1 2 1 0( ) ( ) ( ) '' ( ) ' ( ) ( ) .1
n n
n na x y a x y a x y a x y a x y g x eq
−
−+ + + + + = →
com ai, i = 1,2,…,n constantes reais e an ≠ 0.
A solução geral (já abordada) em um intervalo é: c py y y= +
Esse método (abordagem da superposição) é uma conjectura que é baseada
nos tipos de funções que compõe a função de entrada g(x).
yc solução complementar
yp solução particular
Esse método é limitado a equações lineares, tais como:
• Os coeficientes ai são constantes e
• g(x) é:
o uma constante k,
o uma função polinomial,
o uma função exponencial ,
o uma função seno ou cosseno, ou , ou somas e
produtos finitos dessas funções.
axe
( )sen xβ ( )cos xβ
Obs.: O método dos coeficientes a determinar não é aplicável a equações
quando:
e assim por diante (será visto mais a frente).
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11ln , , , ,g x x g x g x tg x g x sen x
x
−= = = =
Exemplo: Determine a solução geral usando coeficientes a determinar para a
equação diferencial: 2'' 4 ' 2 2 3 6y y y x x+ − = − +
Sol.:
Primeiramente resolve-se a equação homogênea associada: '' 4 ' 2 0y y y+ − =
Montamos a equação auxiliar 2 0am bm c+ + =
2 4 2 0m m+ − = →
( )4 16 4 1 2
2 1
m
− ± − ⋅ ⋅ −
= →
⋅
1 2 6m = − − 2 2 6m = − +e
A solução complementar é: 1 21 2
m x m x
cy c e c e= + →
c py y y= +
( ) ( )2 6 2 6
1 2
x x
cy c e c e
− + − +
= +
Como a função g(x) é um polinômio quadrático, vamos supor que existe um 
solução particular que seja da forma:
2
py Ax Bx C= + +
Procuramos determinar os coeficientes específicos A, B e C para os quais yp
é uma solução da equação diferencial dada.
2
py Ax Bx C= + + → ' 2py Ax B= + → '' 2py A=Derivando:
Substituindo: 2'' 4 ' 2 2 3 6y y y x x+ − = − + →
( ) ( ) ( )2 22 4 2 2 2 3 6A Ax B Ax Bx C x x+ + − + + = − + →
( ) ( ) ( )2 22 8 2 2 4 2 2 3 6A x A B x A B C x x− + − + + − = − + →
2'' 4 ' 2 2 3 6y y y x x+ − = − +
por identidade:
2 2
8 2 3
2 4 2 6
A
A B
A B C
− =
 − = − →
 + − =
1;A = −
5
2
B = −
9C = −
Resolvemos o sistema:
Logo, uma solução particular é: 2py Ax Bx C= + +
2 5 9
2p
y x x= − − −
c py y y= +A solução geral é:
( ) ( )2 6 2 6 2
1 2
5 9
2
x xy c e c e x x− + − += + − − −
( ) ( )2 6 2 6
1 2
x x
cy c e c e
− + − +
= +
Na Tabela tem-se alguns exemplos específicos de g(x) juntamente com a forma
correspondente da solução particular.
Deve-se assumir que nenhuma função na suposta solução particular yp faz
parte da função complementar yc.
Exemplo: Determine a solução geral usando coeficientes a determinar para a
equação diferencial: 2'' 2 ' 3 4 5 6 xy y y x xe− − = − +
Sol.:
Primeiramente resolve-se a equação homogênea associada: '' 2 ' 3 0y y y− − =
Montamos a equação auxiliar 2 0am bm c+ + =
2 2 3 0m m− − = →
( )2 4 4 1 3
2 1
m
± − ⋅ ⋅ −
= →
⋅
1 1m = − 2 3m =e
A solução complementar é: 1 21 2
m x m x
cy c e c e= + →
c py y y= +
3
1 2
x x
cy c e c e
−= +
Como a função g(x) é uma soma de dois tipos de funções básicas
(polinômios e exponenciais), ou seja g(x) = g1(x) + g2(x).
1p
y Ax B= +
2'' 2 ' 3 4 5 6 xy y y x xe− − = − +
1 2p p p
y y y= +
( )
2
2x
py Cx D e= +
Vamos supor que existe um solução particular que seja da forma:
Derivando:
Logo: 1 2p p py y y= + →
2 2x x
py Ax B Cxe De= + + +
2 2 2' 2 2x x xpy A Ce Cxe De= + + +
2 2 2 2'' 2 2 4 4x x x xpy Ce Ce Cxe De= + + +
Substituindo em:
por identidade:
2'' 2 ' 3 4 5 6 xy y y x xe− − = − +
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 4 4 2 2 2 3 4 5 6x x x x x x x x x xCe Ce Cxe De A Ce Cxe De Ax B Cxe De x xe+ + + − + + + − + + + = − +
( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 2 3 3 2 3 4 5 6x x xA x A B C xe C D e x xe− + − − + − + − = − +
3 4
2 3 5
3 6
2 3 0
A
A B
C
C D
− =
− − = − →− =
 − =
4 23 4; ; 2;
3 9 3
A B C D= − = = − = − →
2 2x x
py Ax B Cxe De= + + +
2 24 23 42
3 9 3
x x
py x xe e= − + − −
A solução geral é: c py y y= + →
3 2
1 2
4 23 42
3 9 3
x x xy c e c e x x e−  = + − + + − − 
 
0+
Obs.: Se alguma solução particular yp contiver termos que
coincidam com termos da função complementar yc, então,
esse yp, deverá ser multiplicado por (xn), onde n é o menor
inteiro positivo que elimina essa coincidência.
Exemplo: Determine a solução geral usando coeficientes a determinar para a
equação diferencial: 3 2'' 5 ' 2 4 6y y x x x− = − − +
c py y y= +
Sol.:
Primeiramente resolve-se a equação homogênea associada: '' 5 ' 0y y− =
Montamos a equação auxiliar 2 0am bm+ =
2 5 0m m− = → 5 25
2 1
m ±= →
⋅
1 0m = 2 5m =e
A solução complementar é: 1 21 2
m x m x
cy c e c e= + →
5
1 2
x
cy c c e= +
Como é um polinômio, nossa tentativa usual seria:
Derivando:
Logo: ( )3 2py x Ax Bx Cx D= + + + →
( ) 3 22 4 6g x x x x= − − +
3 2
py Ax Bx Cx D= + + +
Porém a uma coincidência com da função complementar: 51 2
x
cy c c e= +
Tal coincidência pode ser eliminada multiplicando x1 por: 3 2Ax Bx Cx D+ + +
constante
4 3 2
py Ax Bx Cx Dx= + + +
3 2' 4 3 2py Ax Bx Cx D= + + +
2'' 12 6 2py Ax Bx C= + +
Substituindo em: 3 2'' 5 ' 2 4 6y y x x x− = − − +
( )2 3 2 3 212 6 2 5 4 3 2 2 4 6Ax Bx C Ax Bx Cx D x x x+ + − + + + = − − +
por identidade:
( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 220 12 15 6 10 2 5 2 4 6A x A B x B C x C D x x x− + − + − + + = − − +
20 2
12 15 4
6 10 1
2 5 6
A
A B
B C
C D
− =
 − = − → − = −
 + =
1 14 53 697; ; ;
10 75 250 625
A B C D= − = = = − →
A solução geral é: c py y y= + →
4 3 2
py Ax Bx Cx Dx= + + +
4 3 21 14 53 697
10 75 250 625p
y x x x x=− + + −
5 4 3 2
1 2
1 14 53 697
10 75 250 625
xy c c e x x x x= + − + + −
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