AD1 - Métodos Determinísticos I - 2023.2 - Gabarito

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Gabarito da Questão 1 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2023-2
Questão 1 (2,5 pontos) Uma pesquisa com 324 consumidores de três marcas de sabão em pó,
Alvo, Bem Limpo e Cores Vivas revelou que:
1. 5 consumidores compram somente Alvo e Bem Limpo;
2. os consumidores de Cores Vivas ou compram só esta marca, ou compram somente esta marca e
mais uma das outras duas;
3. 1/3 dos consumidores de Alvo também compram outras marcas;
4. os consumidores apenas de Bem Limpo são o triplo dos consumidores apenas de Alvo, o quádruplo
dos consumidores apenas de Cores Vivas e o dobro dos que consomem Bem Limpo e Cores Vivas.
5. todos os participantes da pesquisa consomem pelo menos uma das marcas.
Para ajudar na resolução desta questão, uma dica é utilizar o diagrama de Venn abaixo. No diagrama,
A é o conjunto das pessoas que compram Alvo, B é o conjunto de quem compra Bem Limpo, e C
o conjunto de quem compra cores vivas.
Note que algumas das regiões representadas podem ser vazias, isto é, ter 0 elementos.
(a) Quantas pessoas compram as três marcas, Alvo, Bem Limpo e Cores Vivas?
(b) Se chamarmos de x o número de pessoas que compram somente Alvo, qual é o número de
pessoas, em função de x, que compram Alvo e Cores Vivas mas não compram Bem Limpo?
(c) Quantas pessoas, em função de x, compraram somente Bem Limpo? E quantas compram
somente Cores Vivas?
(d) Quantas pessoas compram somente Alvo?
Solução:
(a) Pela informação 2, quem compra Cores Vivas só compra, no máximo, mais uma das outras
marcas, não comprando as outras duas. Assim, a interseção entre os três conjuntos é vazia, logo
ninguém (ou 0 pessoas) compra as três marcas, Alvo, Bem Limpo e Cores Vivas.
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 1 da AD 1 – 2023-2 2
(b) Vamos utilizar o diagrama de Venn sugerido.
Vamos preencher com x, como dito, o conjunto de quem só compra Alvo, com 0 o conjunto
de quem compra as três marcas (obtido no item anterior) e com 5 o conjunto de quem compra
somente Alvo e Bem Limpo (informação 1):
Observe a região marcada com y no diagrama abaixo, que representa quem compra Alvo e Cores
Vivas mas não compra Bem Limpo. Pela informação 3, um terço das pessoa que compram Alvo
também compram outras marcas. Como as pessoas que compram Alvo são dadas por x+y+5+0
e as que compram Alvo e outras marcas são 5 + 0 + y, temos
1
3
(x+ y + 5 + 0) = 5 + 0 + y
∴ x+ y + 5 = 15 + 3y
∴ y − 3y = 15− 5− x
∴ −2y = 10− x
∴ 2y = x− 10
∴ y =
x− 10
2
.
Assim, o número de pessoas que compram Alvo e Cores Vivas mas não compram Bem Limpo é
dado por
x− 10
2
.
(c) Por 4, os consumidores apenas de Bem Limpo são o triplo dos consumidores apenas de Alvo (ou
seja, x). Com isso, os consumidores apenas de Bem Limpo são dados por 3x.
Ainda por 4, os consumidores apenas de Bem Limpo (3x) são quádruplo dos consumidores apenas
de Cores Vivas, logo os consumidores apenas de Cores Vivas são
3x
4
.
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Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 1 da AD 1 – 2023-2 3
Novamente por 4, os consumidores apenas de Bem Limpo (3x) são o dobro dos que consomem
Bem Limpo e Cores Vivas, logo
3x
2
consomem Bem Limpo e Cores Vivas. Como 0 estão na
interseção A ∩B ∩ C, esses 3x
2
estão em B ∩ C − A, como no diagrama abaixo:
(d) Para saber quantas pessoas compram somente Alvo, basta descobrirmos x. Observando o di-
agrama completo do item anterior, sabendo que o total de consumidores é 324 e que, pela
informação 5, todos compram pelo menos uma das marcas, temos
x+ 5 + 0 +
x− 10
2
+ 3x+
3x
2
+
3x
4
= 324,
logo, escrevendo todos os termos sobre um mesmo denominador 4,
4x+ 20 + 0 + 2(x− 10) + 12x+ 6x+ 3x
4
=
4 · 324
4
,
e, portanto,
4x+ 20 + 2x− 20 + 12x+ 6x+ 3x = 1296,
e então
27x = 1296,
que nos dá
x =
1296
27
= 48.
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Gabarito da Questão 2 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2023-2
Questão 2 (2,5 pontos) Para produzir qualquer quantidade de um determinado item, uma indústria
tem um custo fixo de R$ 12.000,00. Cada unidade produzida representa um custo adicional de R$
20,00.
Por conta de um acordo de contrapartida, o governo local tem o direito de adquirir pelo valor de R$
22,00 um terço da produção que exceder 9.000 unidades, e nesta cota não há incidência de impostos.
Os produtos que não estão nesta cota do governo são vendidos pela indústria ao preço de R$ 30,00,
dos quais R$ 7,00 são recolhidos como impostos.
O governo já informou que, independentemente da quantidade produzida, exercerá integralmente seu
direito de comprar sua cota de unidades do produto pelo preço diferenciado.
(a) Represente, em função da quantidade n de produtos vendidos, o lucro da empresa, supondo que
n ≤ 9.000.
(b) Qual quantidade deve ser vendida para não resultar em lucro ou prejúızo?
(c) Represente, em função da quantidade n de produtos vendidos, o lucro da empresa.
(d) Qual quantidade deve ser vendida para resultar em um lucro de R$ 17.992,00?
Solução:
(a) O custo da empresa para fabricar n unidades do produto será de
C = 12.000︸ ︷︷ ︸
Custo fixo
+ 20 n︸︷︷︸
Custo variável
.
Sobre estas n unidades, incidirá como imposto o valor de
I = 7 n,
já que sobre cada unidade incidem R$ 7,00 de imposto.
Por outro lado, a receita com a venda destas n unidades é de
R = 30 n,
logo, o lucro com a venda será de
L = R− C − I = 30n− 7n− (12.000 + 20n) = 30n− 7n− 12.000− 20n = 3n− 12.000.
Lembre-se de que estamos supondo n ≤ 9.000.
(b) Para que não haja lucro ou prejúızo, devemos ter
L = 0⇔ 3n− 12.000 = 0⇔ 3n = 12.000⇔ n = 4.000.
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 1 – 2023-2 2
(c) Neste item, temos que pensar na possibilidade de termos n > 9.000.
Quando n ≤ 9.000, já vimos que L = 3n− 12.000.
Quando n > 9000, temos que dividir a produção em duas partes:
• Parte comprada pelo governo local:
O governo local tem o direito de comprar um terço do que exceder 9.000 unidades pro-
duzidas, ou seja,
1
3
· (n − 9.000), cada uma por R$22,00. Para esta cota, a receita será
de
Rg = 22 ·
1
3
· (n− 9.000) = 22n− 198.0000
3
.
O imposto Ig sobre esta cota será 0, como disse o enunciado.
• Parte não comprada pelo governo local:
As demais unidades não serão compradas pelo governo local, ou seja,
n− 1
3
· (n− 9.000) = 3n− (n− 9.000)
3
=
2n+ 9000
3
.
Cada uma delas será vendida por R$ 30,00, com R$ 7,00 de impostos, logo teremos receita
Rn e impostos In dados por
Rn = 30 ·
2n+ 9000
3
=
60n+ 270.000
3
.
In = 7 ·
2n+ 9.000
3
=
14n+ 63.000
3
Com isso, a receita total será de
R = Rg −Rn =
22n− 198.0000
3
+
60n+ 270.000
3
=
82n+ 72.000
3
,
o imposto será de
I = Ig + In = 0 +
14n+ 63.000
3
=
14n+ 63.000
3
.
Já o custo de produção não faz distinção entre cota do governo ou não, e será
C = 12.000 + 20n.
Com isso, para n > 9.000, o lucro será de
L = R− C − I =
=
82n+ 72.000
3
− (12.000 + 20n)− 14n+ 63.000
3
=
82n+ 72.000− 3(12.000 + 20n)− (14n+ 63.000)
3
=
82n+ 72.000− 36.000− 60n− 14n− 63.000
3
=
8n− 27.000
3
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Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 1 – 2023-2 3
Com isso, o lucro será de
L =

3n− 12.000, se n ≤ 9.000
8n− 27.000
3
, se n > 9.000.
(d) Não sabemos se esta quantidade é ou não superior a 9.000, então temos que trabalhar com as
duas possibilidades:
• Supondo n ≤ 9.000:
O lucro é dado por L = 3n− 12.000, logo
L = 17.992⇔ 3n− 12.000 = 17.992⇔ 3n = 17.992 + 12.000⇔ 3n = 29.992,
que equivale a
n =
29.992
3
= 9.997,3333...
que não é válido pois estamos supondo n ≤ 9.000.
• Supondo n > 9.000:
O lucro é dado por L =
8n− 27.000
3
, logo
L = 17.992⇔ 8n− 27.000
3
= 17.992⇔ 8n+ 27.000 = 53.976⇔ 8n = 80.976,
que equivale a
n =
80.976
8
= 10.122.
Portanto, devem ser produzidas 10.122 unidades.
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Gabarito da Questão 3 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2023-2Questão 3 (2,5 pontos) Nas vésperas da realização de um importante fórum de discussões,
verificou-se que:
(i) Se um convidado é da área de saúde pública e chegou na cidade há menos de 2 dias, então ele
ainda não se credenciou.
(ii) Se um convidado é da área de saúde pública e chegou na cidade há mais de 7 dias, então ele
já se credenciou.
(iii) Se um convidado é da área de poĺıticas para a educação e este convidado é do estado do Rio
de Janeiro, então ele já se credenciou.
(iv) Se um convidado é da área de poĺıticas para a educação, de fora do estado do Rio de Janeiro
e chegou na cidade há mais de 2 dias, então ele já se credenciou.
Diga quais conclusões abaixo estão corretas a partir das informações acima, justificando:
(a) Se o convidado é da área de saúde pública, de fora do estado do Rio de Janeiro e chegou na
cidade há 2 dias, então ele ainda não se credenciou.
(b) Se o convidado é da área de saúde pública, de fora do estado do Rio de Janeiro e chegou na
cidade há 8 dias, então ele já se credenciou.
(c) Se o convidado é da área de saúde pública e chegou na cidade há 4 dias, então ele ainda não se
credenciou.
(d) Se um convidado da área de saúde pública já se credenciou, então ele chegou na cidade há mais
de 7 dias.
(e) Se um convidado da área de saúde pública ainda não se credenciou, então ele chegou na cidade
há menos de 2 dias.
(f) Se um convidado da área de saúde pública já se credenciou, então ele chegou na cidade há 2 ou
mais dias.
(g) Se o convidado é da área de poĺıticas para educação, é do estado do Rio de Janeiro e chegou
hoje na cidade, então ele já se credenciou.
(h) Se um convidado da área de poĺıticas para educação chegou ontem e já se credenciou, então ele
é do Estado do Rio de Janeiro.
(i) Se um convidado ainda não se credenciou, então ele é da área de saúde pública, ou é da área
de poĺıticas para educação e de fora do Rio de Janeiro.
(j) Se um convidado de poĺıticas para educação ainda não se credenciou, então ele é de fora do
Estado do Rio de Janeiro.
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Solução:
(a) A conclusão está incorreta, pois a afirmação não pode ser conclúıda. Considere, por exemplo,
convidado da área de saúde pública que chegou há 2 dias e que já se credenciou.
Considerando um convidado da área de saúde pública, a informação (i) diz que
Se chegou há menos de 2 dias︸ ︷︷ ︸
d
⇒ não se credenciou︸ ︷︷ ︸
n
.
No exemplo dado, temos:
• d falso, pois se chegou há dois dias, é falso que tenha chegado há menos de dois dias;
• n falso.
Portanto, m ⇒ n será F ⇒ F , o que é verdadeiro. Portanto, a informação dada está sendo
satisfeita.
A afirmação (ii) também não está sendo contrariada, já que ela afirma que Considerando um
convidado da área de saúde pública, a informação (i) diz que
Se chegou há mais de 7 dias︸ ︷︷ ︸
s
⇒ se credenciou︸ ︷︷ ︸
c
.
e, neste caso, temos F ⇒ V , que é verdadeiro.
Como (i) e (ii) são as únicas afirmações feitas sobre um convidado da área de saúde pública e
nenhuma delas está sendo contrariada pelo exemplo “convidado da área de saúde pública que
chegou há 2 dias e que já se credenciou”, não podemos afirmar que “Se o convidado é da área
de saúde pública, de fora do estado do Rio de Janeiro e chegou na cidade há 2 dias, então ele
ainda não se credenciou”.
O fato de o convidado ser de fora do estado do Rio de Janeiro é irrelevante para as afirmações
(i) e (ii).
(b) A conclusão está correta, pois a afirmação pode ser conclúıda. A afirmação (ii) diz, sobre
um convidado da área de saúde pública, que
Se chegou há mais de 7 dias︸ ︷︷ ︸
s
⇒ se credenciou︸ ︷︷ ︸
c
.
Neste caso, como o convidado chegou na cidade há 8 dias, temos s verdadeiro, portanto necessa-
riamente teremos c verdadeiro, isto é, então ele já se credenciou. Isto independe de o convidado
ser ou não do estado do Rio de Janeiro.
(c) A conclusão está incorreta, pois a afirmação não pode ser conclúıda, exatamente como na 2.
Se considerarmos o exemplo de um convidado da área de saúde pública que chegou há 4 dias e
que já se credenciou, nas informações (i) e (ii),
(i): Se chegou há menos de 2 dias︸ ︷︷ ︸
d
⇒ não se credenciou︸ ︷︷ ︸
n
.
(ii): Se chegou há mais de 7 dias︸ ︷︷ ︸
s
⇒ se credenciou︸ ︷︷ ︸
c
.
teremos F ⇒ F e F ⇒ V , que são ambas verdadeiras.
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Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 3 da AD 1 – 2023-2 3
(d) A conclusão está incorreta, veja o exemplo do item anterior (um convidado da área de saúde
pública que chegou há 4 dias e que já se credenciou).
(e) A conclusão está incorreta, considere o exemplo de um convidado da área de saúde pública
que chegou há 4 dias e que ainda não se credenciou. Nas informações (i) e (ii),
(i): Se chegou há menos de 2 dias︸ ︷︷ ︸
d
⇒ não se credenciou︸ ︷︷ ︸
n
.
(ii): Se chegou há mais de 7 dias︸ ︷︷ ︸
s
⇒ se credenciou︸ ︷︷ ︸
c
.
teremos F ⇒ V e F ⇒ F , que são ambas verdadeiras.
(f) A conclusão está correta. Se um convidado tivesse chegado a menos de dois dias, então, pela
informação (i), ele não teria se credenciado.
(g) A conclusão está correta. Se o convidado é da área de poĺıticas para educação e é do estado
do Rio de Janeiro, por (iii) ele já se credenciou, independentemente de ter ou não chegado hoje
na cidade.
(h) A conclusão está incorreta. Considere as informações (iii) e (iv) para convidados de poĺıticas
para a educação:
(iii): é do estado do Rio de Janeiro︸ ︷︷ ︸
r
⇒ se credenciou︸ ︷︷ ︸
c
.
(iv): é de fora do estado do Rio de Janeiro︸ ︷︷ ︸
f
e chegou na cidade há mais de dois dias︸ ︷︷ ︸
m
⇒ se credenciou︸ ︷︷ ︸
c
.
Considerando um convidado da área de poĺıticas para educação que chegou ontem, já se creden-
ciou e não é do Estado do Rio de Janeiro, temos
• r falso
• c verdadeiro
• f verdadeiro
• m falso
Com isso, (iii) ficará F ⇒ V , que é verdadeiro, e (iv) ficará V e F ⇒ V , que equivale a
F ⇒ V , que é verdadeiro. Assim, as duas únicas informações relativas a um convidado da área
de poĺıticas para a educação não estão sendo contrariadas.
(i) A conclusão está correta. Um convidado é da área de saúde pública ou da área de poĺıticas
para educação. Na segunda possibilidade, ele deve ser de fora do estado do Rio de Janeiro, pois,
caso contrário, já teria se credenciado, por (iii).
(j) A conclusão está correta pois, se ele for de poĺıticas para educação e do Estado do Rio de
Janeiro, por (iii) ele já teria se credenciado.
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Gabarito da Questão 4 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2023-2
Questão 4 (2,5 pontos) Em uma cadeia de produção e venda fict́ıcia, em um local onde o único
imposto existente seja sobre o valor agregado dos produtos, temos os seguintes componentes:
• Fábrica 1, que compra matérias primas pelo preço P1 e tem um custo P2 com demais insumos,
e produz um produto que é vendido pelo preço P3 à Fábrica 3.
• Fábrica 2, que compra matérias primas pelo preço P4 e tem um custo P5 com demais insumos,
e produz um produto que é vendido pelo preço P6 à Fábrica 3.
• Fábrica 3, que compra os produtos das Fábricas 1 e 2 pelos preços P3 e P6, respectivamente,
e tem um custo P7 com insumos, para produzir um produto final que é vendido à Loja 1 pelo
preço P8.
• A Loja compra o produto final da Fábrica 3 pelo preço P8 e tem um custo P9 com demais
insumos para seu funcionamento, e revendo o produto final pelo preço P10.
Em cada etapa da cadeia, cada fábrica ou loja deve recolher um imposto sobre o valor agregado,
isto é, um percentual sobre a diferença entre o preço pelo qual vendo o produto e a soma dos custos
com matérias primas, insumos e produtos adquiridos.
Por exemplo, se a Fábrica 1 recolhe um imposto de valor agregado de aĺıquota a%, o impostorecolhido deve ser de
a%(P3 − (P1 + P2)) ,
que é igual a
a
100
(P3 − P1 − P2) .
Sabe-se que:
• a aĺıquota do imposto de valor agregado para todas as fábricas tem aĺıquota a%.
• a aĺıquota do imposto de valor agregado para a loja tem aĺıquota 30%.
A partir disso, responda aos itens abaixo, utilizado em cada um deles as informações obtidas nos
anteriores:
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 4 da AD 1 – 2023-2 2
(a) Se as matérias primas e os insumos para produção de uma unidade do produto da Fábrica 1 têm
preços P1 = 12,02 reais e P2 = 5,68 reais, e o produto é vendido pela Fábrica 1 ao preço de
P3 = 25,10 reais, com recolhimento de 1,48 reais em imposto sobre valor agregado, determine
a aĺıquota a que incide sobre o valor agregado da indústria.
(b) Determine, em função de P4, P5 e P6, o imposto sobre valor agregado que deve ser recolhido
na venda de cada unidade do produto da Fábrica 2.
(c) Se a Fábrica 2 vende cada unidade de seu produto pelo preço P6 = 32,15 reais com recolhimento
de 1,29 reais como imposto, determine P4 + P5.
(d) Por qual preço P8 a Fábrica 3 vende cada unidade de seu produto para a Loja, sabendo que seu
gasto com insumos com cada unidade é de P7 = 5,60 reais e o imposto recolhido é de 3,15 reais.
(e) A Loja gasta o equivalente a P9 = 30, 20 reais com insumos na revenda de cada unidade do
produto que adquire da Fábrica 3. Escreva, em função de P10, o imposto que deve recolher na
venda de cada unidade do produto.
(f) Escreva, em função de P10, o lucro ĺıquido da venda de cada unidade do produto, isto é, o lucro
após o desconto de todos os custos (P8 e P9) e do imposto recolhido.
(g) Determine P10 para que o lucro ĺıquido da Loja, na venda de cada unidade do produto, seja de
13,93 reais.
Dica útil: Em cada um dos itens (a), (b), (c), (d) e (g), após descobrir o que é pedido, teste o
valor contra as informações dispońıveis para ver se ele está correto.
Solução:
(a) O imposto a ser pago pela Fábrica 1 é dado por a% do valor que ela agregou ao produto, isto é,
a
100
(P3 − P1 − P2) ,
como inclusive já foi dito acima. Assim, como P1 = 12,02, P2 = 5,68, P3 = 25,10 e o imposto
foi de 1,48, temos
a
100
(25,10− 12,02− 5,68) = 1,48
logo
a
100
· 7,40 = 1,48,
portanto
a =
100 · 1,48
7,40
= 20.
Assim, a aĺıquota é de a% = 20%.
Podemos testar esse valor para ver se as contas estão corretas:
20
100
· (25,10− 12,02− 5,68) = 20
100
· 7,40 = 148
100
= 1,48.
(b) A Fábrica 2 vende ao preço de P6, tendo custos P4 e P5. Assim, com a aĺıquota de a% = 2 = %,
o imposto que deve recolher é de
20% (P6 − (P4 + P5) =
20
100
(P6 − P4− P5) .
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Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 4 da AD 1 – 2023-2 3
(c) Como P6 = 32,15 e o imposto recolhido é de 1,29, e utilizando a expressão do item anterior,
temos
20
100
(32,15− P4− P5) = 1,29,
logo
20
100
(32,15− P4− P5) = 1,29,
logo
32,15− P4− P5 =
100
20
· 1,29
e portanto
32,15− P4− P5 = 6,45.
Reorganizando
32,15− 6,45 = P4 + P5,
logo
P4 + P5 = 25,70.
Vamos novamente testar o resultado:
20% (32,15− 25,70) = 20
100
· 6,45 = 129
100
= 1,29.
(d) O imposto recolhido pela Fábrica 3 é dado por
20
100
(P8 − (P3 + P6 + P7)) .
Sabendo que P3 = 25,10, P6 = 32,15, P7 = 5,60 e o imposto é de 3,15 reais, temos
20
100
(P8 − (25,10 + 32,15 + 5,60)) = 3,15,
logo
20
100
(P8 − 62,85)) = 3,15
e portanto
P8 − 62,85 =
100
20
· 3,15 = 15,75.
Com isso,
P8 = 15,75 + 62,85 = 78,60.
Verificando:
20
100
(78,60− (25,10 + 32,15 + 5,60)) = 20
100
· 15,75 = 3,15.
(e) A Loja adquire o produto por P8 = 78,60, tem gastos com insumos de P9 = 30,20 e paga um
imposto com aĺıquota de 30%, portanto deve recolher como imposto
30% · (P10 − (P8 + P9)) ,
ou ainda
30% · (P10 − (78,60 + 30,20)) ,
que é igual a a
30% · (P10 − 108,80) .
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Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 4 da AD 1 – 2023-2 4
(f) O lucro ĺıquido L será o valor de venda menos todos os custos, incluindo impostos. Assim,
L = P10 − P8 − P9 −
30
100
· (P10 − 108,80) ,
que é igual a
L = P10 − 108,80−
30
100
· (P10 − 108,80) .
(g) Para que o lucro ĺıquido ser de 13,93 reais, teremos
13,93 = P10 − 108,80−
30
100
· (P10 − 108,80) .
Logo, multiplicando por 100 toda a equação,
1393 = 100P10 − 10880− 30 · (P10 − 108,80) ,
que equivale a
1393 = 100P10 − 10880− 30P10 + 3264,
ou ainda
1393 = 70P10 − 7616.
Com isso,
70P10 = 1393 + 7616,
portanto
70P10 = 9009
e então
P10 =
9009
70
= 128,70.
Vamos verificar o valor. Com o preço P10 = 128,70, temos lucro dado por
L = 128,70− 108,80− 30
100
· (128,70− 108,80) = 19,90− 30
100
· 19,90 = 19,90− 5,97 = 13,93.
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