APOL 1 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Na intenção de calcular I=∫dc∫g(x)f(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y) em relação a y, mantendo x fixo. Depois integramos f(x,y) em relação a x.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração: 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.
Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto:
Nota: 10.0
	
	A
	12
	
	
	B
	32
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.
	
(livro-base, p. 54-59). 
	
	C
	52
	
	
	D
	72
	
	
	E
	92
	
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o excerto de texto a seguir: 
"Se considerarmos C uma curva da equação y=f(x)
, em que a função f é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b], isso nos permite determinar o comprimento do arco da curva C, de a até b. [Para calcular tal comprimento utiliza-se a fórmula ∫ba√1+[f′(x)]2dx
. ]". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 21.
 
Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, a equação f′(x)=x3/2−4
  e o intervalo [a,b]=[1,4]. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o comprimento do arco de f(x) no intervalo [a,b]
: 
Nota: 10.0
	
	A
	80√10−√138
	
	
	B
	8027
	
	
	C
	80√10−13√1327
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcularmos o comprimento da curva, devemos ter a derivada da função f,
Se f(x)=x3/2−4
então f′(x)=3x1/22.
Aplicando a fórmula a ∫ba√1+[f′(x)]2dx. teremos:
a ∫ba√1+[f′(x)]2dx∫41√1+[3x1/22]2dx∫41√1+9x4dx
Agora, para podermos integrar esta raiz, o que está fora dela deve ser a derivada do que está dentro dela.
Como a derivada de 1+9x4 é 9/4, inserimos esta fração e tiramos fora da integral. Assim fica fácil a integração.
C=49∫41√1+9x494dxC=49∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣(1+9x4)3/232∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣41=827(1+9x4)3/2∣∣ ∣∣41827[(1+9⋅44)3/2−(1+9⋅14)3/2]=827[(1+9)3/2−(1+94)3/2]=827[(10)3/2−(134)3/2]=827[10√10−134√134]=827[10√10−138√13]=827[80√10−13√138]=80√10−13√1327
	
(Livro-base p. 24). 
	
	D
	√10216
	
	
	E
	827(80√10−√13)
	
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o excerto de texto a seguir:
"Em geral, podemos concluir que a derivada direcional de um campo escalar numa determinada direção será o produto escalar dessa direção pelo gradiente do campo escalar". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 86.
Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y)=lnx−lny.
 Agora, assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de f no ponto P=(12,−13), na direção do vetor unitário ⃗u=(35,−45).
Nota: 10.0
	
	A
	∂f∂⃗u(35,−13)=85.
	   
	
	B
	∂f∂⃗u(35,−13)=−135.
	   
	
	C
	∂f∂⃗u(35,−13)=−65.
    
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois notamos que ∂f∂⃗u(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅⃗u.
 Assim, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5). Como ∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y, temos ∇f(1/2,−1/3)=(2,3) e, portanto, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.
	
(livro-base, p. 86). 
	
	D
	−57.
	   
	
	E
	−85.
	   
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"No espaço Rn, n-dimensional estabelecemos as n-relações representadas por valores de conjunto domínio de uma função Dm((f)
, expresso por (x1,x2,...,xn), com respectiva imagem da função Im(f) expressa por f(x1,x2,...,xn).
"
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 76.
Considerando o trecho de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|
 com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}, identifique a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z) no ponto (2,3,5)
:
Nota: 10.0
	
	A
	132
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para encontrar o valor de f deve-se substituir os valores de x,y e z por 2,3 e 5 respectivamente na função. Assim teremos:
f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.
	
(Livro-base, p.76).
	
	B
	145
	
	
	C
	133
	
	
	D
	115
	
	
	E
	154
	
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"Na equação da curva, em que y=f(x)
, considerando-se f e sua derivada (f') contínuas num trecho de intervalo fechado [a,b] e sendo a função f(x) maior que e igual a zero, com x sendo um elemento que pertence ao intervalo [a,b], a área na superfície S gerada pelo giro da curva C ao redor do eixo das abscissas x será definida por: A=2π∫baf(x)√1+[f′(x)]2dx ". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 18. 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2 , no intervalo fechado [0,2] em torno do eixo das abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor: 
Nota: 10.0
	
	A
	25π√20
	u.a.
	
	B
	20π√10
 u.a.
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
A=2π∫20y(x)√1+[y′(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√103=20π√10u.a.
	 
(livro-base, p. 15-20). 
	
	C
	22π√12
 u.a 
	
	
	D
	23π√13
	u.a.
	
	E
	21π√15
	u.a.
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor das derivadas parciais, ao calcular a função f(x,y,z)=3x+5y−6z
:
Nota: 10.0
	
	A
	fx=3;fy=5;fz=−6
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Então as derivadas parciais de f(x,y,z)=3x+5y−6z
são:
fx=3 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo x.
fy=5 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo y.
fz=−6 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo z
	.
(livro-base, p. 80). 
	
	B
	fx=−3;fy=−5;fz=−5
	
	
	C
	fx=5;fy=3;fz=−6
	
	
	D
	fx=6;fy=5;fz=−3
	
	
	E
	fx=−6;fy=5;fz=3
	
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Se uma função f é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b], é possível determinar o comprimento do arco da curva C, de a até b. Lembrando que a fórmula utilizada é C=∫ba√1+[f′(x)]2dx
.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x)=2x−8, identifique a alternativa correta que apresenta o comprimentodo arco da curva dada por f  no intervalo fechado [0,2]: 
Nota: 10.0
	
	A
	2√5u.c.
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois aplicando a fórmula para calcular o comprimento da curva, teremos:
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+22dx=∫20√5dx=2√5u.c.
	
(Livro-base, p. 21-24). 
	
	B
	3√5u.c.
	
	
	C
	4√u.c.
	
	
	D
	5√8u.c.
	
	
	E
	6√u.c.
	
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx
, inicialmente integramos f(x,y) em relação a y, mantendo x fixo. Os limites de integração g(x) e h(x) dependerão desse valor fixo de x, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c e d".
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫21∫21xydydx: 
Nota: 10.0
	
	A
	94
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫21∫21xydydx=∫21x[∫21ydy]dx=∫21x[y22]21dx=∫21x[222−122]dx=∫21x32dx=32∫21xdx=32x22∣∣∣21=32[222−122]=32⋅32=94
	
(Livro-base p. 43-47). 
	
	B
	12
	
	
	C
	74
	
	
	D
	34
	
	
	E
	72
	
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx
, inicialmente integramos f(x,y) em relação a y, mantendo x fixo. Os limites de integração g(x) e h(x) dependerão desse valor fixo de x, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c e d". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida  ∫10∫10xdydx
:
Nota: 0.0
	
	A
	14
	
	
	B
	13
	
	
	C
	1
	
	
	D
	2
	
	
	E
	12
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫10∫10xdydx=∫10x[∫10dy]dx=∫10x[y]10dx=∫10x[1−0]dx=∫10xdx=[x22]10=122−022=12
	
(Livro-base página 43-47). 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
No espaço tridimensional, estabelecemos três relações representadas por valores do conjunto domínio Dm(f), expresso por (x,y,z), com respectiva imagem Im(f) expressa pela função f(x,y,z).
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considere o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|
 com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z) no ponto (2,3,5): 
Nota: 10.0
	
	A
	132
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme a seguinte solução: substituindo os valores de x, y e z em f(x,y,z) temos:
f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.
	
(livro-base, p. 77). 
	
	B
	145
	
	
	C
	133
	
	
	D
	115
	
	
	E
	154