3. (2,0 pontos) Encontre a solução geral y(x), onde y1(x) = x e y2(x) = e^x são soluções da equação homogênea y'' - y' - 2y = 0. a) Usando o método...

a) Usando o método dos Coeficientes Indeterminados: Para encontrar a solução particular da equação não homogênea, devemos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea correspondente. Como y1(x) = x e y2(x) = e^x são soluções da equação homogênea y'' - y' - 2y = 0, podemos escrever a solução geral como: y(x) = c1*x + c2*e^x Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea y'' - y' - 2y = 2x + 1. Como o termo não homogêneo é uma combinação linear de polinômios de grau 1, assumimos que a solução particular também é um polinômio de grau 1, ou seja, y_p(x) = ax + b. Substituindo na equação não homogênea, temos: 2a + (2b - a)x - b = 2x + 1 Igualando os coeficientes de x e o termo constante, obtemos o sistema de equações: 2b - a = 2 -b = 1 Resolvendo o sistema, encontramos a = -3 e b = -1. Portanto, a solução particular é: y_p(x) = -3x - 1 Assim, a solução geral da equação não homogênea é: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1*x + c2*e^x - 3x - 1 b) Usando o Método de Variação dos Parâmetros: Para usar o Método de Variação dos Parâmetros, devemos encontrar duas soluções linearmente independentes da equação homogênea y'' - y' - 2y = 0. Como já sabemos que y1(x) = x e y2(x) = e^x são soluções, podemos usá-las diretamente. Então, assumimos que a solução particular tem a forma: y_p(x) = u1(x)*x + u2(x)*e^x Substituindo na equação não homogênea, temos: u1''(x)*x + u2''(x)*e^x = 2x + 1 Para encontrar u1(x) e u2(x), devemos resolver o sistema de equações: u1''(x) + u2''(x)*e^x = 0 u1''(x)*x + u2''(x)*e^x = 2x + 1 A primeira equação nos dá u1(x) = c1 + c2*x, onde c1 e c2 são constantes a serem determinadas. Substituindo em u2''(x)*e^x = -u1''(x), obtemos: u2''(x) - u2'(x) = -2c2 Resolvendo essa equação diferencial, encontramos u2(x) = c3*e^x + c4*e^{-x}, onde c3 e c4 são constantes a serem determinadas. Portanto, a solução particular é: y_p(x) = (c1 + c2*x)*x + (c3*e^x + c4*e^{-x})*e^x A solução geral da equação não homogênea é: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1*x + c2*e^x + (c1 + c2*x)*x + (c3*e^x + c4*e^{-x})*e^x Simplificando, temos: y(x) = (c1 + c2*x)*x + (c3 + c4*x)*e^x