Resumo Coeficientes Indeterminados - Vitória Rodrigues

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Resumo “Coeficientes Indeterminados”
Para resolver uma equação diferencial linear não-homogênea, é preciso fazer duas
coisas: a 1ª é determinar a função complementar yc e a 2ª é determinar uma solução
particular yp.
A função complementar ycé a solução geral de uma equação diferencial homogênea
associada à equação diferencial linear não-homogênea.
O método dos coeficientes indeterminados é uma das formas utilizadas para obter
uma solução particular yp.
Logo, a solução geral de uma equação diferencial linear não-homogênea é:
.𝑦 = 𝑦
𝑐
+ 𝑦
𝑝
A ideia fundamental do método dos coeficientes indeterminados consiste em um
palpite embasado, sobre a forma de yp motivada pelos tipos de funções que
constituem a função de entrada .𝑔(𝑥)
O método geral é limitado às EDs lineares não-homogêneas onde:
➔ Os coeficientes são constantes.𝑎
𝑖
, 𝑖 = 0, 1, ..., 𝑛
➔ é uma constante.𝑔(𝑥)
➔ é uma função exponencial .𝑔(𝑥) 𝑒𝑎𝑥
➔ é uma função polinomial .𝑔(𝑥) 𝑥𝑛
➔ é uma função trigonométrica ou .𝑔(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
Exemplos de funções que são apropriadas para esse método:𝑔(𝑥)
➔ 𝑔(𝑥) = 10
➔ 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥
➔ 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 − 5𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥
Para resolver esse tipo de EDO, pode-se seguir três etapas:
1. Resolver a equação diferencial não-homogênea como se fosse homogênea
para obter yc.
2. Encontrar a solução particular yp.
3. Encontrar a solução geral para a EDO não-homogênea, somando .𝑦
𝑐
+ 𝑦
𝑝
Exemplo:
𝑦'' + 4𝑦' − 2𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6
1. Resolver a equação diferencial não-homogênea como se fosse homogênea
para obter yc.
𝑦'' + 4𝑦' − 2𝑦 = 0
𝑟2 + 4𝑟 − 2 = 0
𝑟1 = − 2 − 6
𝑟2 = − 2 + 6
Função complementar:
𝑦
𝑐
 = 𝑐
1
𝑒−(2+ 6)𝑥 + 𝑐
2
𝑒(−2+ 6)𝑥
2. Encontrar a solução particular yp.
Como é um polinômio quadrado, consideramos uma solução particular𝑔(𝑥)
que também esteja nessa forma:
𝑦
𝑝
= 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶
Substituindo yp e as derivadas e na equação dada,𝑦𝑝' = 2𝐴𝑥 + 𝐵 𝑦𝑝'' = 2𝐴
obtemos:
𝑦
𝑝
'' + 4𝑦
𝑝
' − 2𝑦
𝑝
= 2𝐴 + 8𝐴𝑥 + 4𝐵 − 2𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 − 2𝐶 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6
Como a última equação é considerada como sendo uma identidade, os
coeficientes de potência semelhantes de têm que ser iguais:𝑥 
− 2𝐴 = 2, 8𝐴 − 2𝐵 = − 3, 2𝐴 + 4𝐵 − 2𝐶 = 6
Resolver esse sistema de equações, resulta nos valores
𝐴 = − 1, 𝐵 = − 52 , 𝐶 = − 9
Assim, uma solução particular é:
𝑦
𝑝
=− 𝑥2 − 52 𝑥 − 9
3. Encontrar a solução geral para a EDO não-homogênea, somando yc+ yp.
Logo, a solução geral para a EDO não-homogênea é:
 𝑦
𝑐
+ 𝑦
𝑝
 = 𝑐
1
𝑒−(2+ 6)𝑥 + 𝑐
2
𝑒(−2+ 6)𝑥 − 𝑥2 − 52 𝑥 − 9
Falha no método:
𝑦'' − 5𝑦' + 4𝑦 = 8𝑒𝑥
Sempre que consideramos uma solução particular, é preciso ficar atento se a
sugestão já está presente em yc. Por exemplo, para , supomos uma solução8𝑒
𝑥
particular na forma . Para a equação dada, a função complementar é𝑦
𝑝
= 𝐴𝑒𝑥
. Observe que a sugestão já está presente em yc. Isto significa𝑦𝑐 = 𝑐1𝑒
𝑥 + 𝑐
2
𝑒4𝑥 𝐴𝑒𝑥
que é uma solução da equação diferencial homogênea associada, e que um𝑒𝑥
múltiplo constante quando substituído na equação diferencial necessariamente𝐴𝑒𝑥
produz zero.
Para isso, é possível multiplicá-la por até que ela fique diferente do termo que𝑥
aparece em yc.
𝑦
𝑝
 = 𝐴𝑥𝑒𝑥
Substituindo e na equação diferencial e𝑦
𝑝
' = 𝐴𝑥𝑒𝑥 + 𝐴𝑒𝑥 𝑦
𝑝
'' = 𝐴𝑥𝑒𝑥 + 2𝐴𝑒𝑥
simplificar, obtemos:
𝑦
𝑝
'' − 5𝑦
𝑝
' + 4𝑦
𝑝
=− 3𝐴𝑒𝑥 = 8𝑒𝑥
A partir da última igualdade, observa-se que o valor de . Logo, uma𝐴 = − 83
solução particular da equação dada é .𝑦
𝑝
= − 83 𝑥𝑒
𝑥
 𝑦
𝑐
 + 𝑦
𝑝
 = 𝑐
1
𝑒𝑥 + 𝑐
2
𝑒4𝑥 − 83 𝑥𝑒
𝑥