Atividade 3 - Prova

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no GeoGebra Unidade 01 
Disciplina (s) ▪ Álgebra Linear Computacional Data da última atualização 12/09/2022 
Aluno MAGNO ROGÉRIO DE SOUZA JÚNIOR Matrícula 2022126601 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio do conteúdo sobre vetores, produto escalar e produto vetorial. 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
 
II. Materiais 
Descrição Quantidade 
Software GeoGebra 3D Online 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
III. Introdução 
 
A compreensão dos conceitos, bem como a execução dos cálculos, que envolvem os temas Produto Escalar e 
Produto Vetorial são de suma importância aos estudantes e profissionais das Engenharias/Ciências. Tal importância 
surge da grande variedade de aplicações desses produtos nas diversas disciplinas e na modelagem de problemas 
típicos dessas áreas. Entre outras aplicações, podemos citar: 
 
▪ Cálculo de ângulos, áreas e volumes. 
▪ Determinação do momento de uma força. 
▪ Trabalho realizado por uma força. 
▪ Fluxo de água através de uma mangueira. 
 
Nessa atividade, você utilizará o software GeoGebra (https://www.geogebra.org/) para determinação do ângulo e 
do produto vetorial entre dois vetores, além do cálculo da área de um triângulo. 
 
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
▪ Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de determinar o ângulo e o produto vetorial entre dois 
vetores, bem como calcular a área de um triângulo a partir do produto vetorial. 
▪ Utilizar o software GeoGebra para determinação do ângulo e do produto vetorial entre dois vetores. Além disso, 
usando a ferramenta de medição, calcular a área de um triângulo. 
 
 V. Experimento 
 
ETAPA 1: determinação do ângulo entre dois vetores 
 
PASSO 1: Esboce, no GeoGebra 3D, os vetores 𝑢𝑢�⃗ = (1,1,1) e �⃗�𝑣 = (1,1,3). O Geogebra reconhece os vetores a partir 
de letras minúsculas. 
 
PASSO 2: Ainda usando o GeoGebra, insira três pontos no espaço, sendo eles a origem do sistema de coordenadas 
cartesianas e as extremidades dos vetores já representados: 𝐴𝐴 = (0,0,0), 𝐵𝐵 = (1,1,1) e 𝐶𝐶(1,1,3). Esses pontos 
servirão para identificarmos o ângulo entre os vetores 𝑢𝑢�⃗ e �⃗�𝑣, conforme PASSO 3 abaixo. 
 
PASSO 3: Usando a ferramenta de medição ÂNGULO , clique sequencialmente nos pontos 𝐵𝐵�𝐴𝐴�𝐶𝐶. Qual o 
ângulo apresentado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO 4: Calcule, usando a fórmula abaixo, o ângulo entre os vetores 𝑢𝑢�⃗ e �⃗�𝑣 e compare o resultado com o valor 
encontrado no PASSO 3. 
𝑢𝑢�⃗ ∙ �⃗�𝑣 = |𝑢𝑢�⃗ | |𝑣𝑣| 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝑢𝑢�⃗ , �⃗�𝑣) 
 
 
 
 
O resultado obtido foi o mesmo. 
 
 
 
 
ETAPA 2: determinação do produto vetorial 
 
PASSO 5: Calcule, no espaço abaixo, o produto vetorial entre os vetores 𝑢𝑢�⃗ e �⃗�𝑣. 
 
 
O Produto vetorial pode ser obtido resolvendo o seguinte determinante 
 
 
 
PASSO 6: Usando o GeoGebra, represente o vetor 𝑤𝑤��⃗ = 𝑢𝑢�⃗ × �⃗�𝑣. Para isso, digite a função 𝑤𝑤��⃗ = 𝑢𝑢�⃗ ⊗ �⃗�𝑣. Compare o 
resultado com o vetor determinado no PASSO 5. 
Observação: o operador ⊗ pode ser encontrado a partir do seguinte procedimento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO 7: Usando o mesmo procedimento realizado nos PASSOS 2 e 3, identifique o ângulo entre os pares de 
vetores (𝑢𝑢�⃗ ,𝑤𝑤��⃗ ) e (�⃗�𝑣,𝑤𝑤��⃗ ). O resultado verificado era previsível? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 3: determinação da área de um triângulo a partir do produto vetorial 
 
PASSO 8: Utilizando a ferramenta de esboço de polígonos , clique nos pontos 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 e 𝐶𝐶 para representar o 
triângulo 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶� . 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO 9: Identifique a área do polígono 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶� , clicando na ferramenta de medição de área e, em sequência, 
no polígono representado. Qual o valor da área encontrada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
O valor da área encontrada para ABC é de 1,41 cm 2 
 
 
PASSO 10: Utilize produto vetorial para comprovar o resultado encontrado no PASSO 9. Lembrete: 𝐴𝐴 = 1
2
|𝑢𝑢�⃗ × �⃗�𝑣|. 
 
 
 
 
Observa-se que a área da figura é numericamente igual ao produto vetorial (área do paralelograma) dividido 
por dois. 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
 
 PAULO WINTERLE. Vetores e geometria analítica, 2ed. Pearson 256 ISBN 9788543002392. 
 
 SANTOS, Fabiano José dos. Geometria analítica. Porto Alegre ArtMed 2009 1 recurso online ISBN 9788577805037.