Sistemas Lineares Lista 0

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Departamento de Engenharia de Computação e Automação
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecatrônica
EGM0002 - Sistemas Lineares
Prof. Carlos Eduardo Trabuco Dórea
Lista de Exerćıcios - Modelos de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
1. Considere o circuito representado na figura 1.
+
_
y(t)
u(t)
R
2Ω 1F
1H
Figura 1:
(a) (1,5 ponto) Obter uma representação de estado considerando a tensão no capacitor (x1(t)) e a corrente no indutor
(x2(t)) como variáveis de estado. Considerar como variável de sáıda a corrente no indutor;
(b) (1,0 ponto) Obter uma representação de estado equivalente (com a mesma função de transferência) à do item
anterior;
(c) (1,0 ponto) Determinar, se posśıvel, os valores de R que fariam com que a resposta do sistema ao impulso tivesse
a seguinte forma:
y(t) = (A−Bt)e−αt, t ≥ 0,
sendo A, B e α constantes. Justificar a resposta.
2. Considere um sistema de tempo cont́ınuo cuja relação entrada-sáıda é dada pela seguinte equação diferencial:
2
d2y(t)
dt2
+ 22
dy(t)
dt
+ 20y(t) = 20
du(t)
dt
(a) (2,5 pontos) Calcular a resposta do sistema ao sinal de entrada u(t) = cos (2t)1(t), considerando y(0) = 0, ẏ(0) = 0,
sendo 1(t) a função degrau unitário.
(b) (1,0 ponto) Determinar, se posśıvel, y(0) e ẏ(0) de modo que a resposta do sistema ao degrau unitário tenha a
seguinte forma:
y(t) = Ae−10t, t ≥ 0,
sendo A uma constante.
3. Considere um sistema linear de tempo discreto, causal, invariante no tempo, cuja resposta ao impulso com condições
iniciais nulas é dada por:
g[k] =
{
1, para 0 ≤ k ≤ 5
0, para k < 0 e k > 5
.
(a) (2,0 pontos) Determinar a resposta do sistema à seguinte entrada:
u[k] =
{
1, para 2 ≤ k ≤ 7
0, para k < 2 e k > 7
.
(b) (1,0 ponto) Determinar a função de transferência e os polos do sistema.