Apols 1 e 2 calulo integral a varias variaveis

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Seja f uma função de duas variáveis x e y, diferenciável num ponto (x0,y0)(x0,y0) do domínio, e sejam as funções dadas por x(t)x(t) e y(t)y(t) diferenciáveis em t0t0, de modo que x(t0)=x0x(t0)=x0 e y(t0)=y0y(t0)=y0, então a função FF composta por ff com xx e yy é tal que:
dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfdy⋅(x0,y0)⋅dydt(t0)����=����⋅(�0,�0)⋅����(�0)+����⋅(�0,�0)⋅����(�0).
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função z=x3−4x2y+xy2−y3+1,�=�3−4�2�+��2−�3+1, onde x=sent�=sen� e y=cost.�=cos�., assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de z� em relação à variável t�:
Nota: 10.0
	
	A
	dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.����=(3�2−8��+�2)����+(4�2−2��+3�2)����.
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois pela Regra da Cadeia, como x� e y� estão em função de t�, temos
dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt.����=∂�∂�⋅����+∂�∂�⋅����. Portanto, dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy−3y2)(−sent)=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.����=(3�2−8��+�2)cos�+(−4�2+2��−3�2)(−sen�)=(3�2−8��+�2)cos�+(4�2−2��+3�2)sen�.   
(livro-base, p. 79)
	
	B
	dzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sent����=(3�2−8��+�2)����+(4�2−2��+3�2)����
	
	C
	dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)cost����=(3�2−8��+�2)����+(4�2−2��+3�2)cos⁡�
	
	D
	dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent.����=(−8��+�2)����+(4�2−2��)����.
	
	E
	dzdt=(3x2−8xy+y2)cost����=(3�2−8��+�2)����
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Na intenção de calcular I=∫dc∫g(x)f(x)f(x,y)dydx�=∫��∫�(�)�(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Depois integramos f(x,y)�(�,�) em relação a x�.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração: 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.�=∫02∫01(�3+��)����.
Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto:
Nota: 10.0
	
	A
	1212
	
	B
	3232
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.�=∫02∫01(�3+��)����=∫02(�44+��22)|�=0�=1��=∫02(14+�2)���=(�4+�24)|02=(24+224)=64=32.
(livro-base, p. 54-59). 
	
	C
	5252
	
	D
	7272
	
	E
	9292
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1, x2 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C (x1, x2, x3) = 100 + 2x1 + 2x2 + 3x3.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.  
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o custo da fabricação, se x1=3�1=3, x2=1�2=1 e x3=4�3=4: 
Nota: 10.0
	
	A
	120
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120
(livro-base, p. 75-76). 
	
	B
	150
	
	C
	180
	
	D
	200
	
	E
	220
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida  ∫10∫10xdydx∫01∫01�����:
Nota: 10.0
	
	A
	1414
	
	B
	1313
	
	C
	11
	
	D
	22
	
	E
	1212
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫10∫10xdydx=∫10x[∫10dy]dx=∫10x[y]10dx=∫10x[1−0]dx=∫10xdx=[x22]10=122−022=12∫01∫01�����=∫01�[∫01��]��=∫01�[�]01��=∫01�[1−0]��=∫01���=[�22]01=122−022=12
(Livro-base página 43-47). 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
No espaço tridimensional, estabelecemos três relações representadas por valores do conjunto domínio Dm(f), expresso por (x,y,z), com respectiva imagem Im(f) expressa pela função f(x,y,z).
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considere o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|�(�,�,�)=�2+�2|�−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(�)={(�,�,�)∈�3/�>1}. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z)�(�,�,�) no ponto (2,3,5)(2,3,5): 
Nota: 10.0
	
	A
	132132
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme a seguinte solução: substituindo os valores de x, y e z em f(x,y,z) temos:
f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.�(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132.
(livro-base, p. 77). 
	
	B
	145145
	
	C
	133133
	
	D
	115115
	
	E
	154154
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor das derivadas parciais, ao calcular a função f(x,y,z)=3x+5y−6z�(�,�,�)=3�+5�−6�:
Nota: 10.0
	
	A
	fx=3;fy=5;fz=−6��=3;��=5;��=−6
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Então as derivadas parciais de f(x,y,z)=3x+5y−6z�(�,�,�)=3�+5�−6� são:
fx=3��=3 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo x�.
fy=5��=5 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo y�.
fz=−6��=−6 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo z�.
(livro-base, p. 80). 
	
	B
	fx=−3;fy=−5;fz=−5��=−3;��=−5;��=−5
	
	C
	fx=5;fy=3;fz=−6��=5;��=3;��=−6
	
	D
	fx=6;fy=5;fz=−3��=6;��=5;��=−3
	
	E
	fx=−6;fy=5;fz=3��=−6;��=5;��=3
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"No espaço Rn, n-dimensional estabelecemos as n-relações representadas por valores de conjunto domínio de uma função Dm((f)��((�), expresso por (x1,x2,...,xn)(�1,�2,...,��), com respectiva imagem da função Im(f)��(�) expressa por f(x1,x2,...,xn).�(�1,�2,...,��)."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 76.
Considerando o trecho de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|�(�,�,�)=�2+�2|�−1| com domínioDom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(�)={(�,�,�)∈�3/�>1}, identifique a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z)�(�,�,�) no ponto (2,3,5)(2,3,5):
Nota: 10.0
	
	A
	132132
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para encontrar o valor de f deve-se substituir os valores de x,y e z por 2,3 e 5 respectivamente na função. Assim teremos:
f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.�(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132.
(Livro-base, p.76).
	
	B
	145145
	
	C
	133133
	
	D
	115115
	
	E
	154154
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46..
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫21∫102xydydx∫12∫012������: 
Nota: 10.0
	
	A
	11
	
	B
	3232
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫21∫102xydydx=2∫21x[∫10ydy]dx=2∫21x[y22]10dx=2∫21x[122−022]dx=2∫21x12dx=∫21xdx=x22∣∣∣21222−12242−12=32∫12∫012������=2∫12�[∫01���]��=2∫12�[�22]01��=2∫12�[122−022]��=2∫12�12��=∫12���=�22|12222−12242−12=32
(Livro-base p. 43-47). 
	
	C
	1212
	
	D
	5252
	
	E
	7272
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o excerto de texto a seguir:
"Em geral, podemos concluir que a derivada direcional de um campo escalar numa determinada direção será o produto escalar dessa direção pelo gradiente do campo escalar". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 86.
Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y)=lnx−lny.�(�,�)=ln�−ln�. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de f� no ponto P=(12,−13)�=(12,−13), na direção do vetor unitário ⃗u=(35,−45).�→=(35,−45).
Nota: 10.0
	
	A
	∂f∂⃗u(35,−13)=85.∂�∂�→(35,−13)=85.   
	
	B
	∂f∂⃗u(35,−13)=−135.∂�∂�→(35,−13)=−135.   
	
	C
	∂f∂⃗u(35,−13)=−65.∂�∂�→(35,−13)=−65.    
Você assinalou essa alternativa (C)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois notamos que ∂f∂⃗u(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅⃗u.∂�∂�→(�0,�0)=∇�(�0,�0)⋅�→. Assim, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5).∂�∂�→(1/2,−1/3)=∇�(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5). Como ∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y,∂�∂�(�,�)=1� e ∂�∂�(�,�)=−1�, temos ∇f(1/2,−1/3)=(2,3)∇�(1/2,−1/3)=(2,3) e, portanto, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.∂�∂�→(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.
(livro-base, p. 86). 
	
	D
	−57.−57.   
	
	E
	−85.−85.   
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida ∫20∫20yzdzdy∫02∫02������: 
Nota: 10.0
	
	A
	0
	
	B
	2
	
	C
	4
Você assinalou essa alternativa (C)
Você acertou!
Comentário: Para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫20∫20yzdzdy=∫20y[∫20zdz]dy=∫20y[z22]20dy=∫20y[222−022]dy=∫20y2dy=2∫20ydy=2y22∣∣∣20=2[222−022]=2⋅2=4∫02∫02������=∫02�[∫02���]��=∫02�[�22]02��=∫02�[222−022]��=∫02�2��=2∫02���=2�22|02=2[222−022]=2⋅2=4
(livro-base, p. 43-47). 
	
	D
	8
	
	E
	16
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"Na equação da curva, em que y=f(x)�=�(�), considerando-se f e sua derivada (f') contínuas num trecho de intervalo fechado [a,b][�,�] e sendo a função f(x)�(�) maior que e igual a zero, com x� sendo um elemento que pertence ao intervalo [a,b][�,�], a área na superfície S gerada pelo giro da curva C ao redor do eixo das abscissas x será definida por: A=2π∫baf(x)√1+[f′(x)]2dx�=2�∫���(�)1+[�′(�)]2�� ". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 18. 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2�=3�+2 , no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	25π√2025�20 u.a.
	
	B
	20π√1020�10 u.a.
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
A=2π∫20y(x)√1+[y′(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√103=20π√10u.a.�=2�∫02�(�)1+[�′(�)]2��=2�∫02(3�+2)1+32��=2�10∫02(3�+2)���=2�103(3�+22)2|02=�103[(3⋅2+2)2−4]=60�103=20�10�.�. 
(livro-base, p. 15-20). 
	
	C
	22π√1222�12 u.a 
Você assinalou essa alternativa (C)
	
	D
	23π√1323�13 u.a.
	
	E
	21π√1521�15 u.a.
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função: f(x,y)=x2y2−3xy−13.�(�,�)=�2�2−3��−13.
Nota: 10.0
	
	A
	∂f∂x=2xy2−3y+13  e  ∂f∂y=2x2y−3x+13.∂�∂�=2��2−3�+13  e  ∂�∂�=2�2�−3�+13.   
	
	B
	∂f∂x=2y2−3y  e  ∂f∂y=2y−3.∂�∂�=2�2−3�  e  ∂�∂�=2�−3.   
	
	C
	∂f∂x=2xy2+3y  e  ∂f∂y=2x2y+3x.∂�∂�=2��2+3�  e  ∂�∂�=2�2�+3�.   
	
	D
	∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x.∂�∂�=2�−3� e ∂�∂�=2�−3�.    
	
	E
	∂f∂x=2xy2−3y  e  ∂f∂y=2x2y−3x.∂�∂�=2��2−3�  e  ∂�∂�=2�2�−3�.   
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Assim,
∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3ye∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x.∂∂�(�2�2−3��+13)=2��2−3�e∂∂�(�2�2−3��+13)=2�2�−3�.
(livro-base, p. 80). 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leiao texto a seguir: 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1, x2 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C (x1, x2, x3) = 100 + 2x1 + 2x2 + 3x3.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.  
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o custo da fabricação, se x1=3�1=3, x2=1�2=1 e x3=4�3=4: 
Nota: 10.0
	
	A
	120
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120
(livro-base, p. 75-76). 
	
	B
	150
	
	C
	180
	
	D
	200
	
	E
	220
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫1−1∫1−1dydx∫−11∫−11���� é:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	2
	
	B
	1
	
	C
	zero
Você assinalou essa alternativa (C)
	
	D
	4
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫1−1∫1−1dydx=∫1−1[y]1−1dx=∫1−1[1−(−1)]dx=∫1−12dx=2∫1−1dx=2[y]1−1=2[1−(−1)]=4∫−11∫−11����=∫−11[�]−11��=∫−11[1−(−1)]��=∫−112��=2∫−11��=2[�]−11=2[1−(−1)]=4
(Livro-base p. 43-47).
	
	E
	10
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida  ∫10∫10xdydx∫01∫01�����:
Nota: 10.0
	
	A
	1414
	
	B
	1313
	
	C
	11
	
	D
	22
	
	E
	1212
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫10∫10xdydx=∫10x[∫10dy]dx=∫10x[y]10dx=∫10x[1−0]dx=∫10xdx=[x22]10=122−022=12∫01∫01�����=∫01�[∫01��]��=∫01�[�]01��=∫01�[1−0]��=∫01���=[�22]01=122−022=12
(Livro-base página 43-47). 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"Na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade  ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a integral a dupla ∫2−1∫20x2y3dydx∫−12∫02�2�3����  , identifique a alternativa correta que apresenta o valor correspondente às integrais:
Nota: 10.0
	
	A
	6
	
	B
	10
	
	C
	12
Você assinalou essa alternativa (C)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme cálculo a seguir: 
∫2−1∫20x2y3dydx==∫2−1x2∫20y3dydx=∫2−1x2⋅[y44]20dx=∫2−1x2⋅[244−044]20dx=∫2−1x2⋅[4−0]dx=∫2−14x2dx=4⋅[x33]2−1=4⋅[233−(−1)33]==4⋅93==12∫−12∫02�2�3����==∫−12�2∫02�3����=∫−12�2⋅[�44]02��=∫−12�2⋅[244−044]02��=∫−12�2⋅[4−0]��=∫−124�2��=4⋅[�33]−12=4⋅[233−(−1)33]==4⋅93==12
(livro-base, p. 43-72). 
	
	D
	15
	
	E
	16
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�".
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫21∫21xydydx∫12∫12������: 
Nota: 10.0
	
	A
	9494
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫21∫21xydydx=∫21x[∫21ydy]dx=∫21x[y22]21dx=∫21x[222−122]dx=∫21x32dx=32∫21xdx=32x22∣∣∣21=32[222−122]=32⋅32=94∫12∫12������=∫12�[∫12���]��=∫12�[�22]12��=∫12�[222−122]��=∫12�32��=32∫12���=32�22|12=32[222−122]=32⋅32=94
(Livro-base p. 43-47). 
	
	B
	1212
	
	C
	7474
	
	D
	3434
	
	E
	7272
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Na intenção de calcular I=∫dc∫g(x)f(x)f(x,y)dydx�=∫��∫�(�)�(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Depois integramos f(x,y)�(�,�) em relação a x�.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração: 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.�=∫02∫01(�3+��)����.
Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	1212
	
	B
	3232
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.�=∫02∫01(�3+��)����=∫02(�44+��22)|�=0�=1��=∫02(14+�2)���=(�4+�24)|02=(24+224)=64=32.
(livro-base, p. 54-59). 
	
	C
	5252
	
	D
	7272
Você assinalou essa alternativa (D)
	
	E
	9292
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o excerto de texto a seguir:
"Em geral, podemos concluir que a derivada direcional de um campo escalar numa determinada direção será o produto escalar dessa direção pelo gradiente do campo escalar". 
Após esta avaliação, casoqueira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 86.
Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y)=lnx−lny.�(�,�)=ln�−ln�. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de f� no ponto P=(12,−13)�=(12,−13), na direção do vetor unitário ⃗u=(35,−45).�→=(35,−45).
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	∂f∂⃗u(35,−13)=85.∂�∂�→(35,−13)=85.   
Você assinalou essa alternativa (A)
	
	B
	∂f∂⃗u(35,−13)=−135.∂�∂�→(35,−13)=−135.   
	
	C
	∂f∂⃗u(35,−13)=−65.∂�∂�→(35,−13)=−65.    
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois notamos que ∂f∂⃗u(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅⃗u.∂�∂�→(�0,�0)=∇�(�0,�0)⋅�→. Assim, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5).∂�∂�→(1/2,−1/3)=∇�(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5). Como ∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y,∂�∂�(�,�)=1� e ∂�∂�(�,�)=−1�, temos ∇f(1/2,−1/3)=(2,3)∇�(1/2,−1/3)=(2,3) e, portanto, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.∂�∂�→(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.
(livro-base, p. 86). 
	
	D
	−57.−57.   
	
	E
	−85.−85.   
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"No espaço Rn, n-dimensional estabelecemos as n-relações representadas por valores de conjunto domínio de uma função Dm((f)��((�), expresso por (x1,x2,...,xn)(�1,�2,...,��), com respectiva imagem da função Im(f)��(�) expressa por f(x1,x2,...,xn).�(�1,�2,...,��)."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 76.
Considerando o trecho de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|�(�,�,�)=�2+�2|�−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(�)={(�,�,�)∈�3/�>1}, identifique a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z)�(�,�,�) no ponto (2,3,5)(2,3,5):
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	132132
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para encontrar o valor de f deve-se substituir os valores de x,y e z por 2,3 e 5 respectivamente na função. Assim teremos:
f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.�(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132.
(Livro-base, p.76).
	
	B
	145145
	
	C
	133133
Você assinalou essa alternativa (C)
	
	D
	115115
	
	E
	154154
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida ∫20∫20yzdzdy∫02∫02������: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	0
Você assinalou essa alternativa (A)
	
	B
	2
	
	C
	4
Comentário: Para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫20∫20yzdzdy=∫20y[∫20zdz]dy=∫20y[z22]20dy=∫20y[222−022]dy=∫20y2dy=2∫20ydy=2y22∣∣∣20=2[222−022]=2⋅2=4∫02∫02������=∫02�[∫02���]��=∫02�[�22]02��=∫02�[222−022]��=∫02�2��=2∫02���=2�22|02=2[222−022]=2⋅2=4
(livro-base, p. 43-47). 
	
	D
	8
	
	E
	16
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir:
"Uma sequência numérica é usada em linguagem corrente para dar significado a uma sucessão de objetos e coisas que estão dispostos em ordem definida. Os números também são expressos em sequências que podem ser de algarismos pares, ímpares, decimais ou com um valor incremental [...]". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 101.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta a lei de formação da sequência dos números pares positivos (n), considerando que n é um número natural diferente de zero: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	an=2n
Comentário: A sequência dos números pares positivos é 2, 4, 6, 8, 10, ....
Como n começa em 2, pelo enunciado, 
para a alternativa b) teremos 2.1+1 = 3 (o primeiro número par positivo é 2); 
para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2, 2+1=3 (o segundo número par é 4); 
para alternativa d) teremos 2.1-1 = 1 (o primeiro número par é 2);
para a alternativa e) teremos 1-1=0 (o primeiro número par é 2); 
Para a alternativa a), a correta, temos: 2.1=2, 2.2=4, 2.3=6, 2.4=8,... continuando assim a sequência para n natural diferente de zero. Desta forma, obtemos a sequência dos números pares.
(livro-base, p. 101). 
	
	B
	an=2n+1
	
	C
	an=n+1
Você assinalou essa alternativa (C)
	
	D
	an=2n-1
	
	E
	an=n-1
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Na intenção de calcular I=∫dc∫g(x)f(x)f(x,y)dydx�=∫��∫�(�)�(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Depois integramos f(x,y)�(�,�) em relação a x�.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração: 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.�=∫02∫01(�3+��)����.
Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	1212
	
	B
	3232
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.�=∫02∫01(�3+��)����=∫02(�44+��22)|�=0�=1��=∫02(14+�2)���=(�4+�24)|02=(24+224)=64=32.
(livro-base, p. 54-59). 
	
	C
	5252
Você assinalou essa alternativa (C)
	
	D
	7272
	
	E
	9292
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Se uma função f é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b], é possível determinar o comprimento do arco da curva C, de a até b. Lembrando que a fórmula utilizada é C=∫ba√1+[f′(x)]2dx�=∫��1+[�′(�)]2��.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x)=2x−8�(�)=2�−8, identifique a alternativa correta que apresenta o comprimento do arco da curva dada por f�  no intervalo fechado [0,2][0,2]: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	2√5u.c.25�.�.
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois aplicando a fórmula para calcular o comprimento da curva, teremos:
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+22dx=∫20√5dx=2√5u.c.�=∫��1+[�′(�)]2��=∫021+22��=∫025��=25�.�.
(Livro-base, p. 21-24). 
	
	B
	3√5u.c.35�.�.
	
	C
	4√u.c.4�.�.
	
	D
	5√8u.c.58�.�.
	
	E
	6√u.c.6�.�.
Você assinalou essa alternativa (E)
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Uma indústria produz três tipos de objetos eletrônicos, sendo representados por x1,x2�1,�2 e x3�3, respectivamente. O custo de produção destes objetos é dado pela função C(x1,x2,x3)=50+2x1+2x2+3x3�(�1,�2,�3)=50+2�1+2�2+3�3. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima e os conteúdos dolivro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, suponha que a empresa fabrica, por mês, 30 unidades do produto x1�1, dez unidades do produto x2�2 e 50 unidades do produto x3�3. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o custo dessa produção: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	120
Você assinalou essa alternativa (A)
	
	B
	150
	
	C
	180
	
	D
	280
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular o custo de produção basta substituir as variáveis pelos valores determinados de x_1,x_2 e x_3 . Assim teremos:
C(30,10,50) = 50+2.30+2.10+3.50 = 280
(Livro-base p. 75-76). 
	
	E
	350
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"Na equação da curva, em que y=f(x)�=�(�), considerando-se f e sua derivada (f') contínuas num trecho de intervalo fechado [a,b][�,�] e sendo a função f(x)�(�) maior que e igual a zero, com x� sendo um elemento que pertence ao intervalo [a,b][�,�], a área na superfície S gerada pelo giro da curva C ao redor do eixo das abscissas x será definida por: A=2π∫baf(x)√1+[f′(x)]2dx�=2�∫���(�)1+[�′(�)]2�� ". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 18. 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2�=3�+2 , no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	25π√2025�20 u.a.
	
	B
	20π√1020�10 u.a.
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
A=2π∫20y(x)√1+[y′(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√103=20π√10u.a.�=2�∫02�(�)1+[�′(�)]2��=2�∫02(3�+2)1+32��=2�10∫02(3�+2)���=2�103(3�+22)2|02=�103[(3⋅2+2)2−4]=60�103=20�10�.�. 
(livro-base, p. 15-20). 
	
	C
	22π√1222�12 u.a 
	
	D
	23π√1323�13 u.a.
	
	E
	21π√1521�15 u.a.
Você assinalou essa alternativa (E)
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫1−1∫1−1dydx∫−11∫−11���� é:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	2
	
	B
	1
	
	C
	zero
Você assinalou essa alternativa (C)
	
	D
	4
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫1−1∫1−1dydx=∫1−1[y]1−1dx=∫1−1[1−(−1)]dx=∫1−12dx=2∫1−1dx=2[y]1−1=2[1−(−1)]=4∫−11∫−11����=∫−11[�]−11��=∫−11[1−(−1)]��=∫−112��=2∫−11��=2[�]−11=2[1−(−1)]=4
(Livro-base p. 43-47).
	
	E
	10
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida  ∫10∫10xdydx∫01∫01�����:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	1414
Você assinalou essa alternativa (A)
	
	B
	1313
	
	C
	11
	
	D
	22
	
	E
	1212
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫10∫10xdydx=∫10x[∫10dy]dx=∫10x[y]10dx=∫10x[1−0]dx=∫10xdx=[x22]10=122−022=12∫01∫01�����=∫01�[∫01��]��=∫01�[�]01��=∫01�[1−0]��=∫01���=[�22]01=122−022=12
(Livro-base página 43-47). 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46..
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫21∫102xydydx∫12∫012������: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	11
	
	B
	3232
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫21∫102xydydx=2∫21x[∫10ydy]dx=2∫21x[y22]10dx=2∫21x[122−022]dx=2∫21x12dx=∫21xdx=x22∣∣∣21222−12242−12=32∫12∫012������=2∫12�[∫01���]��=2∫12�[�22]01��=2∫12�[122−022]��=2∫12�12��=∫12���=�22|12222−12242−12=32
(Livro-base p. 43-47). 
	
	C
	1212
	
	D
	5252
Você assinalou essa alternativa (D)
	
	E
	7272
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�".
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫21∫21xydydx∫12∫12������: 
Nota: 10.0
	
	A
	9494
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫21∫21xydydx=∫21x[∫21ydy]dx=∫21x[y22]21dx=∫21x[222−122]dx=∫21x32dx=32∫21xdx=32x22∣∣∣21=32[222−122]=32⋅32=94∫12∫12������=∫12�[∫12���]��=∫12�[�22]12��=∫12�[222−122]��=∫12�32��=32∫12���=32�22|12=32[222−122]=32⋅32=94(Livro-base p. 43-47). 
	
	B
	1212
	
	C
	7474
	
	D
	3434
	
	E
	7272
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"Na equação da curva, em que y=f(x)�=�(�), considerando-se f e sua derivada (f') contínuas num trecho de intervalo fechado [a,b][�,�] e sendo a função f(x)�(�) maior que e igual a zero, com x� sendo um elemento que pertence ao intervalo [a,b][�,�], a área na superfície S gerada pelo giro da curva C ao redor do eixo das abscissas x será definida por: A=2π∫baf(x)√1+[f′(x)]2dx�=2�∫���(�)1+[�′(�)]2�� ". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 18. 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2�=3�+2 , no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	25π√2025�20 u.a.
	
	B
	20π√1020�10 u.a.
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
A=2π∫20y(x)√1+[y′(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√103=20π√10u.a.�=2�∫02�(�)1+[�′(�)]2��=2�∫02(3�+2)1+32��=2�10∫02(3�+2)���=2�103(3�+22)2|02=�103[(3⋅2+2)2−4]=60�103=20�10�.�. 
(livro-base, p. 15-20). 
	
	C
	22π√1222�12 u.a 
Você assinalou essa alternativa (C)
	
	D
	23π√1323�13 u.a.
	
	E
	21π√1521�15 u.a.
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função: f(x,y)=x2y2−3xy−13.�(�,�)=�2�2−3��−13.
Nota: 10.0
	
	A
	∂f∂x=2xy2−3y+13  e  ∂f∂y=2x2y−3x+13.∂�∂�=2��2−3�+13  e  ∂�∂�=2�2�−3�+13.   
	
	B
	∂f∂x=2y2−3y  e  ∂f∂y=2y−3.∂�∂�=2�2−3�  e  ∂�∂�=2�−3.   
	
	C
	∂f∂x=2xy2+3y  e  ∂f∂y=2x2y+3x.∂�∂�=2��2+3�  e  ∂�∂�=2�2�+3�.   
	
	D
	∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x.∂�∂�=2�−3� e ∂�∂�=2�−3�.    
	
	E
	∂f∂x=2xy2−3y  e  ∂f∂y=2x2y−3x.∂�∂�=2��2−3�  e  ∂�∂�=2�2�−3�.   
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Assim,
∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3ye∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x.∂∂�(�2�2−3��+13)=2��2−3�e∂∂�(�2�2−3��+13)=2�2�−3�.
(livro-base, p. 80). 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1, x2 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C (x1, x2, x3) = 100 + 2x1 + 2x2 + 3x3.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.  
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o custo da fabricação, se x1=3�1=3, x2=1�2=1 e x3=4�3=4: 
Nota: 10.0
	
	A
	120
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120
(livro-base, p. 75-76). 
	
	B
	150
	
	C
	180
	
	D
	200
	
	E
	220
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫1−1∫1−1dydx∫−11∫−11���� é:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	2
	
	B
	1
	
	C
	zero
Você assinalou essa alternativa (C)
	
	D
	4
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫1−1∫1−1dydx=∫1−1[y]1−1dx=∫1−1[1−(−1)]dx=∫1−12dx=2∫1−1dx=2[y]1−1=2[1−(−1)]=4∫−11∫−11����=∫−11[�]−11��=∫−11[1−(−1)]��=∫−112��=2∫−11��=2[�]−11=2[1−(−1)]=4
(Livro-base p. 43-47).
	
	E
	10
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida  ∫10∫10xdydx∫01∫01�����:
Nota: 10.0
	
	A
	1414
	
	B
	1313
	
	C
	11
	
	D
	22
	
	E
	1212
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫10∫10xdydx=∫10x[∫10dy]dx=∫10x[y]10dx=∫10x[1−0]dx=∫10xdx=[x22]10=122−022=12∫01∫01�����=∫01�[∫01��]��=∫01�[�]01��=∫01�[1−0]��=∫01���=[�22]01=122−022=12
(Livro-base página 43-47). 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"Na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade  ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a integral a dupla ∫2−1∫20x2y3dydx∫−12∫02�2�3����  , identifique a alternativa correta que apresenta o valor correspondente às integrais:
Nota: 10.0
	
	A
	6
	
	B
	10
	
	C
	12
Você assinalou essa alternativa (C)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme cálculo a seguir: 
∫2−1∫20x2y3dydx==∫2−1x2∫20y3dydx=∫2−1x2⋅[y44]20dx=∫2−1x2⋅[244−044]20dx=∫2−1x2⋅[4−0]dx=∫2−14x2dx=4⋅[x33]2−1=4⋅[233−(−1)33]==4⋅93==12∫−12∫02�2�3����==∫−12�2∫02�3����=∫−12�2⋅[�44]02��=∫−12�2⋅[244−044]02��=∫−12�2⋅[4−0]��=∫−124�2��=4⋅[�33]−12=4⋅[233−(−1)33]==4⋅93==12(livro-base, p. 43-72). 
	
	D
	15
	
	E
	16
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�".
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫21∫21xydydx∫12∫12������: 
Nota: 10.0
	
	A
	9494
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫21∫21xydydx=∫21x[∫21ydy]dx=∫21x[y22]21dx=∫21x[222−122]dx=∫21x32dx=32∫21xdx=32x22∣∣∣21=32[222−122]=32⋅32=94∫12∫12������=∫12�[∫12���]��=∫12�[�22]12��=∫12�[222−122]��=∫12�32��=32∫12���=32�22|12=32[222−122]=32⋅32=94
(Livro-base p. 43-47). 
	
	B
	1212
	
	C
	7474
	
	D
	3434
	
	E
	7272
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Na intenção de calcular I=∫dc∫g(x)f(x)f(x,y)dydx�=∫��∫�(�)�(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Depois integramos f(x,y)�(�,�) em relação a x�.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração: 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.�=∫02∫01(�3+��)����.
Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	1212
	
	B
	3232
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.�=∫02∫01(�3+��)����=∫02(�44+��22)|�=0�=1��=∫02(14+�2)���=(�4+�24)|02=(24+224)=64=32.
(livro-base, p. 54-59). 
	
	C
	5252
	
	D
	7272
Você assinalou essa alternativa (D)
	
	E
	9292
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o excerto de texto a seguir:
"Em geral, podemos concluir que a derivada direcional de um campo escalar numa determinada direção será o produto escalar dessa direção pelo gradiente do campo escalar". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 86.
Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y)=lnx−lny.�(�,�)=ln�−ln�. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de f� no ponto P=(12,−13)�=(12,−13), na direção do vetor unitário ⃗u=(35,−45).�→=(35,−45).
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	∂f∂⃗u(35,−13)=85.∂�∂�→(35,−13)=85.   
Você assinalou essa alternativa (A)
	
	B
	∂f∂⃗u(35,−13)=−135.∂�∂�→(35,−13)=−135.   
	
	C
	∂f∂⃗u(35,−13)=−65.∂�∂�→(35,−13)=−65.    
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois notamos que ∂f∂⃗u(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅⃗u.∂�∂�→(�0,�0)=∇�(�0,�0)⋅�→. Assim, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5).∂�∂�→(1/2,−1/3)=∇�(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5). Como ∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y,∂�∂�(�,�)=1� e ∂�∂�(�,�)=−1�, temos ∇f(1/2,−1/3)=(2,3)∇�(1/2,−1/3)=(2,3) e, portanto, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.∂�∂�→(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.
(livro-base, p. 86). 
	
	D
	−57.−57.   
	
	E
	−85.−85.   
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"No espaço Rn, n-dimensional estabelecemos as n-relações representadas por valores de conjunto domínio de uma função Dm((f)��((�), expresso por (x1,x2,...,xn)(�1,�2,...,��), com respectiva imagem da função Im(f)��(�) expressa por f(x1,x2,...,xn).�(�1,�2,...,��)."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 76.
Considerando o trecho de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|�(�,�,�)=�2+�2|�−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(�)={(�,�,�)∈�3/�>1}, identifique a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z)�(�,�,�) no ponto (2,3,5)(2,3,5):
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	132132
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para encontrar o valor de f deve-se substituir os valores de x,y e z por 2,3 e 5 respectivamente na função. Assim teremos:
f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.�(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132.
(Livro-base, p.76).
	
	B
	145145
	
	C
	133133
Você assinalou essa alternativa (C)
	
	D
	115115
	
	E
	154154
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida ∫20∫20yzdzdy∫02∫02������: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	0
Você assinalou essa alternativa (A)
	
	B
	2
	
	C
	4
Comentário: Para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫20∫20yzdzdy=∫20y[∫20zdz]dy=∫20y[z22]20dy=∫20y[222−022]dy=∫20y2dy=2∫20ydy=2y22∣∣∣20=2[222−022]=2⋅2=4∫02∫02������=∫02�[∫02���]��=∫02�[�22]02��=∫02�[222−022]��=∫02�2��=2∫02���=2�22|02=2[222−022]=2⋅2=4
(livro-base, p. 43-47). 
	
	D
	8
	
	E
	16
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir:
"Uma sequência numérica é usada em linguagem corrente para dar significado a uma sucessão de objetos e coisas que estão dispostos em ordem definida. Os números também são expressos em sequências que podem ser de algarismos pares, ímpares, decimais ou com um valor incremental [...]". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 101.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta a lei de formação da sequência dos números pares positivos (n), considerando que n é um número natural diferente de zero: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	an=2n
Comentário: A sequência dos números pares positivos é 2, 4, 6, 8, 10, ....
Como n começa em 2, pelo enunciado, 
para a alternativa b) teremos 2.1+1 = 3 (o primeiro número par positivo é 2); 
para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2, 2+1=3 (o segundo númeropar é 4); 
para alternativa d) teremos 2.1-1 = 1 (o primeiro número par é 2);
para a alternativa e) teremos 1-1=0 (o primeiro número par é 2); 
Para a alternativa a), a correta, temos: 2.1=2, 2.2=4, 2.3=6, 2.4=8,... continuando assim a sequência para n natural diferente de zero. Desta forma, obtemos a sequência dos números pares.
(livro-base, p. 101). 
	
	B
	an=2n+1
	
	C
	an=n+1
Você assinalou essa alternativa (C)
	
	D
	an=2n-1
	
	E
	an=n-1
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Na intenção de calcular I=∫dc∫g(x)f(x)f(x,y)dydx�=∫��∫�(�)�(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Depois integramos f(x,y)�(�,�) em relação a x�.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração: 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.�=∫02∫01(�3+��)����.
Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	1212
	
	B
	3232
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.�=∫02∫01(�3+��)����=∫02(�44+��22)|�=0�=1��=∫02(14+�2)���=(�4+�24)|02=(24+224)=64=32.
(livro-base, p. 54-59). 
	
	C
	5252
Você assinalou essa alternativa (C)
	
	D
	7272
	
	E
	9292
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Se uma função f é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b], é possível determinar o comprimento do arco da curva C, de a até b. Lembrando que a fórmula utilizada é C=∫ba√1+[f′(x)]2dx�=∫��1+[�′(�)]2��.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x)=2x−8�(�)=2�−8, identifique a alternativa correta que apresenta o comprimento do arco da curva dada por f�  no intervalo fechado [0,2][0,2]: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	2√5u.c.25�.�.
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois aplicando a fórmula para calcular o comprimento da curva, teremos:
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+22dx=∫20√5dx=2√5u.c.�=∫��1+[�′(�)]2��=∫021+22��=∫025��=25�.�.
(Livro-base, p. 21-24). 
	
	B
	3√5u.c.35�.�.
	
	C
	4√u.c.4�.�.
	
	D
	5√8u.c.58�.�.
	
	E
	6√u.c.6�.�.
Você assinalou essa alternativa (E)
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Uma indústria produz três tipos de objetos eletrônicos, sendo representados por x1,x2�1,�2 e x3�3, respectivamente. O custo de produção destes objetos é dado pela função C(x1,x2,x3)=50+2x1+2x2+3x3�(�1,�2,�3)=50+2�1+2�2+3�3. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, suponha que a empresa fabrica, por mês, 30 unidades do produto x1�1, dez unidades do produto x2�2 e 50 unidades do produto x3�3. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o custo dessa produção: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	120
Você assinalou essa alternativa (A)
	
	B
	150
	
	C
	180
	
	D
	280
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular o custo de produção basta substituir as variáveis pelos valores determinados de x_1,x_2 e x_3 . Assim teremos:
C(30,10,50) = 50+2.30+2.10+3.50 = 280
(Livro-base p. 75-76). 
	
	E
	350
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"Na equação da curva, em que y=f(x)�=�(�), considerando-se f e sua derivada (f') contínuas num trecho de intervalo fechado [a,b][�,�] e sendo a função f(x)�(�) maior que e igual a zero, com x� sendo um elemento que pertence ao intervalo [a,b][�,�], a área na superfície S gerada pelo giro da curva C ao redor do eixo das abscissas x será definida por: A=2π∫baf(x)√1+[f′(x)]2dx�=2�∫���(�)1+[�′(�)]2�� ". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 18. 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2�=3�+2 , no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	25π√2025�20 u.a.
	
	B
	20π√1020�10 u.a.
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
A=2π∫20y(x)√1+[y′(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√103=20π√10u.a.�=2�∫02�(�)1+[�′(�)]2��=2�∫02(3�+2)1+32��=2�10∫02(3�+2)���=2�103(3�+22)2|02=�103[(3⋅2+2)2−4]=60�103=20�10�.�. 
(livro-base, p. 15-20). 
	
	C
	22π√1222�12 u.a 
	
	D
	23π√1323�13 u.a.
	
	E
	21π√1521�15 u.a.
Você assinalou essa alternativa (E)
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫1−1∫1−1dydx∫−11∫−11���� é:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	2
	
	B
	1
	
	C
	zero
Você assinalou essa alternativa (C)
	
	D
	4
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫1−1∫1−1dydx=∫1−1[y]1−1dx=∫1−1[1−(−1)]dx=∫1−12dx=2∫1−1dx=2[y]1−1=2[1−(−1)]=4∫−11∫−11����=∫−11[�]−11��=∫−11[1−(−1)]��=∫−112��=2∫−11��=2[�]−11=2[1−(−1)]=4
(Livro-base p. 43-47).
	
	E
	10
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida  ∫10∫10xdydx∫01∫01�����:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	1414
Você assinalou essa alternativa (A)
	
	B
	1313
	
	C
	11
	
	D
	22
	
	E
	1212
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫10∫10xdydx=∫10x[∫10dy]dx=∫10x[y]10dx=∫10x[1−0]dx=∫10xdx=[x22]10=122−022=12∫01∫01�����=∫01�[∫01��]��=∫01�[�]01��=∫01�[1−0]��=∫01���=[�22]01=122−022=12(Livro-base página 43-47). 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46..
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫21∫102xydydx∫12∫012������: 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	11
	
	B
	3232
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫21∫102xydydx=2∫21x[∫10ydy]dx=2∫21x[y22]10dx=2∫21x[122−022]dx=2∫21x12dx=∫21xdx=x22∣∣∣21222−12242−12=32∫12∫012������=2∫12�[∫01���]��=2∫12�[�22]01��=2∫12�[122−022]��=2∫12�12��=∫12���=�22|12222−12242−12=32
(Livro-base p. 43-47). 
	
	C
	1212
	
	D
	5252
Você assinalou essa alternativa (D)
	
	E
	7272
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫��∫�(�)ℎ(�)�(�,�)����, inicialmente integramos f(x,y)�(�,�) em relação a y�, mantendo x� fixo. Os limites de integração g(x)�(�) e h(x)ℎ(�) dependerão desse valor fixo de x�, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫�(�)ℎ(�)�(�,�)��. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x�, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c� e d�".
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫21∫21xydydx∫12∫12������: 
Nota: 10.0
	
	A
	9494
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫21∫21xydydx=∫21x[∫21ydy]dx=∫21x[y22]21dx=∫21x[222−122]dx=∫21x32dx=32∫21xdx=32x22∣∣∣21=32[222−122]=32⋅32=94∫12∫12������=∫12�[∫12���]��=∫12�[�22]12��=∫12�[222−122]��=∫12�32��=32∫12���=32�22|12=32[222−122]=32⋅32=94
(Livro-base p. 43-47). 
	
	B
	1212
	
	C
	7474
	
	D
	3434
	
	E
	7272