LIVRO - CALCULO II

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1
CÁLCULO 
DIFERENCIAL E 
INTEGRAL II
Prof. Me. Luiz Gonzaga Alves da Cunha
2
CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL II
PROF. ME. LUIZ GONZAGA ALVES DA CUNHA
3
 Diretor Geral: Prof. Esp. Valdir Henrique Valério
 Diretor Executivo: Prof. Dr. William José Ferreira
 Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Profa Esp. Cristiane Lelis dos Santos
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Profa. Esp. Gilvânia Barcelos Dias Teixeira
 Revisão Gramatical e Ortográfica: Profa. Esp. Izabel Cristina da Costa
 
 Revisão/Diagramação/Estruturação: Clarice Virgilio Gomes
 Fernanda Cristine Barbosa
 Prof. Esp. Guilherme Prado 
 
 Design: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Daniel Guadalupe Reis
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Eliza P. Campos 
 Victor L. dos Reis Lopes 
© 2022, Faculdade Única.
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autoriza-
ção escrita do Editor.
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920.
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL II
1° edição
Ipatinga, MG
Faculdade Única
2022
5
Mestre em Ensino de Ciências e Matemática 
(PUC-MG) / Especialista em Educação Matemá-
tica (Univale/Unesp) / Especialista em Docência 
na Educação a Distância (UNIS) / Especialista 
em Qualidade na Educação (Fac. Maringá) / Li-
cenciado em Matemática (UFV) / Técnico em 
Informática (ETEIT) / Possui 25 anos de docên-
cia nos Ensinos Fundamental e Médio, 15 anos 
no Ensino Superior e 11 anos no Ensino a Dis-
tância / Ampla experiência em estratégias de 
ensino e aprendizagem em Matemática por 
meio da Aprendizagem Ativa e Tecnologias na 
Educação / Proprietario/CEO de Plataforma de 
Ensino de Matemática - MATEMATICLICK - AU-
LAS PARTICULARES ONLINE E PRODUÇÃO DE 
MATERIAIS ACADÊMICOS (www.profluizcunha.
mat.br).
LUIZ GONZAGA ALVES 
DA CUNHA
Para saber mais sobre a autora desta obra e suas qualificações, 
acesse seu Curriculo Lattes pelo link :
http://lattes.cnpq.br/2305944075720233
Ou aponte uma câmera para o QRCODE ao lado.
6
LEGENDA DE
Ícones
Trata-se dos conceitos, definições e informações importantes nas 
quais você precisa ficar atento.
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do 
conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones 
ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para determinado 
trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, mostradas a 
seguir:
São opções de links de vídeos, artigos, sites ou livros da biblioteca 
virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro.
Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade, 
associando-os a suas ações.
Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos 
conteúdos abordados no livro.
Apresentação dos significados de um determinado termo ou 
palavras mostradas no decorrer do livro.
 
 
 
FIQUE ATENTO
BUSQUE POR MAIS
VAMOS PENSAR?
FIXANDO O CONTEÚDO
GLOSSÁRIO
7
UNIDADE 1
UNIDADE 2
UNIDADE 3
UNIDADE 4
SUMÁRIO
1.1 Motivação ............................................................................................................................................................................................................................................................................................10
1.2 A Ideia Das Somas Finitas ......................................................................................................................................................................................................................................................10
1.3 Integral Definida ...........................................................................................................................................................................................................................................................................14
1.4 Propriedades Operatórias Da Integral Definida .....................................................................................................................................................................................................16
1.5 Resumo Das Propriedades Operatórias Da Integral Definida .......................................................................................................................................................................17
FIXANDO O CONTEÚDO ................................................................................................................................................................................................................................................................19
2.1 Teorema Fundamental Do Cálculo .................................................................................................................................................................................................................................23
2.1.1 Teorema Do Valor Médio (Tvm) ........................................................................................................................................................................................................................................23
2.1.2 Teorema Fundamental .......................................................................................................................................................................................................................................................24
2.2 Antiderivada ...................................................................................................................................................................................................................................................................................25
2.3 Propriedades Da Integral Indefinida ............................................................................................................................................................................................................................27
2.4 Integrais Trigonométricas ....................................................................................................................................................................................................................................................29
FIXANDO O CONTEÚDO ...............................................................................................................................................................................................................................................................34
3.1 Cálculo Da Primitiva Pela Regra Da Substituição De Variáveis ...................................................................................................................................................................37
3.2 Regra Da Substituição Para Calcular Integrais Definidas ..............................................................................................................................................................................39
3.3 Regra Da Substituição Para Calcular Áreas Entre Curvas ..............................................................................................................................................................................40
FIXANDO O CONTEÚDO ................................................................................................................................................................................................................................................................41
INTEGRAÇÃO E INTEGRAL DEFINIDA
CÁLCULO DAS INTEGRAIS DEFINIDAS E INDEFINIDAS
INTEGRAÇÃO PORSUBSTUIÇÃO DE VARIÁVEIS
4.1 Cálculo Da Primitiva Pela Regra Da Integração Por Partes ..........................................................................................................................................................................44
4.2 Cálculo Da Integral Definida Pela Regra Da Integração Por Partes ......................................................................................................................................................46
FIXANDO O CONTEÚDO ...............................................................................................................................................................................................................................................................48
INTEGRAÇÃO POR PARTES
5.1 Decomposição Em Frações Parciais ................................................................................................................................................................................................................................51
5.2 Resolução De Integrais Por Decomposição Em Frações Parciais .............................................................................................................................................................53
FIXANDO O CONTEÚDO ...............................................................................................................................................................................................................................................................58
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
UNIDADE 5
6.1 Integrais Envolvendo As Expressões a2-x2, a2+x2 ,x2-a2 ..................................................................................................................................................................................62
FIXANDO O CONTEÚDO ...............................................................................................................................................................................................................................................................70
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO ......................................................................................................................................................................................................................72
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................................................................................................................................................................................73
ANEXOS ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................74
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
UNIDADE 6
8
O
N
FI
R
A
 N
O
 L
I
C
V
R
O
UNIDADE 1
Na primeira unidade veremos uma introdução de integrais, em que serão realizadas 
estimativas por meio de somas finitas e utilização de notações que designarão 
somas de grandes quantidades de termos. 
UNIDADE 2
Na segunda unidade será apresentado um poderoso método para o cálculo de 
integrais definidas de uma função para encontrarmos a primitiva dessa função. Será 
introduzida uma notação com a finalidade de tornar mais acessível sua aplicação 
nas mais diversas áreas profissionais. 
UNIDADE 3
Na terceira unidade veremos o método de integração, que permite a reversão 
da derivada por meio da regra da cadeia. Será aplicada uma técnica de trocas de 
variáveis que permitirá a substituição da função original por outra, facilitando sua 
resolução.
UNIDADE 4
Na quarta unidade veremos o método de integração que permite a reversão da 
derivada por meio da regra do produto. Será aplicada uma técnica em que a integral 
original será fracionada com o objetivo de encontrar seu resultado de forma parcial, 
encontrando uma integral mais simples de resolvê-la.
UNIDADE 5
Na quinta unidade veremos a técnica que permitirá calcular os resultados de 
integrais, cujos integrandos são funções racionais. Tal técnica utilizará métodos da 
matemática fundamental, tais como: fatoração e soma de frações algébricas.
UNIDADE 6
Na sexta unidade veremos a técnica que permitirá calcular os resultados de integrais 
cujos integrandos são funções trigonométricas. Tal técnica utilizará métodos da 
matemática fundamental por meio identidades trigonométricas e conhecimento 
de trigonometria do triângulo retângulo.
9
INTEGRAÇÃO E 
INTEGRAL DEFINIDA
10
1.1 MOTIVAÇÃO
 A determinação de fórmulas para o cálculo de áreas e volumes de figuras planas 
e espaciais foi, sem dúvida, um grande marco da geometria. Aqui, nesta unidade de 
aprendizagem, abordaremos uma metodologia para o cálculo dessas áreas e volumes 
em situações geométricas bem mais gerais. Tal metodologia se trata da integração 
numérica que, além das obtenções de áreas e volumes, tem diversas aplicações nas mais 
variadas áreas do conhecimento, tais como: estatística, economia, ciências e engenharia. 
 A dinâmica aqui utilizada consiste em efetuar cálculos para a obtenção de 
quantidades, fracionando-as em quantidades menores efetuando, em seguida, a adição 
de cada valor obtido nos cálculos de cada fragmento. Dessa forma, podemos utilizar o 
conceito de integral para solucionar problemas que envolvem comprimento de curvas, 
predições populacionais, excedentes de consumo e muitos outros.
1.2 A IDEIA DAS SOMAS FINITAS1.2 A IDEIA DAS SOMAS FINITAS
 Nesta seção, apresentaremos o cálculo de áreas, valores médios, distância 
percorrida por meio da soma finita que é o fundamento para a definição de integral. 
Iniciaremos nosso estudo, abordando a problematização da área. Suponhamos que 
desejamos encontrar a área da região R sob a curva de uma determinada função y = f(x) 
no intervalo iniciando em a e terminando em b, conforme a figura abaixo:
 Em outras palavras, queremos obter o valor da área compreendida entre o gráfico 
gerado pela função e o eixo das abscissas (eixo x) e pelas retas verticais x = a e x = b.
 Se pensarmos que a curva gerada pela função é formada por linhas retas, nossa 
tarefa será, sem dúvida nenhuma, simplificada, uma vez que, se a região R for um 
retângulo, basta calcular o produto entre sua base e sua altura e, se fosse um triângulo, 
poderíamos recorrer à metade do produto entre a sua base e sua altura. Veja na figura 
abaixo:
11
 Por outro lado, caso tenhamos uma figura poligonal, um hexágono por exemplo, 
teremos que fragmentá-los em quatro triângulos, calcular as áreas de cada um dos 
triângulos encontrados para, em seguida, somar os resultados obtidos. Veja na figura 
abaixo:
 O maior problema que podemos encontrar são as áreas de figuras que possuem 
lados não lineares, ou seja, curvos. Com certeza podemos calcular tal área de forma 
intuitiva ou aproximada, porém, às vezes, temos a necessidade de obter a sua área de 
forma mais precisa. Então, para obtermos a área exata de uma região curva, devemos 
fragmentá-la em vários retângulos, calcular as áreas de cada retângulo e, em seguida, 
somar os resultados obtidos. 
 Veja este procedimento de forma mais detalhada nas figuras a seguir:
 Para podermos calcular a área R entre a curva da função e o eixo das abscissas (eixo 
x), primeiramente, devemos observar os limites em que a região está compreendida 
que, no caso considerado, está entre 0 e 1. Após levantar os limites em que a região está 
definida, devemos fragmentá-la em quatro retângulos A1, A2, A3 e A4 por meio de cinco 
retas verticais a saber: x = 0,x = ¼,x = ½,x = ¾ e x = 1.
 Dessa forma, podemos aproximar cada repartição criada por meio de um retângulo 
com bases iguais à distância compreendida entre as retas verticais, ou seja, ¼ e altura 
igual ao lado esquerdo de cada retângulo formado, ou seja, as alturas dessesretângulos 
serão os valores de f(x) nas extremidades esquerdas dos intervalos [0,1/4],[1/4,1/2],[1/2,3/4] 
e [3/4,1].
 Efetuando os cálculos considerando f(x)=ex teremos:
12
 Este método de fragmentação da região R pode ser repetido para qualquer 
quantidade de retângulos que desejarmos.
 Uma vez constatado que podemos utilizar retângulos para calcular áreas 
aproximadas, utilizaremos esta mesma ideia para calcular as áreas das mais diversas 
regiões obtidas pelas mais variadas funções. Veja na figura abaixo.
É razoável pensar que, quanto mais subdivisões utilizarmos, melhor será a aproximação do 
resultado em relação à área real.
FIQUE ATENTO
13
 Temos que a largura do intervalo [a,b] é b – a e, dessa forma, a altura de cada um 
dos trapézios será dada por:
 Logo a área da região sob a curva se dará por:
 Convertendo a velocidade em m/s temos:
 Temos a seguinte situação gráfica para este problema:
 Logo a área da região sob a curva se dará por:
 Exemplo:
 Suponha que queiramos estimar a distância percorrida por um carro durante 
um intervalo de tempo de 30 segundos. A cada 5 segundos registramos a leitura do 
velocímetro na seguinte tabela:
O que irá acontecer com nossos cálculos se resolvermos fazer o número de subdivisões 
tender a infinito?
VAMOS PENSAR?
14
 Podemos efetuar os cálculos por aproximação da área sob a curva utilizando 6 
(seis) retângulos aproximantes e, utilizando como altura, o extremo esquerdo de cada 
um deles. Assim temos:
 Na seção anterior mostramos que a área sob a curva de uma função é dada por:
 Dessa forma, podemos definir a integral definida da seguinte forma:
1.3 INTEGRAL DEFINIDA1.3 INTEGRAL DEFINIDA
 Se f(x) é uma função contínua definida em [a,b], dividimos este 
intervalo em “n” subintervalos de comprimentos iguais a ∆𝑥 = (𝑏 − 𝑎)/𝑛.Sejam 
𝑥0 = 𝑎 , 𝑥1,𝑥2, … , 𝑥𝑛(= 𝑏) as extremidades desses subintervalos. Então a 
integral definida de f(x) de a até b é:
� 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
�𝒇(𝒙)∆𝒙
𝒏
𝒊=1
𝒃
𝒂
 Desde que este limite exista e dê o mesmo valor para todas as possíveis 
escolhas de pontos. Se ele existir, dizemos que f é integrável em [a,b].
OBSERVAÇÕES:
 O Símbolo de ∫ é denominado sinal de integração onde na notação � 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, f(x) é 
chamado de integrando, "a" e "b" são os limites de integração e o dx indica que a variável 
dependente é x. O procedimento de calcular a integral é chamado integração.
 A integral definida � 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
)dx é um número e x é apenas uma letra que representa 
a variável. Podemos alterá-la para qualquer outra letra que o valor da integral não altera.
 A soma 
�𝑓(𝑥)∆𝑥
𝑛
𝑖=1 (denominada soma de Riemann) se aproxima do valor da integral 
por aproximações sucessivas dependendo apenas de quanto queremos que seja essa 
aproximação.
 Quando f(x) assume valores positivos e negativos, podemos dizer que a soma de 
Riemann é o resultado da adição das áreas dos retângulos situados acima do eixo x e do 
oposto das áreas dos retângulos situados abaixo do eixo x.
15
 b) Com n subintervalos,temos
Dessa forma teremos, 
Exemplo:
 Calcule a soma de Riemann para 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 6𝑥 tomando como pontos amostrais 
as extremidades direitas e a = 0, b = 3 e n = 6.
 Calcule � 𝑥3 − 6𝑥 𝑑𝑥
3
0
 a) Com n=6, o comprimentos dos intervalos é ∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛 =
3− 0
6 =
1
2 e as extremidades direitas serão:
𝑥1 = 0,5, 𝑥2= 1,0, 𝑥3= 1,5, 𝑥4= 2,0, 𝑥5= 2,5, 𝑥6= 3,0
Assim,a soma de Riemann será:
= 𝑓 0.5 ∆𝑥 + 𝑓 1,0 ∆𝑥 + 𝑓 1.5 ∆𝑥 + 𝑓 2,0 ∆𝑥 + 𝑓 2.5 ∆𝑥 + 𝑓 3,0 ∆𝑥
=
1
2 −2,875 − 5− 5,625 − 4 + 0,625 + 9 = −3,9375
A função f(x), por não ser uma função positiva, indica 
que o resultado encontrado (-3,9375) não representa 
uma soma de áreas de retângulos e sim, a soma 
algébrica das áreas dos retângulos acima do eixo e 
dos retângulos abaixo do eixo x.
FIQUE ATENTO
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛 =
3
𝑛
𝑥0 = 0, 𝑥1=
3
𝑛 , 𝑥2=
6
𝑛 , 𝑥3=
9
𝑛 𝑒, 𝑒𝑚 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙, 𝑥𝑖=
3𝑖
𝑛
16
Logo,utilizando as extremidades direitas temos:
• Limites inferior e superior iguais:
� 𝑥3 − 6𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
�𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
�𝑓
3𝑖
𝑛
3
𝑛
𝑛
𝑖=1
3
0
= lim
𝑛→∞
3
𝑛�
3𝑖
𝑛
3
− 6
3𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
3
𝑛�
27𝑖3
𝑛3 −
18𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
81
𝑛4 �𝑖
3 −
54
𝑛2 �𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
81
𝑛4
𝑛 𝑛 + 1
2
2
−
54
𝑛2
𝑛(𝑛 + 1)
2
= lim
𝑛→∞
81
4 1 +
1
𝑛
2
− 27 1 +
1
𝑛
=
81
4 − 27 = −
27
4 = −6,75
A integral acima não pode ser considerada uma área 
devido ao fato de f(x) assumir valores positivos e negativos 
e, assim, essa integral é a soma algébrica das áreas A1 e 
A2 conforme indicado na figura:
FIQUE ATENTO
Se em vez de utilizarmos pontos médios, utilizássemos extremos (esquerdos ou direitos) 
para o cálculo das somas das áreas dos retângulos? Como poderíamos julgar o resultado 
encontrado?
VAMOS PENSAR?
1.4 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DA INTEGRAL DEFINIDA1.4 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DA INTEGRAL DEFINIDA
 Uma vez utilizada a soma de Riemann para o cálculo de uma integral definida, 
podemos agora, apresentar algumas propriedades operatórias que tonarão os cálculos 
das integrais definidas mais ágeis.
• Inversão dos limites de integração:
17
• Propriedades da integral:
• Integrais definidas em intervalos adjacentes:
1.5 RESUMO DAS PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DA 1.5 RESUMO DAS PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DA 
INTEGRAL DEFINIDAINTEGRAL DEFINIDA
18
Para se inteirar mais sobre os assuntos abordados nesta unidade sugerimos o 
livro “Cálculo, VOL. I, 2018” de Jon Rogawski e Colin Adams. Disponível no link: 
https://bit.ly/3gnjUjB. Acesso em 06 de nov. de 2022.
BUSQUE POR MAIS
19
1. Lendo os valores do gráfico dado da função f(x), utilize o extremo esquerdo de quatro 
retângulos para encontrar as estimativas para a área sob o gráfico dado da função de x 
= 0 até x = 8.
FIXANDO O CONTEÚDO
Fazendo o que se pede, podemos afirmar que a área encontrada será
a) 30
b) 31
c) 32
d) 33
e) 34
2. Lendo os valores do gráfico dado da função f(x), utilize o extremo direito de quatro 
retângulos para encontrar as estimativas para a área sob o gráfico dado da função de x 
= 0 até x = 8.
Fazendo o que se pede, podemos afirmar que a área encontrada será
a) 38
b) 39
c) 40
d) 41
e) 42
3. A velocidade de um corredor aumenta regularmente durante os três primeiros 
segundos de uma corrida. Sua velocidade em intervalos de meio segundo é dada em 
uma tabela:
20
Utilizando os extremos esquerdos de cada intervalo podemos dizer que a distância 
percorrida pelo atleta é
a) 10,55
b) 11,55
c) 12,55
d) 13,55
e) 14,55
4. A velocidade de um corredor aumenta regularmente durante os três primeiros 
segundos de uma corrida. Sua velocidade em intervalos de meio segundo é dada em 
uma tabela:
Utilizando os extremos direitos de cada intervalo podemos dizer que a distância 
percorrida pelo atleta é
a) 10,65
b) 11,65
c) 12,65
d) 13,65
e) 14,65
5. Utilizando a forma da definição para calcular a integral � 1 + 3𝑥 𝑑𝑥
5
−1
 encontramos 
como resultado
a) 39
b) 40
c) 41
d) 42
e) 43
6 . Utilizando a forma da definição para calcular a integral � 𝑥2 + 𝑥 𝑑𝑥
0
−2
 encontramos como 
resultado
a) 1/3
b) 2/3
c) 1
d) 4/3
e) 5/3
7. Utilizando a forma da definição para calcular a integral � 𝑥3 + 3𝑥2 𝑑𝑥
1
0
 encontramos 
como resultado
a) – 3/4
b) – 2/3
c) 3/4
21
d) 2/3
e) 5/4
8. Calculando a integral � 1− 𝑥 𝑑𝑥
2
−1
 em termos de áreas obtemos como resultado
a) 2/3
b) 2/5
c) 5/2
d) 3/2
e) 1
22
CÁLCULO DAS 
INTEGRAIS DEFINIDAS E 
INDEFINIDAS
23
 A partir de agora, apresentaremos o teorema mais relevante do cálculo que 
relacionará a derivação já aprendida com a integração, que é o nosso assunto atual. Por 
meio desse teorema, poderemos calcular as integrais sem a necessidade de utilizar a 
soma de Riemann estudada na unidade anterior.
 Antes de iniciarmos nosso estudo do teorema fundamenta do cálculo, trataremos 
do teorema do valor médio que dará suporte ao nosso estudo.
 2.1.1Teorema do Valor Médio (TVM)
 Podemos definir o valor médio de uma função contínua em um intervalo [a,b] 
como sendo a integral definida � 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 dividida pelo comprimento do referido intervalo, 
ou seja, b – a. Assim, o teorema do valor médio nos garante que esse valor médio irá 
ocorrer pelo menos uma vez em [a,b].
 Observemos no gráfico abaixo, uma função f(x) contínua e positiva, definida em 
[a,b] na qual, um ponto c ∈ [a,b] nos remete a um retângulo de altura f(c) e base igual a 
b – a que possui área exatamente igual à região formada abaixo da curva de f(x) e entre 
os valores de a e b.
 Exemplo:
 Determine o valor médio de f(x) 4-x em [0,3] e em que ponto do domínio dado f(x) 
realmente assume esse valor.
 Portanto, o valor médio de f(x) = 4 – x no intervalo [a,b] é 5/2.
 A função assumirá esse valor quando 4 – x = 5/2, ou seja, para x = 3,2 (que é o 
2.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
𝑀 𝑓 =
1
𝑏 − 𝑎� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
=
1
3 − 0� 4− 𝑥 𝑑𝑥 =
1
3
3
0
� 4 𝑑𝑥
3
0
− � 𝑥 𝑑𝑥
3
0
=
1
3 4 3 − 0 −
32
2 −
02
2
= 4−
3
2 =
5
2
24
ponto c anunciado no teorema do valor médio).
 2.1.2 Teorema Fundamental
 Podemos definir o teorema fundamental do cálculo em duas partes. Na primeira 
parte, definiremos da seguinte forma:
 A segunda parte, será definida da seguinte forma:
 Vejamos um exemplo:
 Use o teorema fundamental para determinar:
a) 𝒅𝒅𝒙 � 𝐜𝐨𝐬 𝒕 𝒅𝒕
𝒙
𝒂
 
𝑑
𝑑𝑥 � cos𝑡 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
= cos𝑥
b) 𝒅𝒅𝒙�
𝟏
𝟏 + 𝒕𝟐 𝒅𝒕
𝒙
𝒂
 
𝑑
𝑑𝑥�
1
1 + 𝑡2 𝑑𝑡 =
1
1 + 𝑥2
𝑥
𝑎
c) 𝒅
𝒅𝒙 𝒔𝒆 𝒚 = � 𝟑𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝒅𝒕
𝟓
𝒙
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥 � 3𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑑
𝑑𝑥 −� 3𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
5
= −
𝑑
𝑑𝑥 � 3𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
5
= −3𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
5
𝑥
d) 𝒅
𝒅𝒙 𝒔𝒆 𝒚 = � 𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝒅𝒕
𝒙𝟐
𝟏
 fazendo u = x2 teremos: 𝑦 = � 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡
𝑢
1 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑢 .
𝑑𝑢
𝑑𝑥 =
𝑑
𝑑𝑢� 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡
𝑢
1
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥 = cos𝑢 .
𝑑𝑢
𝑑𝑥 = cos 𝑥
2 .2𝑥 = 2𝑥 cos(𝑥2) 
Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1)
 Se f(x) é contínua em [a,b], então 𝐹 𝑥 = � 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
 é contínua em [a,b] e de-
rivável em (a,b) sendo sua derivada igual a f(x).
𝐹 𝑥 = 
𝑑
𝑑𝑥� 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)
𝑥
𝑎
Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2)
Se f(x) é contínua em qualquer ponto de [a,b] e 
se F é qualquer primitiva de f em [a,b], então
� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
Este teorema diz que devemos seguir os seguintes passos para resolver a integral definida 
de f em [a,b]:
Encontrar a primitiva F de f.
Calcular o valor de � 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
FIQUE ATENTO
25
 Até aqui, nosso estudo sinalizou que o cálculo da integral definida pode representar 
áreas sob gráficos de funções com precisão. A partir de agora, apresentaremos alguns 
resultados fundamentais acerca do cálculo de integrais que também podem ser 
denominadas antiderivação. Vamos então dar uma definição formal do que seria 
antiderivada.
 Exemplificando essa definição, consideremos 𝐹 𝑥 =
1
3𝑥
3 como uma antiderivada 
de uma função f(x) no intervalo (-∞,+∞). Para cada valor desse intervalo teremos:
 Vejamos um exemplo:
 Calcule as integrais abaixo:
a) � 𝐜𝐨𝐬𝒙 𝒅𝒙 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥|𝜋0 = 𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 0 = 0− 0 = 0 
𝝅
𝟎
b) � 𝟑𝟐 𝒙� −
𝟐
𝒙 𝒅𝒙 = 𝑥
3
2 − 2𝑙𝑛𝑥 41 = 4
3
2 − 2𝑙𝑛4 − 1
3
2 − 2𝑙𝑛1
𝟒
𝟏
= 8 − 𝑙𝑛16 − 1 − 0 = 7− 𝑙𝑛16
ANTIDERIVAÇÃO
Dizemos que uma função F(x) é uma antiderivada de uma função f(x) em um 
dado intervalo se F´(x) = f(x) para cada x do intervalo.
2.2 ANTIDERIVADA
Os resultados encontrados nos exemplos representam área sob a curva da função?
VAMOS PENSAR?
 Deve-se ressaltar que 𝐹 𝑥 =
1
3𝑥
3
não é a única antiderivada de f(x). Se adicionarmos 
uma constante C qualquer à 1
3 𝑥
3, então a função 𝐺 𝑥 =
1
3𝑥
3 + 𝐶, também é uma antiderivada 
de f(x) no mesmo intervalo considerado. Assim:
De um modo geral, quando encontramos uma antiderivada de uma função, devemos 
ter em mente que existirão outras antiderivadas dessa mesma função alteradas de uma 
constante qualquer.
FIQUE ATENTO
1
3𝑥
3 , 
1
3𝑥
3 + 2 , 
1
3𝑥
3 − 5 , 
1
3 𝑥
3 + 2�
26
Existem antiderivadas de uma função f(x) que não podem ser obtidas adicionando-se 
constantes a uma antiderivada de F(x) conhecida?
VAMOS PENSAR?
 Uma vez conhecida a definição de antiderivada, podemos anunciar um teorema 
que generaliza o que foi estudado até agora.
 Dentro da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, a metodologia utilizada para 
encontrar as antiderivadas de uma função é denominada integração numérica ou, 
simplesmente, integração.
 Dessa forma, se d/dx 𝑑
𝑑𝑥 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥
 então, integrando a função f(x), encontraremos 
uma antiderivada na forma F(x) + C. Para formalizar essa ideia utilizaremos a notação de 
integral abaixo.
 A constante C é uma constante qualquer que diferenciará todas as antiderivadas 
encontradas da função f(x). Em resumo, podemos dizer que a integral de f(x) é igual a 
F(x) mais uma constante qualquer.
 Quando precisamos encontrar a antiderivada de uma função f (x), o processo pode 
ser encarado como um trabalho de tentativa e erro, porém, existem algumas fórmulas 
ou procedimentos que nos auxiliam neste processo. 
 Primeiramente, trataremos das fórmulas que nos auxiliam na obtenção de 
antiderivadas de algumas funções ou família de funções. Nas próximas unidades 
trataremos das técnicas que também ajudam a encontrar antiderivadas.
TEOREMA:
Se F(x) for qualquer antiderivada de uma função f(x) em um dado intervalo, en-
tão para qualquer constante C a função F(x) + C é também uma antiderivada de 
f(x) naquele intervalo. Além disso, cada antiderivada de f(x) no intervalo pode ser 
expressa na forma F(x) + C, escolhendo-se apropriadamente a constante C. 
�𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
�
�
Os símbolos de diferencial dx (derivada) e da antiderivação (integral) são respectivamente 
𝑑
𝑑𝑥 [ ]
 e � 𝑑𝑥
�
�
.
FIQUE ATENTO
27
 Exemplificaremos utilizando a fórmula de integração nº 2 da tabela, ou seja:
 É muito importante para nossos estudos o conhecimento de algumas 
propriedades operatórias das integrais indefinidas. Tais propriedades seguem as regras 
2.3 PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA
28
do fator constante da soma e da diferença de derivadas. Apresentar essas propriedades 
por meio de um teorema.
 Em resumo, o que o teorema acima nos diz está representado nas fórmulas 
abaixo:
 Exemplos:
TEOREMA:
Sejam F(x) e G(x) antiderivadas de f(x) e g(x), respectivamente, e C uma constante 
qualquer. 
Dessa forma:
• Uma constante pode ser movida através do sinal de integração
• Uma antiderivada de uma soma é a soma das antiderivadas
• Uma antiderivada de uma diferença é a diferença das antiderivadas
 
29
 Algumas vezes a resolução de integrais se torna um pouco mais trabalhosa e, dessa 
forma, é necessário utilizar artifícios para simplificar nosso trabalho. Pensando nisso, 
apresentaremos algumas fórmulas de redução que permitirão a resolução de integrais 
de funções trigonométricas.
• Integração de potências de seno e cosseno
2.4 INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
 Exemplos:
a) Tomando n = 2 teremos
 De forma alternativa, podemos utilizar identidades trigonométricas para a 
resolução das integrais acima. Para isso devemos lembrar que
 e também de 
 que nos leva a
b) Tomando n = 3 teremos
c) Tomando n = 4 teremos
30
• Integração de produto de senos e cossenos
 Para as integrais do tipo �𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥 cos𝑛 𝑥 𝑑𝑥
�
�
 devemos considerar os casos de “m” e “n” 
serem pares ou ímpares e tomar como regra de resolução, as opções apresentadas na 
tabela abaixo.
 Exemplos:
 Encontre as primitivas das integrais abaixo:
a) � 𝑠𝑒𝑛
4𝑥 cos5 𝑥 𝑑𝑥
�
�
b) � 𝑠𝑒𝑛4𝑥 cos4 𝑥 𝑑𝑥
�
�
Solução (a)
Caso em que n = 5 é ímpar
Solução (b)
Caso em que m = n = 4 são pares
31
Integrais do tipo:
�𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥 cos 𝑚𝑥 𝑑𝑥 , �𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥 sen 𝑚𝑥 𝑑𝑥
�
�
 ,
�
�
 �𝑐𝑜𝑠 𝑚𝑥cos 𝑚𝑥 𝑑𝑥
�
�podem ser resolvidas por meio das identidades abaixo:
FIQUE ATENTO
 Exemplo:
 No caso de n =1 teremos
 Ou seja,
• Integração de potência de tangente e de secante
32
• Algumas integrais clássicas
a) Para n = 2 teremos
e
 Exemplos:
a) Caso em que n = 4 (par)
b) Para n = 3 teremos
• Integração de produto de tangente e de secante
 Para as integrais do tipo �𝑡𝑔𝑥 sec
𝑛 𝑥 𝑑𝑥
�
�
 devemos considerar os casos de “m” e “n” 
serem pares ou ímpares e tomar como regra de resolução, as opções apresentadas na 
tabela abaixo:
33
b) Caso em que m = 3 (ímpar)
 Caso em que
Para aprofundar seus conhecimentos sobre integrais indefinidas assista a aula 
disponível no canal da UNIVESP (Universidade Virtual de São Paulo) no Youtube: 
Disponível no link: https://bit.ly/3hn6uWn. Acesso em 06 de nov. de 2022.
BUSQUE POR MAIS
34
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Por meio o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) pode-se calcular o valor de 
� 2𝑥 + 5 𝑑𝑥
0
−2
 . Dessa forma, o valor encontrado é
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
2. Por meio o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) pode-se calcular o valor de 
� 3𝑥 −
𝑥3
4 𝑑𝑥
4
0
 . Dessa forma, o valor encontrado é
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
3. Por meio o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) pode-se calcular o valor de 
� 𝑥2 + 𝑥� 𝑑𝑥
1
0
. Dessa forma, o valor encontrado é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4. Por meio o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) pode-se calcular o valor de 
� 𝑥− 
6
5 𝑑𝑥
32
1
 . Dessa forma, o valor encontrado é
a) 1/2
b) 1
c) 3/2
d) 2
e) 5/2
5. Calculando a antiderivada de �𝑥8𝑑𝑥
�
�
 encontraremos
a) 𝑥9 + 𝑐
35
b) 
𝑥9
9 + 𝑐
c) 𝑥
8
8 + 𝑐
d) 𝑥8 + 𝑐
e) 𝑥
7
7 + 𝑐
6. Calculando a antiderivada de �5𝑥 𝑑𝑥
�
�
 encontraremos
a) 5𝑥2 + 𝑐
b) 
5𝑥2
3 + 𝑐
c) 5𝑥
2
2 + 𝑐
d) 5𝑥3 + 𝑐
e) 
5𝑥3
3 + 𝑐
7. Calculando a antiderivada de �𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos𝑥 𝑑𝑥
�
�
 encontraremos
a) - cos x+sen x+c
b) cos x-sen x+c
c) - cos x-sen x+c
d) cos x+sen x+c
e) tg x+c
8. Calculando a antiderivada de �
2
3𝑥5 𝑑𝑥
�
�
 encontraremos
a. 
1
𝑥4
b. −
1
𝑥4
c. 
1
6𝑥4
d. −
1
6𝑥4 
e. 
2
3𝑥4
36
INTEGRAÇÃO POR 
SUBSTUIÇÃO DE 
VARIÁVEIS
37
 Agora, iniciaremos nossos estudos acerca de algumas técnicas de integração 
que nos ajudarão a encontrar as antiderivadas (primitivas) de funções. Nesta unidade, 
detalharemos a técnica de integração por substituição de variáveis. Podemos enunciar 
esta técnica da seguinte forma:
b)
 Está regra deve ser utilizada da seguinte forma:
• Substitua u=g(x) e du=g' (x) dx para obter a integral 
�𝑓 𝑢 𝑑𝑢
�
�
.
• Integre em relação à variável u.
• Troque u por g(x) no resultado
 Exemplos:
a) 
3.1 CÁLCULO DA PRIMITIVA PELA REGRA 
DA SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS
A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS
Se u=g(x) é uma função derivável cuja imagem é um intervalo I e f(x) é uma fun-
ção contínua em I, então:
�𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = �𝑓 𝑢 𝑑𝑢
�
�
�
�
38
c)
d)
Em determinadas situações, podemos utilizar identidades trigonométricas para 
transforma integrais que não sabemos como calcular pelo método tradicional, tais como:
FIQUE ATENTO
Para efeito de cálculo de área entre curvas por meio de integrais, pontos de interseção 
abaixo do eixo x, devem ser descartados.
FIQUE ATENTO
39
 Exemplos:
a) 
3.2 REGRA DA SUBSTITUIÇÃO PARA CALCULAR 
INTEGRAIS DEFINIDAS
 Podemos utilizar a regra da substituição para o cálculo de integrais definidas. 
INTEGRAIS DEFINIDAS PELA REGRA DA SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS
Se g'(x) é contínua em um intervalo [a,b] e
f(x) é uma função contínua na imagem de g, então
� 𝑓 𝑔 𝑥 .𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = � 𝑓 𝑢 𝑑𝑢
𝑔(𝑏)
𝑔(𝑎)
 
𝑏
𝑎
b)
c)
40
3.3 REGRA DA SUBSTITUIÇÃO PARA CALCULAR 
ÁREAS ENTRE CURVAS
 Uma vez que podemos calcular integrais definidas pelo método da substituição 
de variáveis, por consequência, podemos calcular também, áreas sob curvas ou entre 
duas curvas.
 Exemplos:
 Determine por meio de integral, a área compreendida entre a parábola y=2-x2 e a 
reta y=-x.
 Primeiramente,devemos encontrar os limites de integração e,para isso,calculamos: 
CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE CURVAS
 PELA REGRA DA SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS
Se f(x) e g(x) são contínuas com f(x) ≥ g(x) ao longo do intervalo [a,b], então
a área da região entre as curvas y=f(x) e y=g(x) de a até b
é a integral de [f(x)-g(x)] desde a até b.
𝐴 = � 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 
𝑏
𝑎
 Uma vez que y=-1 nos fornece um ponto de interseção entre as curvas, abaixo do 
eixo x,deveremos adotar os limites inferior e superior respectivamente iguais a 0 e 2. 
Assim,
Para aprofundar seus conhecimentos sobre o que foi abordado nesta unidade 
assista a aula do Prof. Paulo Pereira. Disponível no link: https://bit.ly/3hnC6uF. 
Acesso em 06 de nov. de 2022.
BUSQUE POR MAIS
41
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Ao calcular a integral � 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 
�
�
 encontraremos a primitiva
a) −
1
3 cos3𝑥 + 𝑐
b) − cos3𝑥 + 𝑐
c) 
1
3 cos3𝑥 + 𝑐
d) cos3𝑥 + 𝑐
e) cos (−3𝑥) + 𝑐
2. Ao calcular a integral � 3− 2𝑠 � 𝑑𝑠
�
�
 encontraremos a primitiva
a) −
1
3 3 − 2𝑠 + 𝑐
b) −
1
3 3 − 2𝑠
3
2 + 𝑐
c) −
1
3 3 − 2𝑠
2
3 + 𝑐 
d) 1
3 3 − 2𝑠
3
2 + 𝑐
e) 1
3 3− 2𝑠 + 𝑐
3. Ao calcular a integral �28 7𝑥 − 2 2
�
�
𝑑𝑥 encontraremos a primitiva
a) (7x-2)-4+c
b) -(7x-2)4+c
c) -(7x-2)-4+c 
d) (7x-2)4+c
e) -(2x-7)-4+c
4. Ao calcular a integral �sec 2𝑡 𝑡𝑔 2𝑡 𝑑𝑡
�
�
 encontraremos a primitiva
a)
b)
c)
d)
e)
−12 sec 2𝑡 + 𝑐
−𝑡 sec 2𝑡 + 𝑐
1
2 sec 2𝑡 + 𝑐
𝑡 sec 2𝑡 + 𝑐
− 12 cosec 2𝑡 + 𝑐
42
5. Utilizando a fórmula de substituição, calcule � sec 2𝑡 𝑡𝑔 2𝑡 𝑑𝑡
�
�
 encontraremos
a) 14/3
b) 17/3
c) 19/3
d) 23/3
e) 25/3
6. Utilizando a fórmula de substituição, calcule � 𝑦 + 1� 𝑑𝑦
3
0
 encontraremos
a) 13/16
b) 14/16
c) 15/16
d) 17/16
e) 19/16
7. A área compreendida entre a reta y=2 e a curva y=x2-2 é
a) 23/3
b) 25/3
c) 29/3
d) 31/3
e) 32/3
8. A área compreendida entre as curvas y=x2 e y=-x2+4x é
a) 5/3
b) 6/3
c) 7/3
d) 8/3
43
INTEGRAÇÃO POR 
PARTES
44
4.1 CÁLCULO DA PRIMITIVA PELA REGRA DA 
INTEGRAÇÃO POR PARTES
 Vamos considerar, em primeiro momento, a antiderivada de uma função g(x) que 
denominaremos G(x). Dessa forma, temos que G^' (x)=g(x) e assim, podemos representar 
a regra do produto para derivar f(x).G(x) como:
 Podemos observar que f(x)G(x) é a antiderivada de f(x)g(x)+f^' (x)G(x), então 
podemos escrever:
 ou de forma análoga temos:
 De forma mais prática, utiliza-se esta fórmula da seguinte forma:
 logo,
 Exemplos:
a) Use a integração por partes para integrar �𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥
�
�
.
Primeiramente vamos escolher u e dv para podermos, na fórmula,substituir �𝑢 𝑑𝑣.
�
�
.
Então teremos: u=x e dv=cos x dx
Agora,para encontramos os outros elementos da fórmula v e du, deveremos
derivar u e integrar dv respectivamente. 
Logo teremos: du=dx e �𝒅𝒗
�
�
= �𝐜𝐨𝐬𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙
�
�
E, finalmente, substituiremos os dados obtidos na fórmula da integral por partes.
 Nesta unidade, trataremos do método de integração que visa a reversão da 
derivada pela regra do produto, ou seja, queremos abordar situações que abrangem 
integrais do tipo �𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
�
�
45
b)
c)
 Existem algumas integrais que exigem a aplicação da integração por partes mais 
de uma vez. Abaixo, apresentaremos alguns exemplos neste sentido.
 Exemplos:
a)
46
4.2 CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA PELA REGRA 
DA INTEGRAÇÃO POR PARTES
b)
 As integrais definidas também podem ser resolvidas pelo método da integração 
por partes e a fórmula que será utilizada pode ser escrita por
47
 Exemplos:
É importante não esquecer que as variáveis u e v nessa fórmula são funções de x e que 
os limites de integração são limites sobre as variáveis x. É bom ressaltar escrevendo a 
expressão acima como:
FIQUE ATENTO
Para aprofundar seus conhecimentos sobre o que foi abordado nesta unidade 
assista a aula do Prof. Paulo Pereira. Disponível no link: https://bit.ly/3gmTS01BUSQUE POR MAIS
48
1. Calculando a integral �𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 
�
�
 pelo método da integração por partes, teremos:
a) -x2ex-2xex-2ex+c
b) x2 ex+2xex-2ex+c
c) x2ex-2xex+2ex+c
d)-x2ex+2xex+2ex+c
e) x2ex-2xex-2ex+c
2. Calculando a integral �𝑥𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 𝑑𝑥 
�
�
 pelo método da integração por partes, teremos:
a) −
1
3 𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥 +
1
9 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝑐
b) 1
3 𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥 +
1
9 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝑐
c) − 13 𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥 −
1
9 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝑐
d) 13 𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥 −
1
9 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝑐
e) −
1
3 𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑥 +
1
9 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 𝑐
3. Calculando a integral �𝑥𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 
�
�
 pelo método da integração por partes, teremos:
a) − 
𝑥2
2 ln 𝑥 −
𝑥2
4 + 𝑐
b) 𝑥
2
2 ln 𝑥 −
𝑥2
4 + 𝑐
c) 𝑥
2
2 ln 𝑥 +
𝑥2
4 + 𝑐
d) −
𝑥2
2 ln 𝑥 +
𝑥2
4 + 𝑐
e) 𝑥2
4 ln 𝑥 −
𝑥2
2 + 𝑐
4. Calculando a integral �𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
�
�
 pelo método da integração por partes, teremos:
a) − 
1
2 𝑒
𝑥(𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos𝑥) + 𝑐
b) 1
2 𝑒
𝑥(𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos𝑥) + 𝑐
c) 1
2 𝑒
𝑥(𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos𝑥) + 𝑐
FIXANDO O CONTEÚDO
49
d) − 
1
2 𝑒
𝑥(𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos𝑥) + 𝑐
e) 𝑒𝑥(𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos𝑥) + 𝑐
5. Calculando a integral � 𝑥
2
0
𝑒2𝑥 𝑑𝑥 dx pelo método da integração por partes, teremos:
a) 
1
4 3𝑒
4 + 1
b) 3𝑒4 + 1
c) 
1
4 3𝑒
4 − 1
d)
−
1
4 3𝑒
4 + 1
e) − 3𝑒
4 + 1
6. Calculando a integral � 𝑥
𝑒
1
2
𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 pelo método da integração por partes, teremos:
a) 
(2𝑒3 − 1)
9
b) −
(2𝑒3 + 1)
9
c) (−2𝑒
3 + 1)
9
d) (2𝑒3 + 1)
9
e) (−2𝑒3 + 1)
7. Calculando a integral � 𝑥
𝜋
0
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 pelo método da integração por partes, teremos:
a) −
𝜋
2
b) 
𝜋
2
c) 
𝜋
4
d) −
𝜋
4
e) 𝜋
3
8. Calculando a integral � ln(𝑥 + 2)
1
−1
 𝑑𝑥 pelo método da integração por partes, teremos:
a)-3 ln3-2
b) 3 ln3+2
c) 3 ln3-2
d)-3 ln3+2
e) 2 ln3-3
50
INTEGRAÇÃO POR 
FRAÇÕES PARCIAIS 
51
5.1 DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
 Para podermos utilizar o método da integração por frações parciais, devemos 
entender como decompor uma fração racional em uma soma de frações mais simples 
que denominaremos frações parciais. Tomando como exemplo a fração racional:
5𝑥 − 3
𝑥2 − 2𝑥 − 3
 Esta fração, após passar pelo processo de decomposição, poderá ser expressa da 
seguinte forma:
5𝑥 − 3
𝑥2 − 2𝑥 − 3 =
2
𝑥 + 1 +
3
𝑥 − 3
 De fato, se resolvermos o lado direito da igualdade obteremos a fração racional 
original. Uma vez decomposta a fração racional, podemos calcular a integral conforme 
o seguinte procedimento:
�
5𝑥 − 3
𝑥2 − 2𝑥 − 3 𝑑𝑥 = �
2
𝑥 + 1 𝑑𝑥 + �
3
𝑥 − 3
�
�
�
�
�
� resultando em:
= 2𝑙𝑛 𝑥 + 1 + 3𝑙𝑛 𝑥 − 3 + 𝑐
 O procedimento de reescrever uma função racional em soma de frações 
simplificadas denomina-se método das frações parciais. Tal método visa encontrar duas 
constantes A e B de forma que:
 
 Para encontrar A e B devemos eliminar todas as frações da equação:
 transformando-a em
5𝑥 − 3 = 𝐴 𝑥 − 3 + 𝐵 𝑥 + 1
5𝑥 − 3 = 𝐴𝑥 − 3𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐵
5𝑥 − 3 = 𝐴 + 𝐵 𝑥 − 3𝐴 + 𝐵
 e por comparação de polinômios teremos
𝐴+ 𝐵 = 5 
𝑒 
−3𝐴 + 𝐵 = 3
 resolvendo o sistema proposto pelas duas equações, encontraremos
A=2 e B=3
Logo,
5𝑥 − 3
𝑥2 − 2𝑥 − 3 =
𝐴
𝑥 + 1 +
𝐵
𝑥 − 3 =
2
𝑥 + 1 +
3
𝑥 − 3
52
Quando o termo “norma” é mencionado, pode surgir no interlocutor uma dúvida: trata-se de 
norma culta ou de norma padrão. A norma culta diz respeito aos usos linguísticos da classe 
social de prestígio, considerada culta, quer dizer, aquela classe que é mais escolarizada e 
tem acesso à cultura. Já a norma padrão é artificial, abstrata e homogênea. Trata-se da 
norma encontrada nas gramáticas e inspirada “numa elite letrada e conservadora” (GÖRSKI 
e COELHO, 2009, p. 80). 
FIQUE ATENTO
 Exemplos:
a) Fatores lineares distintos
 
 Resolvendo o sistema teremos: 
 
 Logo,
 
b) Um fator linear repetido
 
53
c) Fração racional imprópria
 
d) Fator quadrático irredutível
 
 
5.2 RESOLUÇÃO DE INTEGRAIS POR DECOMPOSIÇÃO 
EM FRAÇÕES PARCIAIS
 Aqui apresentaremos como integrar qualquer função racional após serem 
decomposta em soma de frações parciais.
• Caso em que a fração racional é imprópria, ou seja, o grau do numerador é 
maior do que o grau do denominador.
(x3+x)÷(x-1)
quociente:x2+x+2
resto:2
 
54
• Caso em o denominador é um produto de fatores lineares distintos
a)
 
 
 
 
b)
55
• Caso em que o denominador é um produto de fatores lineares repetidos
 
• Caso em que o denominador contém fatores quadráticos irredutíveis
 Se o denominador da função racional contém um fator na forma ax2+bx+c que 
apresenta b2-4ac<0 então dizemos que temos um fator irredutível.
a)
 
 
56
b)
c)
57
Como procedimento geral para se integrar uma fração parcial da forma:
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏
2 − 4𝑎𝑐 < 0
Devemos completar o quadrado no denominador e então fazemos uma substituição que 
traz a integral para a forma:
�
𝐶𝑢 + 𝐷
𝑢2 + 𝑎2 𝑑𝑢
�
�
= 𝐶�
𝑢
𝑢2 + 𝑎2
�
�
𝑑𝑢 + 𝐷�
1
𝑢2 + 𝑎2 𝑑𝑢
�
�A primeira integral resulta em um logaritmo e a segunda expressa em termos da inversa da 
função tangente.
FIQUE ATENTO
Para ampliar seus conhecimentos sobre o método de integração por frações 
parciais assista a aula do Prof Paulo Ramos para a disciplina Matemática III do 
curso de Engenharia de Pesca/ Deptº XXIV – UNEB. Disponível em: https://bit.
ly/2YqrzYv
BUSQUE POR MAIS
58
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Ao decompor o quociente 
5𝑥 − 13
(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) encontraremos
a) 
2
𝑥 − 3 +
3
𝑥 − 2
b) 
2
𝑥 − 2 +
3
𝑥 − 3
c) 
3
𝑥 − 3 +
2
𝑥 − 2
d) 
3
𝑥 − 2 +
2
𝑥 − 3
e) 
2
𝑥 − 3−
3
𝑥 − 2
2 . Ao decompor o quociente 
𝑥 + 4
𝑥 + 1 2 encontraremos
a) 3𝑥 + 1 +
1
𝑥 + 1 2
b) 2𝑥 + 1 +
3
𝑥 + 1 2 
c) 1
𝑥 + 1 +
3
𝑥 + 1 2
d) 3
𝑥 + 1 +
2
𝑥 + 1 2
 
e) 1
𝑥 + 1 +
2
𝑥 + 1 2
3. Ao decompor o quociente 𝑧 + 1
𝑧2(𝑧 − 1)
 encontraremos
a) 2
𝑧 +
−1
𝑧2 +
−2
𝑧 − 1
b) −2𝑧 +
−1
𝑧2 +
2
𝑧 − 1
c) 
−2
𝑧 +
1
𝑧2 +
2
𝑧 − 1
d) −2
𝑧 +
−1
𝑧2 +
−2
𝑧 − 1
e) 2
𝑧 +
−1
𝑧2 +
2
𝑧 − 1
4. Ao decompor o quociente 
𝑧 + 1
𝑧2(𝑧 − 1) encontraremos
a) 1 +
−17
𝑡 − 3 +
−12
𝑡 − 2
b) 1 +
17
𝑡 − 3 +
12
𝑡 − 2
59
c) 1 + −17𝑡 − 3 +
12
𝑡 − 2
d) 1 + −12𝑡 − 3 +
17
𝑡 − 2
e) 1 + 17𝑡 − 3 +
−12
𝑡 − 2
5. Ao calcular a integral � 𝑥𝑥 − 6 𝑑𝑥
�
�
a) 𝑥 + 6 𝑙𝑛 𝑥 − 6 + 𝑐
b) 𝑥 − 6 𝑙𝑛 𝑥 + 6 + 𝑐
c) 𝑥 − 6 𝑙𝑛 𝑥 − 6 + 𝑐
d) 𝑥 + 6 𝑙𝑛 𝑥 + 6 + 𝑐
e) 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥 − 6 + 𝑐
6. Ao calcular a integral ∫ 𝑥−9(𝑥+5)(𝑥−2) 𝑑𝑥
�
�
a) − 2 𝑙𝑛 𝑥 + 5 − 𝑙𝑛 𝑥 − 2 + 𝑐
b) 2 𝑙𝑛 𝑥 + 5 + 𝑙𝑛 𝑥 − 2 + 𝑐
c) 2 𝑙𝑛 𝑥 + 5 − 𝑙𝑛 𝑥 − 2 + 𝑐
d) −2 𝑙𝑛 𝑥 + 5 + 𝑙𝑛 𝑥 − 2 + 𝑐
e) 𝑙𝑛 𝑥 + 5 − 𝑙𝑛 𝑥 − 2 + 𝑐
7. Ao calcular a integral �
𝑎𝑥
𝑥2 − 𝑏𝑥 𝑑𝑥
�
�
a) 𝑎 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑏 + 𝑐
b) 𝑎 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑏 + 𝑐
c) 𝑎 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑏 + 𝑐
d) 𝑎 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑏 + 𝑐
e) 𝑎 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑏 + 𝑐
8. Ao calcular a integral �
𝑥3 − 2𝑥2 − 4
𝑥3 − 2𝑥2 𝑑𝑥
4
3
60
a) 𝑙𝑛
2
3
b) 
7
6 − 𝑙𝑛
2
3
c) −
7
6 + 𝑙𝑛
2
3
d) 76 + 𝑙𝑛
2
3
e) − 76 − 𝑙𝑛
2
3
61
INTEGRAÇÃO POR 
SUBSTITUIÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
62
 Nesta unidade, iremos tratar da resolução de integrais específicas que apresentam 
dentro do integrando, expressões bem características que necessitam do auxílio de 
funções trigonométricas para simplificá-las e resolvê-las.
• Integrais envolvendo a expressão 𝒂𝟐 − 𝒙𝟐� com a>0
 Devemos observar que a expressão 𝒂𝟐 − 𝒙𝟐
�
 só faz sentido se tivermos o valor de 
𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 > 𝟎 , ou seja, −𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂 . Para resolver a integral com essa expressão, temos que 
eliminar a raiz do integrando utilizando
𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑚 − 𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 2�
 Assim, 
𝑎2 − 𝑥2� = 𝑎2 − 𝑎2𝑠𝑒𝑛2𝜃� = 𝑎2(1− 𝑠𝑒𝑛2𝜃)�
= 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜃� = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃
 Após as substituições realizadas, a integração em termos de θ é efetuada para 
encontramos a sua primitiva também em termos de θ. Em seguida voltamos o resultado 
encontrado para a variável x fazendo 𝜃 = arccos 𝑥𝑎 . .
 Para facilitar as substituiçõesevitando memorizações, apresentaremos um 
esquema por meio de triângulo retângulo que auxiliará a encontrar os termos necessários 
para a transformação da integral.
TERMOS NECESSÁRIOS PARA CÁLCULO A INTEGRAL COM 𝒂𝟐 − 𝒙𝟐
�
 Exemplos:
a)
6.1 INTEGRAIS ENVOLVENDO AS EXPRESSÕES 
𝑎2 − 𝑥2� , 𝑎2 + 𝑥2� , 𝑥2 − 𝑎2�
63
b)
64
c) Cálculo da integral definida
 
• Integrais envolvendo a expressão 𝒂𝟐 + 𝒙𝟐� com a>0
 Devemos observar que a expressão 𝒂
𝟐 + 𝒙𝟐� só faz sentido se tivermos o valor de 
𝒂𝟐 + 𝒙𝟐 > 𝟎 , ou seja, −𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂 . Para resolver a integral com essa expressão, temos que 
eliminar a raiz do integrando utilizando
𝑥 = 𝑎 𝑡𝑔 𝜃 𝑐𝑜𝑚 − 𝜋 2� ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2�
 Assim, 
𝑎2 + 𝑥2� = 𝑎2 + 𝑎2𝑡𝑔2𝜃� = 𝑎2𝑠𝑒𝑐2𝜃�
𝑎 sec 𝜃 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐𝜃
 Para facilitar as substituições evitando memorizações, apresentaremos um 
esquema por meio de triângulo retângulo que auxiliará a encontrar os termos necessários 
para a transformação da integral.
TERMOS NECESSÁRIOS PARA CÁLCULO A INTEGRAL COM √(a^2+x^2 )
 
Exemplos:
a)
 
 
 
 
65
b)
66
• Integrais envolvendo a expressão 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐� com a>0
 Devemos observar que a expressão 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐
�
 só faz sentido se tivermos o valor 
de 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 > 𝟎 , ou seja, 𝒙 ≤ −𝒂 ou 𝒙 ≥ 𝒂. Para resolver a integral com essa expressão, 
temos que eliminar a raiz do integrando utilizando
𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝜃 
 Assim, 
𝑥2 − 𝑎2� = 𝑎2𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 𝑎2� = 𝑎2(𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1)�
= 𝑎2𝑡𝑔2𝜃� = 𝑎 𝑡𝑔𝜃 = 𝑎 𝑡𝑔𝜃
Para estabelecer uma restrição sobre a variação de θ , convém observar que sec 𝜃 =
𝑥
𝑎
 
de modo que se 𝒙 ≤ −𝒂 temos sec 𝜃 ≤ −1 e se 𝒙 ≥ 𝒂 temos sec 𝜃 ≥ 1. Logo,
𝜋 ≤ 𝜃 <
3𝜋
2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −𝑎
0 ≤ 𝜃 <
𝜋
2 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 𝑎
 Para facilitar as substituições evitando memorizações, apresentaremos um esquema 
por meio de triângulo retângulo que auxiliará a encontrar os termos necessários para a 
transformação da integral.
TERMOS NECESSÁRIOS PARA CÁLCULO A INTEGRAL COM 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐
�
 
 
67
 Exemplos:
a)
68
b)
69
FIQUE ATENTO
Para se inteirar mais sobre o cálculo de integrais pelo método de substituição 
trigonométrica assista a aula do Prof. Onezimo Cardos. Disponível no link: ht-
tps://bit.ly/3l6XeaW
BUSQUE POR MAIS
70
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Ao calcular a integral �
𝑥3
1− 𝑥2�
 𝑑𝑥
�
�
encontramos
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
1
3 1− 𝑥
2
3
2 − 1 − 𝑥2� +c
1
3 1 + 𝑥
2
3
2 − 1 − 𝑥2� + 𝑐
1
3 1− 𝑥
2
3
2 − 1 + 𝑥2� + 𝑐
2. Ao calcular a integral � 1
𝑥2 4− 𝑥2�
 𝑑𝑥
�
�
 encontramos
a)
b)
c)
d)
e)
3. Ao calcular a integral � 𝑥
2
1− 𝑥2�
 𝑑𝑥
�
�
 encontramos
a)
b)
c)
d)
e)
4. Ao calcular a integral � 1
𝑥2 𝑎2 + 𝑥2�
 𝑑𝑥
�
�
 encontramos
a)
b)
c)
d)
71
e)
5. Ao calcular a integral � 𝑥
3
𝑎2 + 𝑥2�
 𝑑𝑥
�
�
 encontramos
a)
b)
c)
d)
e)
𝑎2 + 𝑥2� 𝑥2 − 2𝑎2 + 𝑐
− 13 𝑎
2 + 𝑥2� 𝑥2 − 2𝑎2 + 𝑐
1
3 𝑎
2 + 𝑥2� 𝑥2 + 2𝑎2 + 𝑐
1
3 𝑎
2 + 𝑥2� 𝑥2 − 2𝑎2 + 𝑐
1
3 𝑥
2 − 2𝑎2 + 𝑐
6. Ao calcular a integral �
1
𝑎2 + 𝑥2�
 𝑑𝑥
�
�
 encontramos
a)
b)
c)
d)
e)
𝑙𝑛 𝑥 − 𝑎2 + 𝑥2� + 𝑐
−𝑙𝑛 𝑥 + 𝑎2 + 𝑥2� + 𝑐
𝑙𝑛 𝑎2 + 𝑥2� + 𝑐
𝑙𝑛 𝑥 + 𝑎2 + 𝑥2� + 𝑐
𝑙𝑛 𝑥 + 𝑎2 − 𝑥2� + 𝑐
7. Ao calcular a integral � 𝑥2− 𝑎2� 𝑑𝑥
�
�
 encontramos
a)
b)
c)
d)
e)
−𝑥2 𝑥
2 − 𝑎2� − 𝑎
2
2 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥
2 − 𝑎2� + 𝑐
− 𝑥2 𝑥
2 − 𝑎2� + 𝑎
2
2 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥
2 − 𝑎2� + 𝑐
𝑥
2 𝑥
2 − 𝑎2� − 𝑎
2
2 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥
2 − 𝑎2� + 𝑐
𝑥
2 𝑥
2 − 𝑎2� + 𝑎
2
2 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥
2 − 𝑎2� + 𝑐
𝑥2 − 𝑎2� − 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥2 − 𝑎2� + 𝑐
8. Ao calcular a integral �
1
𝑥2 − 𝑎2�
 𝑑𝑥
�
�
encontramos
a) 
b)
c)
d)
e)
𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥2 − 𝑎2� + 𝑐
−𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥2 − 𝑎2� + 𝑐
𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥2 + 𝑎2� + 𝑐
𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥2 − 𝑎2� + 𝑐
𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥2 + 𝑎2� + 𝑐
72
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO
UNIDADE 1
UNIDADE 3
UNIDADE 5
UNIDADE 2
UNIDADE 4
UNIDADE 6
QUESTÃO 1 D
QUESTÃO 2 D
QUESTÃO 3 A
QUESTÃO 4 D
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 B
QUESTÃO 7 E
QUESTÃO 8 D
QUESTÃO 1 D
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 A
QUESTÃO 4 E
QUESTÃO 5 B
QUESTÃO 6 C
QUESTÃO 7 A
QUESTÃO 8 D
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 C
QUESTÃO 7 E
QUESTÃO 8 D
QUESTÃO 1 E
QUESTÃO 2 A
QUESTÃO 3 B
QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 D
QUESTÃO 7 B
QUESTÃO 8 C
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 C
QUESTÃO 3 B
QUESTÃO 4 E
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 C
QUESTÃO 7 E
QUESTÃO 8 D
QUESTÃO 1 B
QUESTÃO 2 A
QUESTÃO 3 E
QUESTÃO 4 A
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 D
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 A
73
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Tradução de Claus Ivo Doering. 8. ed. Porto 
Alegre: Bookman, v. I, 2007. 
BONAFINI, F. C. Matemática. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012. 
BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo: Pearson Makron Books, v. 1, 1999. 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, v. I, 1994. 
PENNEY, D. E.; EDWARDS JR., C. H. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução de Alfredo 
Alves de Farias. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 1997. 
ROGAWSKI, J. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. 
SALAS, S. L.; ETGEN, G. J.; HILLE, E. Cálculo. Tradução de Alessandra Bosquilha. 9. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, v. I, 2005. 
SILVA, S. M. Matemática básica para cursos superiores. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2018. 
STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, v. I, 2013. 
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo. Tradução de Carlos Scalic. 2. ed. São Paulo: 
Addison Wesley, v. I, 2009.
74
ANEXOS
ANEXO A – TABELA DE INTEGRAÇÃO
75
76
77
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