MATEMÁTICA FINANCEIRA - TEMA 4 - Avaliação de Projetos Análise Comparativa

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DEFINIÇÃO
Estudo de métodos de avaliação de projetos mutuamente excludentes. Método do Valor Presente
Líquido e da Taxa Interna de Retorno. Métodos para análise de projetos com diferenças de prazo e
investimento inicial: Taxa Interna de Retorno Incremental e Valor Presente Líquido Anualizado.
PROPÓSITO
Aplicar os principais métodos de avaliação de projetos mutuamente excludentes para a seleção das
melhores alternativas de investimento.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o estudo deste tema, certifique-se de ter em mãos uma calculadora financeira ou de
obter acesso a uma planilha eletrônica. Alguns dos cálculos necessitam de recursos que as calculadoras
mais simples não são capazes de realizar. Para o aproveitamento máximo deste trabalho, é
recomendável possuir ainda um conhecimento sobre os métodos de avaliação individual de viabilidade
de projetos, como, por exemplo, Valor Presente Líquido (VPL), Taxa Interna de Retorno (TIR), Taxa
Interna de Retorno Modificada (TIRM) e Payback.
/
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Comparar projetos mutuamente excludentes por meio dos métodos de Valor Presente Líquido (VPL) e
Taxa Interna de Retorno (TIR)
MÓDULO 2
Contrastar projetos com diferenças em prazos e em valores de investimento inicial
MÓDULO 1
 Comparar projetos mutuamente excludentes por meio dos métodos de Valor Presente Líquido (VPL)
e Taxa Interna de Retorno (TIR)
INTRODUÇÃO
Apresentaremos neste módulo os conceitos de projetos independentes e mutuamente excludentes. Em
seguida, falaremos sobre as formas de utilização dos métodos VPL e TIR para escolher a melhor dentre
/
as diversas alternativas de investimento que estiverem à disposição.
PROJETOS INDEPENDENTES E MUTUAMENTE
EXCLUDENTES
Imagine que você seja o CFO de uma fábrica. Neste momento, você analisa uma carteira de projetos
com as seguintes opções:
CFO
Esta sigla de Chief Financial Officer identifica o cargo de diretor financeiro de uma organização.
OPÇÃO 1
OPÇÃO 2
OPÇÃO 3
OPÇÃO 1
Projeto de instalação de uma linha de produção para um novo produto que acaba de ser aprovado.
OPÇÃO 2
Projeto de reforma de um armazém logístico para reduzir custos de processamento de encomendas.
OPÇÃO 3
Projeto de construção de novo armazém logístico para reduzir custos de processamento de
encomendas.
javascript:void(0)
/
Como um bom CFO, você percebe que o primeiro projeto é independente dos demais. A decisão de
executá-lo, portanto, não depende da análise dos outros existentes. Desse modo, se ele for um projeto
viável, deverá ser executado.
 
Fonte:Shutterstock
 Forte em Saint Tropez ao por do sol
O mesmo não ocorre com os outros dois projetos, pois eles são opções diferentes com o mesmo
objetivo: reduzir os custos de processamento de encomendas. Mesmo que ambos sejam viáveis, você
deve executar apenas um deles, ou seja, o melhor.
NESTE CASO, ELES NÃO SÃO INDEPENDENTES, E
SIM MUTUAMENTE EXCLUDENTES, POIS A
EXECUÇÃO DE UM IMPLICA O ABANDONO DO
OUTRO.
De forma resumida, podemos definir projetos independentes e mutuamente excludentes da seguinte
forma:
Projetos independentes
A decisão sobre a execução de um deles não afeta a que será feita sobre o outro.
/

Projetos mutuamente excludentes
Essa decisão implica o abandono da execução do outro, mesmo que ambos sejam economicamente
viáveis.
DE POSSE DE UM TERRENO, UMA CONSTRUTORA
TEM DUAS ALTERNATIVAS: CONSTRUIR UM
EDIFÍCIO DE APARTAMENTOS POR R$10 MILHÕES
OU UM EDIFÍCIO COMERCIAL POR R$8 MILHÕES.
SEU ORÇAMENTO DISPONÍVEL É DE R$20 MILHÕES.
ESSES PROJETOS SÃO INDEPENDENTES OU
MUTUAMENTE EXCLUDENTES?
RESPOSTA
 ATENÇÃO
Neste tema, nossa atenção estará voltada para a análise de projetos mutuamente excludentes.
javascript:void(0)
/
USANDO O VPL E A TIR PARA SELECIONAR
PROJETOS
Antes de comparar projetos, devemos nos certificar de que eles são viáveis. Para isso, usamos algumas
ferramentas. Vamos conhecê-las a seguir.
FERRAMENTAS
Os critérios de aceitação ou rejeição dos projetos estão resumidos na tabela a seguir:
Método Aceitação Rejeição
VPL VPL > 0 VPL < 0
TIR
TIR > taxa mínima de
atratividade
TIR < taxa mínima de
atratividade
TIRM
TIRM > taxa mínima de
atratividade
TIRM < taxa mínima de
atratividade
Payback simples ou
descontado
Payback < tempo máximo de
retorno
Payback > tempo máximo de
retorno
TRC TRC > 1 TRC < 1
Métodos do VPL e da TRC
Concentram-se no valor agregado pelo projeto.

Métodos de TIR e TIRM
Estão voltados para a rentabilidade do projeto.
javascript:void(0)
/

Método Payback
Está voltado para o tempo de retorno.
EM FUNÇÃO DOS OBJETIVOS DA EMPRESA E DAS
CIRCUNSTÂNCIAS DO PROJETO, ELES PODEM TER
UMA MAIOR OU MENOR IMPORTÂNCIA NA ANÁLISE
DE VIABILIDADE.
Uma vez eliminados os projetos economicamente inviáveis, passamos à análise dos que restaram,
identificando tanto os independentes dos demais quanto os mutuamente excludentes.
Suponhamos que dois projetos mutuamente excludentes possuam os seguintes fluxos de caixa:
 

/
 
Podemos calcular o VPL e a TIR de cada um dos projetos.
VAMOS REMEMORAR O CÁLCULO DO VPL DO
PROJETO A:
1° - Na HP 12C
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
100000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -100.000.
25000 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 25.000.
5 + g + Nj Insere o número de períodos em que o fluxo de 25.000 se repete.
5 + i Insere a TMA.
f + NPV Calcula o VPL.
/
2° - No Excel
 
Agora, na coluna C9, insira a fórmula:
=VPL(C1;C4:C8)+C3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, temos este resultado:
 
AGORA VAMOS OBSERVAR O CÁLCULO DO VPL DO
PROJETO B:
1° - Na HP 12C
Teclas Ação
/
CLX Limpa a memória.
100000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -100.000.
15000 + g + CFj Insere o valor de CF1 = 15.000.
25000 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 25.000.
3 + g + Nj Insere o número de períodos em que o fluxo de 25.000 se repete.
35000 + g + CFj Insere o valor de CF5 = 35.000.
5 + i Insere a TMA.
f + NPV Calcula o VPL.
2° - No Excel
Para o cálculo da VPL no Excel, vamos primeiramente organizar a planilha conforme a imagem a seguir.
Podemos aproveitar a mesma que apresentamos anteriormente, incluindo apenas o Projeto B analisado
neste momento:
 
Agora, na coluna D9, insira a fórmula:
=VPL(C1;D4:D8)+D3
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, observamos este resultado:
 
APÓS RELEMBRAMOS O CÁLCULO DO VPL, VAMOS
LEMBRAR AGORA O DE TIR NO PROJETO A:
1° - Na HP 12C
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
100000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -100.000.
25000 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 25.000.
5 + g + Nj Insere o número de períodos em que o fluxo de 25.000 se repete.
f + IRR Calcula a TIR.
35000 + g + CFj Insere o valor de CF5 = 35.000.
5 + i Insere a TMA.
/
f + NPV Calcula o VPL.
2° - No Excel
Empregaremos a planilha que já possuímos inserindo uma linha para TIR e, na coluna C10, a fórmula:
=TIR(C3:C8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, obtemos o resultado:
 
AGORA VAMOS VER O CÁLCULO DE TIR NO
PROJETO B:
1° - Na HP 12C
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
100000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -100.000.
15000 + g + CFj Insere o valor de CF1 = 15.000.
/
25000 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 25.000.
3 + g + Nj Insere o número de períodos em que o fluxo de 25.000 se repete.
35000 + g + CFj Insere o valor de CF5 = 35.000.
f + IRR Calcula a TIR.
2° - No Excel
Usando a mesma planilha, inserimos, na coluna D10, esta fórmula:
=TIR(D3:D8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, temos o seguinte resultado:
 
Dessa maneira, notamos o seguinte:
Projeto A
VPLA=8.236,92
TIRA=7,93% a.a.
/

Projeto B
VPLB=6.548,37
TIRB=7,10% a.a.
OS DOIS PROJETOS POSSUEM VPL > 0 E TIR > 5%;
ELES, PORTANTO, SÃO VIÁVEIS.
Mas ainda resta uma questão:
Qual dos dois se deve escolher então?
O VPLindica o quanto de valor um projeto aporta. Portanto, quanto maior for o VPL, melhor o projeto
será. A TIR, por sua vez, remete à rentabilidade dele. Assim como ocorre no VPL, quanto maior for a
TIR, melhor será o projeto.
Dessa forma, os dois indicadores apontam A como o melhor dos dois projetos. Logo, ele deve ser o
projeto escolhido.
CONFLITOS ENTRE OS MÉTODOS VPL E TIR
Verificaremos agora as situações em que os métodos do VPL e da TIR apresentam resultados
conflitantes. Nosso propósito é aprender a interpretar esses resultados e saber como proceder para a
seleção do melhor projeto.
Já vimos que devemos escolher os projetos com os maiores VPL e TIR. Tendo isso em vista,
analisemos estes projetos:
/
 

 
Apresentaremos o VPL e a TIR para cada um deles, considerando, neste caso, uma Taxa Mínima de
Atratividade (TMA) igual a 5% ao ano (a.a.):
Projeto A
VPLA=4.561,76
TIRA=19,29% a.a.
/

Projeto B
VPLB=4.791,19
TIRB=18,13% a.a.
ANALISANDO OS DOIS PROJETOS, RESTA UMA
DÚVIDA: QUAL SERIA A MELHOR OPÇÃO?
Se considerarmos:
O método VPL
Escolheremos B, pois ele é o projeto com o maior VPL, agregando à empresa o valor mais substancial.
O método TIR
Se levarmos em consideração este método, o escolhido será A, já que ele é o projeto com a maior TIR,
apresentando, portanto, mais rentabilidade.
O QUE FAREMOS ENTÃO?
Antes de decidirmos, precisaremos entender o motivo dessa divergência entre os dois métodos. Para
isso, vamos olhar o gráfico que mostra a relação entre o VPL e a TMA para os dois projetos.
/
Vemos neste gráfico que a TIR do projeto A é maior que a TIR do B, pois a curva azul corta o eixo
horizontal em 19,29%, enquanto a vermelha o atravessa em 18,13%. No entanto, como estamos usando
uma TMA = 5%, o VPL do projeto B é, neste ponto, superior ao VPL de A.
SE USÁSSEMOS OUTRO VALOR PARA A TMA, O QUE
TERIA OCORRIDO?
Considerando uma TMA igual a 15% a.a., esta tabela apresenta o VPL e a TIR para cada um dos
projetos:
Projeto A
VPLA=1.091,34
TIRA=19,29% a.a.

Projeto B
VPLB=913,81
TIRB=18,13% a.a.
/
Notemos que a escolha da TMA só afeta o cálculo do VPL. A TIR dos dois projetos permanece
inalterada. Os métodos do VPL e da TIR agora indicam o projeto A como sendo o melhor.
Graficamente, isso está expresso da seguinte forma:
 
Fonte:Shutterstock
Ao analisarmos o TMA, verificamos que:
Quando a TMA está à direita do ponto de interseção entre as duas curvas, os métodos convergem
na escolha do projeto.
Quando ela fica à esquerda desse ponto entre as duas curvas, eles divergem.
Fica clara então a importância de uma boa estimativa da TMA para a avaliação de projetos pelo método
do VPL.
Agora que já entendemos o motivo de haver uma divergência entre os dois métodos, ainda resta a
pergunta:
QUAL PROJETO ESCOLHER?
O RECOMENDADO É QUE, CASO HAJA ALGUMA
DIVERGÊNCIA ENTRE OS DOIS MÉTODOS, SE DÊ
PREFERÊNCIA AO MÉTODO DO VPL, POIS ELE
INDICA O VALOR ADICIONADO À EMPRESA. ALÉM
DISSO, OS PRESSUPOSTOS DA TIR, QUE
/
CONSIDERA QUE OS FLUXOS INTERMEDIÁRIOS
SERÃO REINVESTIDOS NA PRÓPRIA TIR, SÃO
MENOS REALISTAS QUE OS DO VPL, O QUAL, POR
SUA VEZ, OBSERVA QUE ESSES FLUXOS SERÃO
INVESTIDOS NA TMA.
Dessa maneira, na ausência de outras informações, escolhe-se o projeto com o maior VPL. No caso
apresentado, a escolha recai sobre B.
MÃO NA MASSA
1. UMA EMPRESA ANALISA OS SEGUINTES PROJETOS:
 
• AQUISIÇÃO DE UM NOVO SISTEMA INFORMATIZADO DE GESTÃO DE
PESSOAS; 
• TERCEIRIZAÇÃO DO DEPARTAMENTO DE RECURSOS HUMANOS (RH). 
 
OS PROJETOS ACIMA SÃO:
A) Independentes
B) Mutuamente excludentes
C) Inviáveis
D) Incrementais
2. UMA GRANDE EMPRESA PETROLÍFERA ANALISA DUAS NOVAS
PERFURAÇÕES (CAMPO A E CAMPO B) COM VIABILIDADE ECONÔMICA. CADA
PERFURAÇÃO EXIGIRÁ UM INVESTIMENTO INICIAL DE R$1 BILHÃO. OS DOIS
PROJETOS SÃO INDEPENDENTES?
A) Sim – e em qualquer situação.
B) Não – e em qualquer situação.
/
C) Sim, se a empresa tem um orçamento disponível maior que R$2 bilhões.
D) Não, se a empresa possui um orçamento disponível maior que R$2 bilhões.
3. DOIS PROJETOS DE INVESTIMENTO MUTUAMENTE EXCLUDENTES
POSSUEM OS SEGUINTES FLUXOS DE CAIXA LÍQUIDOS:
 
COM UMA TMA IGUAL A 5% A.A., QUAL DOS DOIS DEVE SER SELECIONADO?
A) A, pois sua TIR e seu VPL são menores que os do projeto B.
B) B, pois sua TIR e seu VPL são maiores que os do projeto A.
C) B, pois sua TIR e seu VPL são menores que os do projeto A.
D) A, pois sua TIR e seu VPL são maiores que os do projeto B.
4. SÃO DADOS OS SEGUINTES FLUXOS DE CAIXA LÍQUIDOS DE DOIS
PROJETOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES. EMPREGANDO O MÉTODO DA TIR,
QUAL DELES DEVE SER ESCOLHIDO?
 
A) O projeto A, pois possui a maior TIR.
B) O projeto B, pois possui a maior TIR.
C) O projeto A, pois possui a menor TIR.
D) Se a TMA for igual a 10% a.a., nenhum projeto deverá ser escolhido.
/
5. A TABELA A SEGUIR MOSTRA O FLUXO DE CAIXA LÍQUIDO DOS PROJETOS
A E B. SABENDO QUE A TMA É IGUAL A 5% A.A., INDIQUE QUAL PROJETO
DEVE SER ESCOLHIDO PELO MÉTODO DO VPL.
PERÍODO PROJETO A PROJETO B
0 -5.000 -5.000
1 900 92.000
2 1.100 1.200
3 1.200 1.200
4 1.200 1.200
5 3.000 1.200
A) A, pois tem o maior VPL.
B) B, pois possui o maior VPL.
C) A, pois conta com o menor VPL.
D) B, pois tem o menor VPL.
GABARITO
1. Uma empresa analisa os seguintes projetos: 
 
• Aquisição de um novo sistema informatizado de gestão de pessoas; 
• Terceirização do departamento de recursos humanos (RH). 
 
Os projetos acima são:
A alternativa "B " está correta.
/
Caso a empresa decida terceirizar seu departamento de RH, ela não precisa adquirir um novo sistema
informatizado de gestão de pessoas, uma vez que essa tarefa fica a cargo da nova empresa contratada.
Dessa forma, os dois projetos são mutuamente excludentes. Neste caso, vemos que a exclusão decorre
do fato de que ambos possuem o mesmo objetivo: reformar a gestão de pessoas da empresa.
2. Uma grande empresa petrolífera analisa duas novas perfurações (campo A e campo B) com
viabilidade econômica. Cada perfuração exigirá um investimento inicial de R$1 bilhão. Os dois
projetos são independentes?
A alternativa "C " está correta.
Os dois projetos apresentados são viáveis economicamente. No entanto, se a empresa só tem
capacidade orçamentária para executar um deles – quando seu orçamento disponível para
investimentos é menor que R$2 bilhões –, ela precisa escolher apenas um para investir. Com isso,
mesmo que faça sentido tecnicamente explorar os dois campos, os projetos são mutuamente
excludentes por restrições orçamentárias, já que elas impedem a execução simultânea de ambos. Caso
seu orçamento fosse de R$2,5 bilhões, eles poderiam ser executados ao mesmo tempo, pois haveria
orçamento suficiente. Neste caso, os projetos seriam independentes.
3. Dois projetos de investimento mutuamente excludentes possuem os seguintes fluxos de caixa
líquidos:
 
Com uma TMA igual a 5% a.a., qual dos dois deve ser selecionado?
A alternativa "D " está correta.
Calculando o VPL e a TIR de cada um dos projetos, verificamos o seguinte:
Projeto A Projeto B
VPLA=3.609,37 VPLB=2.812,78
TIRA=15,84% a.a. TIRB=13,62% a.a.
Vemos que os dois projetos são viáveis, pois eles possuem VPL > 0 e TIR > TMA. No entanto, o projeto
A apresenta um valor maior de VPL que o de B. Da mesma forma, A possui uma TIR maior que a do
/
projeto B. Os dois métodos, portanto, indicam que a escolha deve ser pelo projeto A.
4. São dados os seguintes fluxos de caixa líquidos de dois projetos mutuamente excludentes.
Empregando o método da TIR, qual deles deve ser escolhido?
 
A alternativa "D " está correta.
Calculando a TIR dos dois projetos, temos o seguinte:
TIRA=7,07% a.a.
TIRB=5,98% a.a.
Como a TIR do projeto A é maior, vemos que este é o melhor dos dois projetos. No entanto, precisamos
comparar a TIR com a TMA para ver se ambos são viáveis antes de decidirmos executar qualquer um
deles. Caso a TIR seja menor que a TMA, o projeto é inviável e não pode ser executado. A opção d
indica justamente isto: com umaTMA de 10% a.a., nenhum dos dois projetos é viável nem deve ser
executado.
5. A tabela a seguir mostra o fluxo de caixa líquido dos projetos A e B. Sabendo que a TMA é
igual a 5% a.a., indique qual projeto deve ser escolhido pelo método do VPL.
Período Projeto A Projeto B
0 -5.000 -5.000
1 900 92.000
2 1.100 1.200
3 1.200 1.200
4 1.200 1.200
/
5 3.000 1.200
A alternativa "A " está correta.
Usando a calculadora HP 12C, podemos achar os valores do VPL para cada um dos projetos:
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
5000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -5.000.
900 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF1.
1100 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF2.
1200 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF3.
1200 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF4.
3000 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF3.
5 + i Insere a TMA.
f + NPV Calcula o VPL de A.
Após seguirmos as instruções na calculadora HP 12C, encontramos o seguinte resultado: 1,229.30.
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
5000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -5.000.
/
2000 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF1.
1200 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF2.
1200 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF3.
1200 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF4.
1200 + g + CFj Insere o valor do fluxo CF3.
5 + i Insere a TMA.
f + NPV Calcula o VPL de B.
Após seguirmos as instruções na calculadora HP 12C, achamos este resultado: 957.28. Dessa forma,
observamos isto:
Projeto A Projeto B
VPLA=1.229,30 VPLB=957,28
Como o VPL de A é maior que o de B, o projeto A deve ser o escolhido.
GABARITO
/
TEORIA NA PRÁTICA
Neste vídeo um especialista irá apresentar e resolver uma atividade que mostra a teoria na prática do
que vimos neste módulo.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. APONTE A AFIRMATIVA FALSA.
A) Projetos mutuamente excludentes são aqueles que só podem ser avaliados individualmente.
/
B) Projetos independentes são aqueles cuja decisão de investimento não altera a decisão sobre os
demais.
C) Dois projetos podem se tornar mutuamente excludentes caso haja restrições orçamentárias que
impeçam a execução simultânea dos dois.
D) Dois projetos são mutuamente excludentes quando a execução de um impede a do outro.
2. OBSERVE O GRÁFICO A SEGUIR E INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA.
 
A) O projeto A apresenta TIR inferior à de B.
B) Caso a TMA seja de 5%, o VPL do projeto A será superior ao VPL do B.
C) Uma TMA igual a 10% torna o VPL dos dois projetos iguais.
D) Caso a TMA seja maior que 10%, o projeto B apresentará VPL superior ao de A.
GABARITO
1. Aponte a afirmativa falsa.
A alternativa "A " está correta.
 
Todos os projetos podem ter sua viabilidade avaliada individualmente. Os mutuamente excludentes são
definidos como aqueles cuja decisão de execução de um elimina a possibilidade da execução de outro.
Vamos analisar as opções restantes. Comecemos pela d: esta é a definição exata de projetos
/
mutuamente excludentes. Caso a execução de um projeto não afete a decisão sobre a de outro, temos
projetos independentes. Na letra c, as restrições orçamentárias podem tornar dois projetos mutuamente
excludentes caso não haja orçamento suficiente para a execução de todos eles. Na b, trata-se da
definição de projetos independentes: a análise de um não afeta a do outro.
2. Observe o gráfico a seguir e indique a alternativa correta.
 
A alternativa "C " está correta.
 
As duas curvas se cruzam no ponto em que a TMA é igual a 10%. Neste ponto, os Valores Presentes
Líquidos (VPLs) dos dois projetos serão iguais. Na opção d, com a TMA > 10%, a curva de A é superior
à de B; logo, o VPL de A é superior ao VPL de B. Na letra b, com a TMA = 5%, a curva do projeto B é
superior à de A; portanto, o VPL de B é superior ao de A. Na opção a, a TIR de cada projeto
corresponde ao ponto em que sua curva corta o eixo horizontal. Neste caso, a curva do projeto A corta o
eixo horizontal mais à direita. Assim, a TIR de A é superior à de B.
MÓDULO 2
 Contrastar projetos com diferenças em prazos e em valores de investimento inicial
INTRODUÇÃO
/
Verificaremos neste módulo o método da TIR incremental utilizado para avaliar projetos mutuamente
excludentes com investimentos iniciais de valores distintos.
Na sequência, apresentaremos o método do Valor Presente Líquido Anualizado (VPLa). Ele é muito
importante, já que permite a comparação de projetos com prazos distintos.
MÉTODO DA TIR INCREMENTAL
Consideremos dois projetos mutuamente excludentes: A e B. Seus fluxos estão descritos nesta tabela:
Ano Projeto A Projeto B
0 -10.000 -30.000
1 2.000 5.150
2 2.000 5.150
3 2.000 5.150
4 2.000 5.150
5 2.000 5.150
/
6 2.000 5.150
7 2.000 5.150
8 2.000 5.150
9 2.000 5.150
10 2.000 5.150
PROJETO A
PROJETO B
Considerando uma TMA de 9% a.a., analisaremos os dois projetos calculando seus Valores Presentes
Líquidos (VPLs) e suas TIRs:
Projeto A
VPLA=2.835,32
TIRA=15,10% a.a.

Projeto B
VPLB=3.050,94
TIRB=11,26% a.a.
VEMOS QUE O PROJETO A POSSUI UM VPL MENOR
QUE O DE B. POR OUTRO LADO, A TIR DE A É
javascript:void(0)
javascript:void(0)
/
MAIOR QUE A DO PROJETO B.
Este é o mesmo problema estudado no módulo anterior. No entanto, esses dois projetos possuem uma
diferença significativa em seu investimento inicial.
SERÁ QUE O ACRÉSCIMO NO VPL QUE B OFERECE
JUSTIFICA INVESTIR TRÊS VEZES MAIS E ADQUIRIR
UM NOVO EQUIPAMENTO?
Outra questão:
SE EU DECIDIR INVESTIR NO PROJETO A,
CONSEGUIREI APLICAR OS R$20.000 QUE
SOBRARAM EM OUTRO INVESTIMENTO QUE GERE
UMA RENTABILIDADE TÃO BOA QUANTO A DE B?
A análise de projetos com custos iniciais muito diferentes sempre esbarra nessas questões. Vamos ver
como podemos respondê-las. Comecemos pela análise deste gráfico:
 
Fonte:Shutterstock
 Forte em Saint Tropez ao por do sol
/
Ao valor da taxa que corresponde ao ponto de interseção das duas curvas, damos o nome de TIR
incremental (TIRi) ou ponto de Fischer.
Ela é a taxa que torna nulo o fluxo incremental dos dois projetos. Vamos ver o motivo para isso.
Primeiramente, calcularemos o fluxo incremental do projeto B em relação ao A:
Ano Projeto A Projeto B Projeto B – Projeto A
0 -10.000 -30.000 -20.000
1 2.000 5.150 3.150
2 2.000 5.150 3.150
3 2.000 5.150 3.150
4 2.000 5.150 3.150
5 2.000 5.150 3.150
6 2.000 5.150 3.150
7 2.000 5.150 3.150
8 2.000 5.150 3.150
9 2.000 5.150 3.150
10 2.000 5.150 3.150
A última coluna da tabela acima mostra o fluxo incremental do B sobre o projeto A. Ele seria o fluxo
complementar obtido se a empresa resolvesse gastar mais R$20.000 para implantar o projeto B em vez
do A.
Calcularemos o VPL e a TIR desse fluxo incremental. Para isso, consideremos que TMA = 9% a.a.:
/
Ano Projeto A Projeto B
VPLA=2.835,32 VPLB=3.050,94 VPLi=215,62
TIRA=15,10% a.a. TIRB=11,26% a.a. TIRi=9,24% a.a.
Vemos que o projeto incremental possui um VPL > 0 e uma TIR >TMA.

Logo, ele se revela como um projeto atrativo que deve ser implantado.

Dessa forma, escolhemos B em detrimento de A.
 
Fonte:Shutterstock
QUAL PROJETO VOCÊ ESCOLHERIA CASO A TMA
FOSSE MAIOR QUE O PONTO DE INTERSEÇÃO DAS
CURVAS?
/
PROJETO A
Afinal, ele teria um maior VPL.
E SE A TMA FOSSE MENOR QUE A DESSE PONTO?
PROJETO B
Pois agora ele teria o maior VPL.
A seguinte lógica funciona para a escolha do projeto:
A: Se a TMA >TIRi ou se a TMA estiver à direita do ponto de interseção;
B: Se a TMA < TIRi ou se a TMA estiver à esquerda desse ponto.
O PONTO DE INTERSEÇÃO DEVE CORRESPONDER
AO VALOR DA TIRI.
VALOR PRESENTE LÍQUIDO ANUALIZADO
(VPLA)
Conhecido como Valor Anual Uniforme Equivalente, o VPLa é particularmente útil na análise de projetos
com durações distintas. Para analisar os mutuamente excludentes (o que fizemos até aqui), sempre
comparamos os que possuem o mesmo prazo de duração.
 DICA
Precisamos comparar coisas comparáveis: lembre-se da velha história de que não é possível a
comparação entre maçãs e laranjas.
Para se comparar o VPL de dois projetos, portanto, é preciso que eles tenham a mesma duração.
/COMO SE COMPARA PROJETOS COM PRAZOS DISTINTOS?
Uma maneira de permitir a comparação deles é anualizar o cálculo do VPL. Dessa forma, os Valores
Presentes Líquidos Anualizados (VPLa) podem ser comparados independentemente da duração desses
projetos.
Porém, para anualizar o valor do VPL, não basta calcular seu valor e dividi-lo pela duração do projeto.
DEVE-SE LEVAR EM CONSIDERAÇÃO O VALOR DO
DINHEIRO NO TEMPO.
Desse modo, a anualização consistirá no cálculo de uma série uniforme que, descontada pela TMA,
gere o mesmo valor do VPL do projeto. Observe os projetos a seguir:
 
O projeto A tem a duração de “n” anos.

 
O projeto B tem a duração de “m” anos.
Assim, não é possível comparar os valores de seus VPLs. No entanto, após os anualizarmos,
distribuindo seus VPLs em parcelas anuais uniformes cujos valores presentes se igualem aos
/
respectivos VPLs, poderemos compará-los.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERANDO UMA TMA DE 10% A.A., UTILIZE O MÉTODO DA TIR
INCREMENTAL PARA ESCOLHER UM DOS DOIS PROJETOS MUTUAMENTE
EXCLUDENTES:
ANO PROJETO A PROJETO B
0 -10.000 -30.000
1 2.000 4.500
2 2.000 4.500
3 2.000 4.500
4 2.000 4.500
5 2.000 4.500
6 2.000 4.500
7 2.000 4.500
8 2.000 4.500
9 2.000 4.500
/
10 2.000 4.500
A) A, pois a TIRi> 10%.
B) A, pois a TIRi< 10%.
C) B, pois a TIRi< 10%.
D) B, pois a TIRi> 10%.
2. O QUE É UM FLUXO DE CAIXA INCREMENTAL?
A) É um fluxo com entradas e saídas de caixa representando acréscimos opcionais ao projeto básico.
B) É um fluxo que representa um acréscimo de períodos ao projeto original.
C) É um fluxo obtido pela diferença entre os fluxos de dois projetos mutuamente exclusivos.
D) Corresponde à diferença entre os investimentos iniciais de dois projetos mutuamente exclusivos.
3. USANDO OS PROJETOS APRESENTADOS NA RESPOSTA DA QUESTÃO 2
DESTE MÓDULO, CALCULE O VPL PARA CADA UM DELES.
A) VPL(A) = 1.432,15 e VPL(B) = 1.485,11.
B) VPL(A) = 1.598,95 e VPL(B) = 1.541,42.
C) VPL(A) = 1.618,53 e VPL(B) = 1.673,23.
D) VPL(A) = 1.338,19 e VPL(B) = 1.295,17.
4. OS PROJETOS A E B TÊM DURAÇÕES DIFERENTES. CALCULE SEUS
VALORES PRESENTES LÍQUIDOS ANUALIZADOS (VPLA) OU VALORES
ANUALIZADOS UNIFORMES EQUIVALENTES.
A) VPLa(A) = 143,15 e VPLa(B) = 148,11.
B) VPLa(A) = 186,50 e VPLa(B) = 185,17.
C) VPLa(A) = 207,07 e VPLa(B) = 356,03.
/
D) VPLa(A) = 432,90 e VPLa(B) = 485,20.
5. CONSIDERE DOIS PROJETOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES CUJOS FLUXOS
DE CAIXA LÍQUIDOS ESTÃO REPRESENTADOS NA TABELA A SEGUIR. USANDO
O MÉTODO DO VPL, QUAL DOS DOIS DEVE SER ESCOLHIDO? CONSIDERE QUE
A TMA É IGUAL A 5% A.A.
ANO PROJETO A PROJETO B
0 -1.000 -1.000
1 70 100
2 70 100
3 70 100
4 70 100
5 70 1.000
6 70
7 70
8 70
9 70
10 70 1.070
/
A) A, pois tem o maior VPL.
B) A, pois possui o menor VPL.
C) B, pois conta com o maior VPL.
D) B, pois tem o menor VPL.
6. CONSIDERE NOVAMENTE OS PROJETOS DO EXERCÍCIO ANTERIOR.
CALCULE AGORA SEUS VALORES PRESENTES LÍQUIDOS ANUALIZADOS
(VPLA) OU VALORES ANUALIZADOS UNIFORMES EQUIVALENTES.
A) VPLa(A) = 14,15 e VPLa(B) = 18,11.
B) VPLa(A) = 18,50 e VPLa(B) = 18,17.
C) VPLa(A) = 27,07 e VPLa(B) = 36,03.
D) VPLa(A) = 20,00 e VPLa(B) = 31,90.
GABARITO
1. Considerando uma TMA de 10% a.a., utilize o método da TIR incremental para escolher um dos
dois projetos mutuamente excludentes:
Ano Projeto A Projeto B
0 -10.000 -30.000
1 2.000 4.500
2 2.000 4.500
3 2.000 4.500
4 2.000 4.500
5 2.000 4.500
/
6 2.000 4.500
7 2.000 4.500
8 2.000 4.500
9 2.000 4.500
10 2.000 4.500
A alternativa "B " está correta.
Vamos calcular inicialmente o fluxo incremental dos dois projetos:
Ano Projeto A Projeto B B-A
0 -10.000 -30.000 -20.000
1 2.000 4.500 2.500
2 2.000 4.500 2.500
3 2.000 4.500 2.500
4 2.000 4.500 2.500
5 2.000 4.500 2.500
6 2.000 4.500 2.500
7 2.000 4.500 2.500
8 2.000 4.500 2.500
/
9 2.000 4.500 2.500
10 2.000 15.000 13.000
Agora usamos a calculadora HP 12C para o cálculo dos valores das taxas internas de retorno para cada
um dos projetos (A, B e B-A):
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
10000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -10.000.
2000 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 2.000.
10 + g + Nj Insere a quantidade de fluxos de 2.000.
f + IRR Calcula a TIR de A.
Após seguirmos as instruções na calculadora HP 12C, encontramos o seguinte resultado: 15.10.
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
30000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -30.000.
4500 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 4.500.
9 + g + Nj Insere a quantidade de fluxos de 4.500.
9 + g + Nj Insere a quantidade de fluxos de 4.500.
/
15000 + g + CFj Insere o fluxo final de 15.000.
f + IRR Calcula a TIR de B.
Seguindo as instruções na calculadora HP 12C, achamos este resultado: 11.14.
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
20000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -20.000.
2500 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 2.500.
9 + g + Nj Insere a quantidade de fluxos de 2.500.
13000 + g + CFj Insere o fluxo final de 13.000.
f + IRR Calcula a TIR de B-A.
f + IRR Calcula a TIR de B.
Com as instruções apresentadas na calculadora HP 12C, verificamos o seguinte resultado: 9.44.
Dessa forma, verificamos que:
Projeto A Projeto B B-A
TIRA=15,10% a.a. TIRB=11,14% a.a. TIRi=9,44% a.a.
Como a TIRi<10%, não devemos implantar o projeto B, pois a TIR incremental é menor que a taxa
mínima de atratividade.
2. O que é um fluxo de caixa incremental?
A alternativa "C " está correta.
/
O fluxo de caixa incremental é obtido pela diferença entre os fluxos de caixa de dois projetos. Para isso,
subtrai-se o fluxo com menor investimento inicial daquele com o maior. Considere os projetos a seguir
com durações de, respectivamente, 10 e 5 anos:
Ano Projeto A Projeto B
0 -10.000 -10.000
1 1.200 2.150
2 1.200 2.150
3 1.200 2.150
4 1.200 2.150
5 1.200 2.150
6 1.200
7 1.200
8 1.200
9 1.200
10 5.000
Os projetos apresentados também serão usados nos exercícios a seguir.
3. Usando os projetos apresentados na resposta da questão 2 deste módulo, calcule o VPL para
cada um deles.
A alternativa "B " está correta.
O primeiro passo consiste em calcular seus VPLs. Para isso, vamos utilizar uma TMA igual a 5% a.a.
/
Usando a calculadora HP 12C, temos os seguintes resultados:
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
20000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -20.000.
10000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -10.000.
1200 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 1.200.
9 + g + Nj Insere o número de períodos em que o fluxo de 1.200 se repete.
5000 + g + CFj Insere o valor de CF10 = 5.000.
5 + i Insere o valor da TMA.
f + NPV Calcula o VPL do projeto A.
Seguindo as instruções na calculadora HP 12C, achamos este resultado: 1,598.95.
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
10000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -10.000.
2150 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 2.150.
4 + g + Nj Insere o número de períodos em que o fluxo de 2.150 se repete.
/
9 + g + Nj Insere o número de períodos em que o fluxo de 1.200 se repete.
5000 + g + CFj Insere o valor de CF5 = 5.000.
5 + i Insere o valor da TMA.
f + NPV Calcula o VPL do projeto B.
Seguindo as instruções na calculadora HP 12C, verificamos o seguinte resultado: 1,541.42.
Temos então:
Projeto A Projeto B
VPL 1.598,95 1.541,42
Vemos que o VPL do projeto A é superior ao VPL do B.
4. Os projetos A e B têm durações diferentes. Calcule seus Valores Presentes Líquidos
Anualizados (VPLa) ou valores anualizados uniformes equivalentes.
A alternativa "C " está correta.
Para isso, utilizaremos a expressão que oferece o valor de cada pagamento de uma série uniforme a
partir de seu valor presente:
PMT=VP×I×(1+I)N(1+I)N-1
Assim:
VPLA(A)=1.598,95×5%×(1+5%)10(1+5%)10-1
VPLA(A)=207,07
/
Na HP 12C, verificamos o seguinte:
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
1598.95 + CHS + PV Insere o valor do VPL.
10 + n Insere o número de períodos.
5 + i Insere o valor da TMA.
PMT Calcula o VPLa do projeto A.
No Excel:
 
Para o projeto B, temos:
VPLA(A)=1.541,42×(5%×(1+5%)5(1+5%)5-1VPLA(A)=356,03
/
Na HP 12C, obtemos isto:
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
1541.42 + CHS + PV Insere o valor do VPL.
5 + n Insere o número de períodos.
5 + i Insere o valor da TMA.
PMT Calcula o VPLa do projeto A.
No Excel:
 
Temos então:
Projeto A Projeto B
VPL 1.598,95 1.541,42
VPLa 207,07 356,03
/
Como o VPLa de B é maior que o de A, o projeto B deve ser o escolhido.
5. Considere dois projetos mutuamente excludentes cujos fluxos de caixa líquidos estão
representados na tabela a seguir. Usando o método do VPL, qual dos dois deve ser escolhido?
Considere que a TMA é igual a 5% a.a.
Ano Projeto A Projeto B
0 -1.000 -1.000
1 70 100
2 70 100
3 70 100
4 70 100
5 70 1.000
6 70
7 70
8 70
9 70
10 70 1.070
A alternativa "A " está correta.
O primeiro passo consiste no cálculo de seus VPLs.
Usando a calculadora HP 12C, obtemos o seguinte:
Teclas Ação
/
CLX Limpa a memória.
5000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -5.000.
1000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -1.000.
70 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 70.
9 + g + Nj Insere o número de períodos em que o fluxo de 70 se repete.
1070 + g + CFj Insere o valor de CF10 = 1.070.
5 + i Insere o valor da TMA.
f + NPV Calcula o VPL do projeto A.
Seguindo as instruções na calculadora HP 12C, achamos o seguinte resultado: 154.43.
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
1000 + CHS + g + CF0 Insere o fluxo inicial de -1.000.
100 + g + CFj Insere o valor dos fluxos de 100.
4 + g + Nj Insere o número de períodos em que o fluxo de 100 se repete.
1000 + g + CFj Insere o valor de CF5 = 1.000.
5 + i Insere o valor da TMA.
/
5 + i Insere o valor da TMA.
f + NPV Calcula o VPL do projeto B.
Após seguirmos as instruções na calculadora HP 12C, verificamos este resultado: 138.12.
Temos então:
Projeto A Projeto B
VPL 154,43 138,12
Vemos que o VPL do projeto A é superior ao de B.
6. Considere novamente os projetos do exercício anterior. Calcule agora seus Valores Presentes
Líquidos Anualizados (VPLa) ou valores anualizados uniformes equivalentes.
A alternativa "D " está correta.
Para isso, utilizaremos a expressão que oferece o valor de cada pagamento de uma série uniforme a
partir de seu valor presente:
PMT=VP×I×(1+I)N(1+I)N-1
VPLA(A)=154,43×5%×(1+5%)10(1+5%)10-1
VPLA(A)=20,00
Na HP 12C, vemos o seguinte:
Teclas Ação
CLX Limpa a memória.
/
154.43 + CHS + PV Insere o valor do VPL.
10 + n Insere o número de períodos.
5 + i Insere o valor da TMA.
PMT Calcula o VPLa do projeto A.
No Excel:
 
Para o projeto B, temos o seguinte:
VPLA(A)=138,12×5%×(1+5%)5(1+5%)5-1
VPLA(A)=31,90
Na HP 12C, verificamos que:
Teclas Ação
/
CLX Limpa a memória.
138.12 + CHS + PV Insere o valor do VPL.
5 + n Insere o número de períodos.
5 + i Insere o valor da TMA.
PMT Calcula o VPLa do projeto A.
 
Temos então:
Projeto A Projeto B
VPL 154,43 138,12
VPLa 20,00 31,90
GABARITO
/
TEORIA NA PRÁTICA
Neste vídeo um especialista irá apresentar e resolver uma atividade que mostra a teoria na prática do
que vimos neste módulo.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A PARTIR DOS VALORES APRESENTADOS NA TABELA A SEGUIR,
SELECIONE A ALTERNATIVA CORRETA LEVANDO EM CONSIDERAÇÃO QUE A
/
TMA É IGUAL A 5% A.A. E QUE OS PROJETOS A E B SÃO MUTUAMENTE
EXCLUDENTES.
PROJETO A PROJETO B PROJETO B - A
TIR 8% A.A. 7% A.A. 6% A.A.
A) O projeto B deve ser escolhido, pois a TIR incremental é menor que a TIR do A.
B) O projeto B deve ser escolhido, pois a TIR incremental é maior que a TMA.
C) O projeto A deve ser escolhido, pois a TIR incremental é maior que a TMA.
D) O projeto A deve ser escolhido, pois a TIR incremental é menor que a TIR do B.
2. AO CALCULAR O VPL DE UM PROJETO DE QUATRO ANOS DE DURAÇÃO, UM
ANALISTA ENCONTROU O VALOR DE R$1.200 USANDO UMA TMA DE 10% A.A..
QUAL O VALOR DO VPLA DESTE PROJETO?
A) 388,90
B) 378,56
C) 373,45
D) 365,23
GABARITO
1. A partir dos valores apresentados na tabela a seguir, selecione a alternativa correta levando
em consideração que a TMA é igual a 5% a.a. e que os projetos A e B são mutuamente
excludentes.
Projeto A Projeto B Projeto B - A
TIR 8% a.a. 7% a.a. 6% a.a.
A alternativa "B " está correta.
 
/
Quando a TIR incremental é maior que a TMA, o projeto de maior valor de investimento inicial deve ser
escolhido. Neste caso, é o projeto B, pois o incremental é B – A (maior menos menor).
2. Ao calcular o VPL de um projeto de quatro anos de duração, um analista encontrou o valor de
R$1.200 usando uma TMA de 10% a.a.. Qual o valor do VPLa deste projeto?
A alternativa "C " está correta.
 
Sabemos que:
VPLa=VPL×i×(1+i)n(1+i)n-1
Faremos então o seguinte cálculo:
VPLa=1.200×10%×(1+10%)4(1+10%)4-1
VPLa=378,56
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Fazer escolhas faz parte da vida - e isso não é diferente diante de questões financeiras. Neste tema,
estudamos os métodos para a comparação de projetos de investimentos à nossa disposição. Vimos
inicialmente os do Valor Presente Líquido e da Taxa Interna de Retorno, ferramentas largamente
empregadas no mercado. Construímos a partir daí algumas variações importantes, como a Taxa Interna
de Retorno Incremental, que permite a avaliação de projetos com investimentos iniciais distintos, e o
Valor Presente Líquido Anualizado, que é usado quando eles têm prazos diferentes.
Tomamos decisões financeiras todos os dias. O que escolhemos para isso varia de uma conta simples
feita de cabeça a um método matemático sofisticado. Esperamos que, a partir do material estudado,
você tenha mais ferramentas disponíveis para suas escolhas e entenda em que contexto cada uma
delas deve ser aplicada.
/
REFERÊNCIAS
BLANK, L.; TARQUIN, A. Engineering economy. New York: McGraw-Hill, 2012.
GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. 12 ed. São Paulo: Pearson, 2010.
KOPITTKE, H. B.; CASAROTTO FILHO, N. Análise de investimentos. São Paulo: Atlas, 2000.
EXPLORE+
Para conhecer exercícios resolvidos de Matemática Financeira e material complementar da área,
acesse a página do Padlet. Em seguida, digite em seu campo de pesquisa o nome "Paulo Vianna
Jr.".
Para verificar o funcionamento de um emulador HP 12C, digite a expressão "vichinsky hp12c" em
qualquer site de busca.
CONTEUDISTA
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior
 CURRÍCULO LATTES
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