MODELAGEM MATEMÁTICA - 4

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Livro Didático Digital
Modelagem 
Matemática
Diretor Executivo 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Gerente Editorial 
ALESSANDRA VANESSA FERREIRA DOS SANTOS
Projeto Gráfico 
TIAGO DA ROCHA
Autoria 
GLAUCO ANTÔNIO DO NASCIMENTO
RAFAELA RODRIGUES OLIVEIRA AMARO
AUTORIA
Glauco Antônio do Nascimento
Olá. Meu nome é Glauco Antônio do Nascimento. Sou formado 
em Gestão de Negócios e em Licenciatura em Matemática. Possuo MBA 
em Gestão Empresarial e experiência técnico-profissional na área de 
Tecnologia da Informação (TI) há mais de 29 anos. Na área da educação, 
atuei por seis anos como professor no ensino fundamental, médio, técnico 
e superior (graduação e pós-graduação) de grandes universidades. Como 
sou apaixonado pelo que faço e adoro transmitir minha experiência 
de vida àqueles que estão iniciando em suas profissões e estudos, fui 
convidado pela Editora Telesapiens a integrar seu elenco de autores 
independentes. Estou muito feliz em ajudá-lo nesta fase de muito estudo 
e trabalho. Conte comigo!
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Olá. Meu nome é Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro. Sou formada 
em Matemática, especialista em Metodologia do Ensino de Matemática 
e pós-graduada em Design Educacional. Possuo uma ampla experiência 
no âmbito da educação, em sala de aula e na elaboração de material 
didático para diferentes níveis de ensino da Matemática. Apaixonada por 
esta disciplina e pelo processo de sua transmissão, busco a elaboração 
de um material de fácil compreensão. Por isso, fui convidada pela Editora 
Telesapiens a integrar seu elenco de autores independentes. Estou muito 
feliz em poder auxiliá-lo nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte 
comigo!
ICONOGRÁFICOS
Olá. Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez 
que:
OBJETIVO:
para o início do 
desenvolvimento 
de uma nova 
competência;
DEFINIÇÃO:
houver necessidade 
de apresentar um 
novo conceito;
NOTA:
quando necessárias 
observações ou 
complementações 
para o seu 
conhecimento;
IMPORTANTE:
as observações 
escritas tiveram que 
ser priorizadas para 
você;
EXPLICANDO 
MELHOR: 
algo precisa ser 
melhor explicado ou 
detalhado;
VOCÊ SABIA?
curiosidades e 
indagações lúdicas 
sobre o tema em 
estudo, se forem 
necessárias;
SAIBA MAIS: 
textos, referências 
bibliográficas 
e links para 
aprofundamento do 
seu conhecimento;
REFLITA:
se houver a 
necessidade de 
chamar a atenção 
sobre algo a ser 
refletido ou discutido;
ACESSE: 
se for preciso acessar 
um ou mais sites 
para fazer download, 
assistir vídeos, ler 
textos, ouvir podcast;
RESUMINDO:
quando for preciso 
fazer um resumo 
acumulativo das 
últimas abordagens;
ATIVIDADES: 
quando alguma 
atividade de 
autoaprendizagem 
for aplicada;
TESTANDO:
quando uma 
competência for 
concluída e questões 
forem explicadas;
SUMÁRIO
Conhecendo os Sistemas de Numeração ......................................... 12
Sistema de Numeração Decimal ......................................................................................... 14
Sistema de Numeração Binário ............................................................................................ 14
Conversão de Decimal para Binário ............................................................... 15
Conversão de Binário para Decimal ............................................................... 17
Conhecendo a Álgebra Booleana ........................................................ 19
Circuitos Lógicos ............................................................................................................................ 20
Portas Lógicas com o Operador OU ............................................................. 20
Portas Lógicas com o Operador E ................................................................... 21
Conectivos Lógicos ......................................................................................................................23
Conjunção ........................................................................................................................24
Disjunção ..........................................................................................................................25
Condicional .......................................................................................................................25
Bicondicional ..................................................................................................................26
Negação ............................................................................................................................27
Reconhecendo a Teoria de Conjuntos................................................29
Operações entre Conjuntos ................................................................................................... 31
União .................................................................................................................................... 31
Intersecção ......................................................................................................................32
Diferença ...........................................................................................................................33
Complementação .......................................................................................................34
Aprendendo Análise Combinatória ....................................................38
Princípio Fundamental da Contagem.............................................................................. 38
Permutação ......................................................................................................................................... 41
Arranjo ....................................................................................................................................................43
Combinação .......................................................................................................................................45
9
UNIDADE
04
Modelagem Matemática
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INTRODUÇÃO
Você sabia que a álgebra booleana está intimamente relacionada à 
programação de computadores e de circuitos lógicos, compreendendo 
um ramo de alto crescimento? Ainda nesse contexto tecnológico, 
encontramos a teoria de conjuntos e a análise combinatória, que estuda 
as possibilidades de ocorrência de determinado acontecimento, a fim de 
propiciar uma visão mais ampla acerca do evento. Ao longo desta unidade 
letiva, você continuará mergulhando no universo desafiador e instigante 
da matemática!
Modelagem Matemática
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OBJETIVOS
Olá. Seja muito bem-vindo à Unidade 4 Nosso propósito é auxiliar 
você no desenvolvimento das seguintes objetivos de aprendizagem até o 
término desta etapa de estudos:
1.Apontar as bases de formação dos diversos sistemas de 
numeração e suas operações básicas.
2.Interpretar os operadores e operandos lógicos, aplicando-os nas 
operações simples e compostas segundo a tabela verdade, valendo-se 
de diversas situações da vida real.
3.Resolver problemas envolvendo a teoria dos conjuntos e as 
relações entre eles.
4.Reconhecer as técnicas de análise combinatória e solução de 
problemas envolvendo permutas, arranjos e combinações entre números. 
Então? Preparado para uma viagem sem volta rumo ao conhecimento? 
Ao trabalho! 
Modelagem Matemática
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Conhecendo os Sistemas de Numeração
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo, você terá entendido o que são 
e como funcionam os sistemas de numerações. Além 
disso, terá compreendido o sistema decimal e o binário, 
e a dinâmica de conversão entre eles. Motivado para 
desenvolver essas competências? Vamos lá. Avante!
A história dos números se atrela ao argumento de que a ciência é 
produto de toda humanidade, ou seja, não é de uma só civilização, mas 
de vários povos. No contexto da história da matemática, as civilizações 
antigas – suméria, egípcias, grega, chinesa, romana e maia –conseguiram 
chegar à abstração e elaborar os seus sistemas de numeração. É 
importante observar que civilizações muito diferentes se direcionaram 
para os mesmos caminhos e chegaram a resultados semelhantes. 
No início, grande parte dessas civilizações usava um sistema 
de numeração não posicional. Dessa forma, para a representação dos 
números, era necessária a repetição de símbolos idênticos, o que, 
consequentemente, gerava erros. Por isso, a evolução fez nascer o 
sistema posicional, uma vez que, por meio dele, foi possível realizar a 
representação de qualquer número utilizando uma pequena quantidade 
de símbolos. 
Um dos sistemas mais antigos, o dos sumérios, consistia em 
representar uma unidade simples por um pequeno cone; uma dezena por 
uma bolinha; sessenta unidades por um cone grande; o número 6000 (= 
60 x 100) por um cone perfurado; 3.600 (60x60=60²) por uma esfera; e o 
número 36.000 (60²x10) por uma esfera perfurada.
Depois, os sábios babilônicos, sucessores dos sumérios, inventaram 
um sistema de numeração em que existia uma correspondência entre a 
ordem do grupo e a ordem de sua representação. Ele foi um dos mais 
admiráveis da antiguidade, fundamentado na base sexagesimal e utilizava 
somente dois algarismos em sua composição.
Modelagem Matemática
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Por fim, os egípcios elaboraram uma escrita e um sistema de numeração 
chamado de numeração hieroglífica. Todos os hieróglifos egípcios que 
compunham esse sistema foram tirados da fauna e da flora do Nilo, e 
correspondiam a uma representação da civilização egípcia.
Os sistemas de numeração citados fazem parte da origem dos sistemas de 
numeração mais famosos e, consequentemente, dos que foram e ainda 
são mais utilizados atualmente. Eles estão indicados na figura a seguir:
 Figura 1 – Sistemas de numeração
 Fonte: Elaborado pelos autores.
É importante ressaltar que os sistemas de numeração mais 
utilizados são o decimal e o binário, por isso, receberão uma seção cada. 
Quanto aos outros, faremos uma breve descrição. Veja a seguir:
 • Octal – é um sistema de base oito, o qual contêm os algarismos: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Foi muito utilizado no mundo da computação 
como uma alternativa mais resumida do sistema binário na 
programação em linguagem de máquina.
 • Hexadecimal – é um sistema de base dezesseis e contém uma 
combinação de números e letras dada por: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 
A, B, C, D, E, F. Esse sistema é de extrema importância em sistemas 
digitais, tendo ampla aplicabilidade em projetos de hardwares e 
softwares digitais.
Modelagem Matemática
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Sistema de Numeração Decimal
O sistema de numeração decimal é um sistema de numeração de 
posição que utiliza a base dez, ou seja, utiliza os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7,8, e 9 para constituir seus números. Assim, a combinação de seus dez 
algarismos contabiliza unidades, dezenas, centenas, unidade de milhar, 
entre outros, sempre da direita para a esquerda. 
Nesse sistema, conforme a posição do número, é atribuído, a 
ele, um valor distinto. Em outras palavras, suponha o número 23: nele, 
o algarismo 3 indica três unidades; já no número 32, ele representa três 
dezenas e, no número 320, ele aponta para três centenas, ou seja, 300.
Assim, é possível decompor um número de acordo com a posição 
de seus algarismos e a sua relação com as potencias de dez. Por exemplo:
É importante enfatizar que, no sistema de numeração decimal, 
o algarismo zero possui diferentes significados de acordo com a sua 
posição. Quando posicionado à esquerda do número, não altera o seu 
valor representativo. Assim: 5; 05; ou 005 indicam a mesma unidade. Por 
outro lado, quando colocado à direita, indica multiplicações por potências 
de dez e os mesmos valores anteriores, quando inserida a mesma 
quantidade de zero, geram os números 50, 500 e 5000. 
Sistema de Numeração Binário
Diferentemente do sistema de numeração decimal, o binário 
trabalha com apenas dois algarismos em sua composição: zero e um. O 
sistema binário, ou base 2, é um sistema de numeração posicional em que 
todas as quantidades se representam com base em dois números. Isso se 
deve, pelo fato de que os computadores digitais utilizam internamente 
apenas dois níveis de tensão, o aceso ou o apagado.
Modelagem Matemática
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Esse sistema é a base para a álgebra booleana (de George Boole, 
um matemático inglês), que possibilita a realização de operações lógicas 
e aritméticas usando apenas o verdadeiro ou falso. Desse modo, toda a 
eletrônica digital e a computação estão calcadas nesse sistema binário 
e na lógica de Boole, que permite representar, por portas lógicas, os 
números, caracteres, além de realizar operações lógicas e aritméticas. 
Figura 2 – Sistema de numeração binário
Fonte: @pixabay.
Conversão de Decimal para Binário
Para transformar um número decimal em binário, realizamos 
sucessivas divisões desse valor por dois. Assim, o número binário é 
formado pelo quociente da última divisão seguido dos restos de todas 
as divisões, na sequência em que foram realizadas. A leitura para a 
composição desse número é feita de trás para frente.
Modelagem Matemática
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Para facilitar o seu entendimento, vamos resolver, juntos, alguns 
exemplos.
Exemplo:
a. (dez na base decimal equivale a quanto na base binária?)
Ao realizar a leitura dos restos da última divisão, que sempre devem 
resultar em um, para a primeira, chegamos à seguinte representação:
Ficou mais fácil, não é mesmo? Vamos praticar mais um pouco!
b. (vinte e três na base decimal equivale a quanto na base 
binária?)
Ao realizar a leitura dos restos da última divisão, que sempre 
devem resultar em um, para o resto da primeira, chegamos à seguinte 
representação:
Modelagem Matemática
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Conversão de Binário para Decimal
Para a conversão de binário para decimal, é preciso escrever cada 
número que o compõe multiplicado pela base do sistema, nesse caso, a 
base dois, elevada à posição que ocupa. A soma de cada multiplicação 
pelo valor da potência resulta no número representado. 
Para você compreender melhor, observe exemplos:
Exemplo: Converta os números binários para base decimal: 
a. 
Logo, 
b. 
Logo, 
c. 
Logo,
Agora que conhecemos os mais populares sistemas de numeração, 
observe, na tabela a seguir, uma comparação entre alguns números e a 
sua representação no sistema de numeração.:
Modelagem Matemática
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Tabela 1 – Tabela de conversão de bases
Fonte: High Tech, 2013.
RESUMINDO:
Gostou do que lhe apresentamos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos a certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
resumiremos tudo o que estudamos. Você deve ter 
aprendido.
Modelagem Matemática
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Conhecendo a Álgebra Booleana
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo, você será terá entendido como 
funciona a dinâmica da álgebra booleana e as concepções 
que permeiam esse conteúdo importantíssimo para a 
matemática e outras áreas do conhecimento. Vamos lá. 
Avante!
Em 1854, George Boole, um importante estudioso, iniciou o 
formalismo matemático que até hoje é utilizado para o tratamento 
sistemático da lógica: a chamada álgebra booleana. Ela pode ser definida 
por:
DEFINIÇÃO:
Álgebra booleana pode ser definida como um conjunto de 
operadores e um conjunto de axiomas que são assumidos 
verdadeiros, sem necessidade de prova.
A álgebra booleana pode ter duas classificações: verdadeiro ou 
falso. Uma tabela que descreva uma função booleana recebe o nome 
“tabela verdade” e, nela, são listadas todas as combinações de valores 
que as variáveis de entrada podem assumir e os valores correspondentes 
da função.
VOCÊ SABIA?
George Boole (1815 - 1864) foi um matemático e professor 
britânico de Matemática e de línguas, fundando sua própria 
escola privada. Em 1847, publicou o seu primeiro trabalho 
científico, o livro intitulado “The Mathematical Analysis of 
Logic”. 
Modelagem Matemática
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Circuitos LógicosOs sistemas digitais são formados por circuitos lógicos denominados 
“portas lógicas”. Quando utilizados de forma correta, podem implementar 
todas as expressões geradas pela álgebra de Boole. 
As portas lógicas são circuitos digitais com uma ou mais tensões de 
entrada. Eles podem ser construídos com diodos, transistores e resistores 
conectados de tal forma que o sinal de saída do circuito equivale ao 
resultado de uma função lógica básica (AND, OR, NOT). Os valores 
possíveis das tensões de entrada e de saída são somente dois e, por 
convenção, considera-se a tensão de alimentação como sinal lógico “1” e 
a tensão nula como sinal lógico “0”.
Figura 3 – Porta lógica
Fonte: Elaborado pelos autores.
Observe que, para cada porta lógica básica, serão apresentados 
um circuito elétrico equivalente e um circuito eletrônico capazes de 
implementar a função lógica. Além disso, apresentaremos a sua respectiva 
tabela verdade, a expressão lógica que define a função e a simbologia 
adequada para a sua representação. Os sinais de entrada das portas serão 
representados pelas letras A e B e o sinal de saída pela letra S. Lembre-se 
de que os sinais de entrada e de saída são tensões elétricas.
Portas Lógicas com o Operador OU
O símbolo da porta lógica nos possibilita um entendimento mais 
claro do operador (OU). Em outras palavras, em uma condição envolvida 
em determinado algoritmo ou em um fluxograma definido, teremos 
situações nas quais é necessário tomar decisões que nos proporão um 
Modelagem Matemática
21
resultado efetivo em função dos passos, sendo necessária uma disjunção. 
Visualizamos uma lógica que nos indica que a soma dos termos produz 
um resultado. Assim, podemos ter entradas aleatórias, mas com objetivo 
lógico, que nos produza termos com valores iguais a 0 ou 1 (de posse de 
qualquer um deles, chegaremos ao resultado).
 • Expressão lógica: S=A+B (lê-se A ou B)
 • Simbologia da porta OR:
Fonte: Elaborado pelos autores.
 • Tabela verdade da porta OR:
A B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Fonte: Elaborado pelos autores.
Assim, a porta lógica OR consiste em ser um circuito eletrônico que 
executa a função OR da álgebra de Boole.
Portas Lógicas com o Operador E
O símbolo de porta logica nos possibilita um entendimento bem 
claro do operador (E). Em outras palavras, em uma condição envolvida 
em um determinado algoritmo ou fluxograma definido, teremos situações 
nas quais é necessário tomar decisões que nos propiciarão um resultado 
efetivo em função dos passos, sendo necessária uma conjunção. 
Modelagem Matemática
22
Visualizamos uma lógica que nos indica que a soma dos termos produz 
um resultado:
 • Expressão lógica: S=A∙B (lê-se A e B)
 • Simbologia da porta END:
Fonte: Elaborado pelos autores.
 • Tabela verdade da porta END:
A B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Fonte: Elaborado pelos autores.
Dessa forma, é possível afirmar que a porta lógica AND é um circuito 
eletrônico que executa a função AND da álgebra de Boole.
Uma porta lógica pode demonstrar uma operação de 
complementação conhecida como “inversor” ou “negador”. Desse modo, 
a operação de complementação só pode ser realizada por uma variável 
sobre o resultado de uma subexpressão, produzindo, por sua vez, somente 
uma entrada e uma saída.
Modelagem Matemática
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Conectivos Lógicos 
Nos itens anteriores, entendemos como a forma lógica digital 
funciona. Agora, saberemos, intermediados por tabelas verdade, o que 
são e como funcionam os conectivos lógicos.
DEFINIÇÃO:
Conectivos lógicos são palavras utilizadas para conectar as 
proposições, formando novas sentenças objetivas..
Observe, na tabela a seguir, os principais conectivos lógicos.
Tabela 2 – Conectivos lógicos
Fonte: Elaborado pelos autores.
VOCÊ SABIA?
Cálculo proposicional é uma parte da lógica matemática a 
qual estuda a validade de argumentos por meio de uma 
linguagem própria: a linguagem proposicional.
Modelagem Matemática
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Nesse contexto, trabalharemos com proposições e as relações 
existentes entre elas por intermédio de conectivos. Mas, afinal, o que 
são proposições? Proposição é toda sentença declarativa que pode ser 
definida, unicamente, como verdadeira (V) ou falsa (F). Chama-se “valor 
lógico de uma proposição”, a verdade, se a proposição for verdadeira, e a 
falsidade, se proposição for falsa. Outro fato importante a ser ressaltado 
é o de que, quando uma proposição for simples, ela é indicada por letra 
minúscula. Já se for composta, sua indicação ocorre por letras maiúsculas.
São exemplos de proposições:
 • P: Paulo é cozinheiro e Maria é costureira. 
 • Q: Paulo é cozinheiro ou Maria é costureira
 • R: Se Paulo é cozinheiro então Maria é costureira
 • S: Paulo é cozinheiro se, e somente se Maria é costureira. 
Conjunção 
A conjunção é a responsável por realizar a ligação entre duas ou 
mais preposições simples por meio do uso do conectivo “e”, o qual, assim 
como já sabemos, em sua forma digital, é chamado de AND.
A tabela verdade da conjunção é dada por:
Tabela 3 – Conjunção entre duas proposições
P Q P ^ Q
V V V
V F F
F V F
F F F
Fonte: Elaborado pelos autores.
Modelagem Matemática
25
Pela interpretação da tabela, concluímos que uma conjunção será 
verdadeira, somente quando suas proposições também forem verdadeiras. 
Por outro lado, será falsa diante da incorrência dessa condição.
Disjunção 
A disjunção realiza a conexão entre duas ou mais preposições 
simples por intermédio do conectivo “ou”, que, assim como já sabemos, 
em sua forma digital, é chamado de OR.
A tabela verdade da disjunção é dada por:
Tabela 4 – Disjunção entre duas proposições
P Q
V V F
V F V
F V V
F F V
Fonte: Elaborado pelos autores.
É possível concluir que uma conjunção será falsa somente quando 
suas proposições forem verdadeiras e falsa na incorrência dessa condição.
Condicional
Uma condicional se atrela a uma decisão a ser tomada em função 
de parâmetros, ou seja, ela somente ocorrerá se tivermos a entrada 
pertinente. Basicamente, a ocorrência de uma proposição ocorre a partir 
da existência de outra. Em fluxograma, conseguimos observar essa 
situação a partir do símbolo de decisão, no qual temos uma resposta de 
sim ou não. 
Modelagem Matemática
26
A tabela verdade da condicional é dada por:
Tabela 5 – Condicional entre duas proposições
P Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Fonte: Elaborado pelos autores.
Assim, na condicional, a proposição será falsa quando a proposição 
antecedente for verdadeira e a consequente falsa.
Bicondicional 
A bicondicional representa a associação de duas condicionais 
simultaneamente, de uma proposição para outra e vice versa. Assim, ela 
só ocorrerá se existir uma entrada em que se atenda uma condição com 
mais de um parâmetro. 
A tabela verdade da disjunção é dada por:
Tabela 6 – Bicondicional entre duas proposições
P Q
V V F
V F V
F V V
F F V
Fonte: Elaborado pelos autores.
Assim, a bicondicional só é verdadeira quando ambas as proposições 
são verdadeiras ou falsas e é falsa na ausência dessas condições.
Modelagem Matemática
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Negação 
A negação consiste em alterar o valor lógico da proposição. Dessa 
forma, quando a proposição for verdadeira e negada, torna-se falsa ou 
vice-versa.
A tabela verdade da negação é dada por:
Tabela 7 – Negação entre duas proposições
P
V F
F V
Fonte: Elaborado pelos autores.
Agora, para entender melhor as definições apresentadas, analise a 
resolução de alguns exemplos.
Exemplo: Sejam as proposições p: O céu é azul e q: Mariana é atriz; 
traduza, para a linguagem simbólica, as proposições:
a. Mariana é feliz ou o céu é azul.
b. O céu é azul e Mariana é atriz.
c. Se o céu é azul então Mariana é atriz.
d. Não é verdade que o céu é azul.
e. Mariana é atriz se e somente se o céu é azul.
Para realizarmos essa reescrita, é necessário ter conhecimento 
sobre o significado de cada conectivo. Logo, a resposta será dada por:
Modelagem Matemática
28
RESUMINDO:Gostou do que lhe apresentamos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos a certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
resumiremos tudo o que estudamos. Você deve ter 
aprendido que portas lógicas são calcadas na álgebra 
booleana. Desse modo, compreendemos que AND 
corresponde ao conectivo “e” e OR ao conectivo “ou”. 
Além disso, conhecemos um dispositivo prático chamado 
de “tabela verdade” e como ele se constitui perante as 
propriedades de cada conectivo.
Modelagem Matemática
29
Reconhecendo a Teoria de Conjuntos
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo, você terá entendido a dinâmica 
dos conjuntos numéricos, as características dos mais 
conhecidos, bem como terá compreendido as operações 
válidas para eles. Motivado para desenvolver essas 
competências? Vamos lá. Avante!
A necessidade da contagem, associada à ideia de coleção, 
ocasionou a descoberta e o consequente aprimoramento dos conjuntos 
numéricos. Os mais utilizados, assim como seus principais atributos estão 
descritos na figura a seguir:
Figura 4 – Conjuntos numéricos
Fonte: Elaborado pelos autores.
A definição de conjunto é dada por:
Modelagem Matemática
30
DEFINIÇÃO:
Coleção de objetos apresentados ou caracterizados pela 
enumeração ou por alguma outra propriedade.
Cada um dos objetos ou itens que compõem um conjunto é 
chamado de elemento e é diferente dos outros, além de satisfazer as 
condições desse conjunto.
Por exemplo, podemos enumerar o conjunto dos números ímpares 
menores que cem ou das cidades que compõem o estado de Minas 
Gerais. Para isso, representaremos sempre um conjunto por uma letra 
maiúscula qualquer, que será o seu nome, e seus elementos com letras 
minúsculas, separados por vírgulas e colocados entre chaves. 
Já para representar que um elemento x pertence a um conjunto Z, 
escrevemos: x ∈ Z e lemos x pertence a Z. Já se x não for elemento de Z, 
escrevemos: x ∉ Z e lemos x não pertence a Z.
Outro método possível de representar um conjunto é por meio de 
uma figura geométrica na qual seus elementos são pontos no interior da 
figura. Essa representação é conhecida como diagrama de Venn. 
O Diagrama de Venn são círculos que possuem a propriedade de 
representar relações entre conjuntos numéricos com seus elementos
Um conjunto pode ser determinado de três maneiras distintas: por 
enumeração, por extensão ou por compreensão.
 • Enumeração – ocorre quando anunciamos todos os elementos de 
um conjunto, como o conjunto das vogais V = {a, e, i, o, u}.
 • Extensão – ocorre quando não são evidenciados todos os 
elementos de um conjunto, mas apenas são citados alguns, 
recorrendo às reticências para indicar os outros. Pode-se citar, 
ou não, o último elemento. Por exemplo: o conjunto dos números 
naturais menores que quinze: N = {0, 1, 2, 3, 4, ....., 14}.
Modelagem Matemática
31
 • Compreensão – conjunto formado quando citamos uma 
propriedade característica comum a todos os elementos, tendo 
uma notação própria. Se o conjunto B dos elementos x tem uma 
propriedade Q, indicamos pela notação: A = {x / x é Q}, em que 
se lê: conjunto B constituído dos elementos x, tal que x satisfaz 
à propriedade Q. Assim, se quisermos denotar o conjunto dos 
números quadrados perfeitos, o indicaremos por P = {x / x é um 
quadrado perfeito}.
Operações entre Conjuntos 
Agora, aprenderemos que os conjuntos também podem operar 
entre si. As operações básicas entre os conjuntos são: união, interseção, 
diferença e complementação.
União 
Dados dois conjuntos, A e B, chamamos “conjunto união” ou “reunião 
entre A e B”, o conjunto C dos elementos que pertencem ao conjunto A 
ou ao conjunto B.
É simbolizada a união de A com B por: . Outra propriedade 
interessante afirma que .
Vamos entender, na prática, a fundamentação desse conceito? 
Exemplo: Considere dois conjuntos definidos por A = {1, 2, 3, 4} e B = 
{5, 6, 7, 8}. Qual é o conjunto ?
Note que, para determinarmos o conjunto, é necessário agrupar os 
elementos do conjunto A e do conjunto B. Portanto, ele será dado por:
Modelagem Matemática
32
Já a sua representação no diagrama de Venn é:
Fonte: Elaborado pelos autores.
Intersecção 
Dados dois conjuntos, A e B, quaisquer, o conjunto interseção é o 
conjunto formado pelos elementos comuns de A e B. Em outras palavras, 
é o conjunto C, cujos elementos pertencem tanto ao conjunto A quanto 
ao conjunto B. 
Simbolizamos a interseção de A com B assim: C = A ∩ B; 
Exemplo: Considere dois conjuntos definidos por A = {1, 2, 3, 4} e B = 
{5, 6, 7, 8}. Qual é o conjunto 
Note que, para determinarmos o conjunto, é necessário agrupar os 
elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. Portanto, ele será dado 
por:
Modelagem Matemática
33
Já a sua representação no diagrama de Venn é:
Fonte: Elaborado pelos autores.
IMPORTANTE:
Dois conjuntos que têm interseção vazia, ou seja, nula, são 
chamados de conjuntos disjuntos. A sua representação 
matemática é dada por .
Diferença 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de conjunto diferença A – B, 
o conjunto C dos elementos de A que não pertencem a B. Da mesma forma, 
é chamado de conjunto diferença de B – A, o conjunto D dos elementos 
de B que não pertencem a A. Analogamente, podemos entender a 
diferença entre dois conjuntos da mesma maneira que a diferença entre 
dois números. Por exemplo, 7 – 3 = 4 pode ser compreendido da seguinte 
forma: de sete unidades, retiram-se três e restam quatro unidades. 
Modelagem Matemática
34
Em conjuntos, no exemplo A - B, de um conjunto A, retiram-se os 
elementos que também são de B, restando os elementos que pertencem 
apenas a A. 
Exemplo: Seja A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}, qual é o conjunto?
a. A – B. 
b. B – A.
Observe que a solução é dada por:
a. A – B = {1, 3, 5} (de A, foram retirados os elementos que também 
pertenciam a B).
b. B – A = {6, 8} (de B, foram retirados os elementos que também 
pertenciam a A).
Complementação 
Dados dois conjuntos A e B, com A diferente de B, chamamos 
conjunto complementar de A em relação a B, a diferença B – A. Em outras 
palavras, essa definição pode ser dada por: se um conjunto A está contido 
em um conjunto B, sabemos que todo elemento de A também é elemento 
de B. Entretanto, podem existir elementos em B que não estão em A.
 O conjunto formado por esses elementos é chamado “complementar 
de A em relação a B” e a sua representação é C B A.
Exemplo: Seja A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, qual é o 
conjunto?
a. A c B (A complementar B).
b. B c A (B complementar A).
Observe que a solução é dada por:
Modelagem Matemática
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É importante ressaltar que o conteúdo “conjuntos” é uma temática 
muito cobrada em provas, especialmente em concursos públicos. Por 
isso, solucionaremos mais alguns exemplos. Vamos lá?
Exemplo: Considere os conjuntos M = {1, 4, 6, 8, 10}, N = {4, 8, 16} e P 
= {6, 12, 18, 24, 30}. Determine:
a. M∪ N
b. M∪ N∪ P
c. N – M
d. M – P
e. M ∩ P
Para solucionar esse exercício, basta aplicarmos as concepções de 
cada simbologia. Observe:
a. M∪ N = {1, 4, 6, 8, 10, 16}
b. M∪ N∪ P = {1, 4, 6, 8, 10, 16, 18, 24, 30}
c. N – M = {16}
d. M – P = {1, 4, 8, 10}
e. M ∩ P = {6}
Exemplo: Considere que o conjunto R tem 14 elementos; já o 
conjunto S, 5 elementos. Sabe-se que a intersecção entre esses dois 
conjuntos, ou seja, R ∩ S, tem três elementos. Logo, quantos elementos 
compõem o conjunto A∪ B?
Querido(a) aluno(a), para solucionar essa questão, é necessário ter 
conhecimento acerca da relação entre a união de dois conjuntos, que é 
dada por:
Logo, identificando as informações fornecidas, sabemos que:
 • R = 14
 • S = 5
Modelagem Matemática
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 • R∩ S = 3
 • R U S = ?
Exemplo: Em um bairro, foram instaladas 84 lâmpadas para iluminar 
as ruas América e Brasil, que se cruzam. Sabe-se que, na rua América, 
foram colocadas 41 lâmpadas e, na rua Brasil, 50 lâmpadas. Nesse 
contexto, quantas lâmpadas foraminstaladas no cruzamento entre as 
ruas América e Brasil?
Inicialmente, vamos reconhecer as informações disponíveis no 
enunciado. Portanto, chamaremos de A, a quantidade de lâmpadas 
instaladas na Rua América, e de B, o conjunto das lâmpadas instaladas 
na rua Brasil. Logo:
 • A U B = 84
 • A = 41
 • B = 50
 • A∩ B = ?
Sabemos que a definição é:
Logo, substituindo os valores:
Modelagem Matemática
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RESUMINDO:
Gostou do que lhe apresentamos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos a certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
resumiremos tudo o que estudamos. Você deve ter 
aprendido que um conjunto corresponde a uma coleção 
que obedece a condição pré-estabelecida. Também 
compreendeu as operações com conjuntos, a união, a 
intersecção, a diferença e a complementação, sendo 
apresentadas as suas peculiaridades.
Modelagem Matemática
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Aprendendo Análise Combinatória 
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo, você terá entendido como 
funciona a dinâmica da análise combinatória. Assim, 
compreenderá os três tipos de agrupamentos: permutação, 
arranjo e combinação, acompanhados de sua definição 
e fórmula específica. Motivado(a) para desenvolver essas 
novas competências? Vamos lá. Avante!
A análise combinatória é um subtema pertencente à matemática 
e é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção, perante 
algumas condições, de grupos distintos formados por um número finito 
de elementos de um conjunto.
VOCÊ SABIA?
Famosos matemáticos, tais como o italiano Niccollo 
Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, e os 
franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal 
(1623-1662), dedicaram seus estudos para compreender e 
difundir conceitos relacionados à análise combinatória.
Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem constitui um dos fundamentos 
essenciais para a compreensão da análise combinatória. Sua definição é 
descrita por:
DEFINIÇÃO:
Conjunto de procedimentos que possibilita a construção, 
sob certas circunstâncias, de grupos diferentes formados 
por um número finito de elementos de um conjunto.
Assim se determinado acontecimento acontece em etapas 
independentes: a primeira etapa pode ocorrer de n1 maneiras diferentes; já 
a segunda, de n2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente. Portanto, 
Modelagem Matemática
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o número total de M maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por 
k etapas, é dado por:
Para compreender melhor essa definição, suponha que você queira 
comprar um sorvete e poderá escolher três sabores perante uma cartela 
que agrupa dois sabores diferentes. Assim, quantas são as possibilidades 
de montagem desse sorvete? 
Ora, observe que, para a primeira bola, temos 21 sabores; para a 
segunda também e, para a terceira bola, também 21 sabores. Lembre-se 
de que pode ser escolhido um sorvete com três sabores iguais, portanto:
Possibilidade de sabores = 21 x 21 x 21 = 9271 maneiras.
Agora, se for especificado que os sabores deverão ser distintos, isto 
é, diferentes, o valor anterior se altera, pois, para a primeira bola, há 21 
sabores; já para a segunda, existem 21 – 1 = 20 sabores (um já foi escolhido 
inicialmente). Por sua vez, para a terceira bola, há: 20 – 1 = 19 sabores. 
Logo, pelo princípio fundamental da contagem, sabemos que:
Possibilidade de sabores = 21 x 20 x 19 = 7980 maneiras.
Atente-se a essas informações nos exercícios, ou seja, se há, ou 
não, distinção para a situação proposta, uma vez que esse contexto altera 
toda a resolução do exercício.
Modelagem Matemática
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Outro ponto de destaque na dinâmica da análise combinatória 
consiste na utilização das conjunções E e OU. Sua diferenciação é 
fundamental para resolver os problemas propostos.
Figura 5 – Princípio fundamental da contagem e as conjunções E e OU
Fonte: Elaborado pelos autores.
Exemplo: Para montar um computador, uma fábrica tem disponíveis 
cinco diferentes tipos de monitores, sete opções de teclados e dois tipos 
de unidades de processamento. Quantos modelos de computadores 
podem ser montados a partir dessas opções?
Note que os dados do problema são:
 • Monitores = 5 opções.
 • Teclados = 7 opções.
 • Unidades de processamento = 2 opções.
Logo, a quantidade de modelos construídos é dada por:
5∙7∙2=70
Assim, concluímos que há 70 maneiras diferentes de montar um 
computador perante as condições estabelecidas.
Exemplo: Quantos números de três algarismos é possível formar 
utilizando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8, 7 e 9? 
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Observe que existem sete algarismos disponíveis para agruparmos 
três e formarmos o número desejado. Assim:
7∙7∙7=343
Logo, 343 números podem ser escritos a partir dos algarismos 
disponibilizados.
Permutação
 A concepção de permutação se associa ao princípio fundamental 
da contagem e, formalmente, é definido por:
DEFINIÇÃO:
É um tipo de agrupamento ordenado em que se participam 
todos os elementos do conjunto.
Matematicamente, representamos uma permutação de n elementos por:
Exemplo: Calcule o número de formas distintas de oito pessoas 
ocuparem os lugares de um banco retangular de oito lugares. 
O número de possibilidades é dado por fatorial de oito, logo:
No contexto da permutação, utilizamos muito a concepção de 
anagrama, que consiste no agrupamento formado pelas letras de uma 
palavra que pode ter, ou não, significado na linguagem comum. 
Exemplo: Calcule a quantidade de anagramas das palavras:
a. LUNAR.
b. CABELO.
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Atente-se ao fato de que a quantidade de anagramas de uma 
palavra equivale à permutação da quantidade de letras que a compõem. 
Portanto, a quantidade de anagramas será dada por, respectivamente:
Outro ponto a ser destacado é o de que poderão ocorrer repetições 
de letras em uma mesma palavra, assim como em outras situações 
pertinentes a temática de permutação. Para esses casos, utilizamos a 
seguinte formula:
Em que a, b e c representam a quantidade de vezes que cada uma 
das letras se repete.
Agora, vamos exercitar?
Exemplo: Calcule a quantidade de anagramas das palavras:
a. MARMELO.
b. CACHORRO.
Para determinar a quantidade de anagramas para cada um dos 
casos, é preciso identificar a quantidade de letras que compõem a palavra, 
quais letras se repetem e quantas vezes isso ocorre. Assim:
a. 
 anagramas (note que a letra M se repete 
duas vezes).
b. (note que as letras R, S e O se 
repetem duas vezes).
Exemplo: Quantos anagramas podemos criar com a palavra 
CAMINHO, que:
a. Começam com vogal?
b. Começam e terminam com consoante?
c. Começam com CAM?
Para determinarmos a solução, é necessário se atentar a cada uma 
das condições estabelecidas. Logo: 
Modelagem Matemática
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a. Se uma vogal é fixada, haverá seis letras a serem permutadas. 
Logo, a quantidade de anagramas será de .
b. Começar e terminar com uma consoante permitirá a permutação 
de cinco letras. Logo, .
c. Fixar a silaba CAM permite permutar o restante das letras, 
isto é,
Arranjo 
Um arranjo ocorre quando os agrupamentos constituídos ficam 
diferentes ao se inverter a posição dos seus elementos. Assim a ordem 
que os elementos ocupam dentro do grupo tem importância e a sua 
definição formal é dada por:
DEFINIÇÃO:
Dado n elementos tomados k a k, sendo k<n, o número de 
arranjos é calculado por:
Vamos praticar esse novo conceito importantíssimo na análise 
combinatória?
Exemplo: Solucione os arranjos a seguir:
Modelagem Matemática
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Note que, para determinar a solução dos arranjos propostos, é 
necessário conhecer a fórmula de arranjos e relembrar a simplificação 
entre fatoriais. 
Logo:
Exemplo: Quantos números de quatro algarismos podemos 
constituir com os algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
Observe que a posição dos algarismos altera a formação dos 
números. Desse modo, será necessário realizar o cálculo:
Logo:
Assim, é possível constituir 3024 números a partir dos algarismosdisponibilizados.
Exemplo: Uma avaliação é composta por trinta questões das quais 
o aluno pode escolher vinte e cinco para serem resolvidas. A primeira 
questão vale x pontos, a segunda x-1 pontos e assim sucessivamente. De 
quantas maneiras ele poderá escolher essas questões?
Note que a situação retrata um arranjo, uma vez que a ordem 
interfere no peso, ou seja, no valor associado a cada uma. Logo:
Modelagem Matemática
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Combinação 
Temos a ocorrência de uma combinação quando os agrupamentos 
encontrados permanecem iguais ao se inverter a posição dos seus 
elementos (a ordem em que os elementos ocupam no grupo não tem 
importância). Matematicamente, sua definição é:
DEFINIÇÃO:
Dado n elementos tomados k a k, sendo k<n, o número de 
combinações é calculado por:.
Vamos praticar esse novo conhecimento pertencente à análise 
combinatória?
Exemplo: Determine os valores referentes aos resultados das 
combinações seguir:
Note que, para determinar a solução dos arranjos propostos, é 
necessário conhecer a fórmula de arranjos e relembrar a simplificação 
entre fatoriais. Logo:
Exemplo: Uma vitamina é preparada com três frutas distintas. Se 
existem nove frutas disponíveis, quantas vitaminas diferentes podem ser 
preparadas?
Modelagem Matemática
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Ora, se temos que escolher, entre sete frutas, três, para se fazer 
uma vitamina, teremos:
Que é resolvido por:
Assim, concluímos que existem 84 opções para montar a vitamina 
de frutas.
Exemplo: Uma grande organização dispõe, em seu quadro de 
funcionários, cinco economistas e 10 administradores. De quantos modos 
podemos formar uma comissão formada por seis membros, sendo dois 
economistas e cinco administradores?
Para resolver esse problema e identificar o número de comissões, 
haveremos de calcular duas combinações: uma para determinar as 
possibilidades para os economistas e outra para os administradores. 
Logo, a resposta será dada por:
Agora, calculando-as:
Logo, existem 10 + 252 = 262 maneiras de se formar comissões com 
base no quadro de funcionários disponíveis na empresa.
RESUMINDO:
Gostou do que lhe apresentamos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos a certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
resumiremos tudo o que você estudou. Você deve ter 
aprendido.
Modelagem Matemática
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REFERÊNCIAS
ASCENCIO, A. F. G.; CAMPOS, E. A. V. C. Fundamentos da programação 
de computadores: algoritmos, pascal e C/C++. 2. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2007. 
FIGUEIREDO, L. M. Matemática discreta. 3. ed. Rio de Janeiro: Fundação 
Cecierj/Consórcio Cederj, 2005. v. 1.
FIGUEIREDO, L. M. Matemática discreta. 3. ed. Rio de Janeiro: Fundação 
Cecierj/Consórcio Cederj, 2005. v. 2.
FORBELLONE, A. L. V.; EBERSPACHER, H. F. Lógica de programação: a 
construção de algoritmos e estruturas de dados. 3. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2005
HIGH TECH. Sistemas de numeração: decimal, binário, octal e hexadecimal. 
Pplware, 3 jan. 2013. Disponível em: https://pplware.sapo.pt/high-tech/
sistemas-de-numerao-decimal-binrio-octal-e-hexadecimal/. Acesso em: 
21 ago. 2020.
MORGADO, A. C. de O. et al. Análise combinatória e probabilidade. Rio de 
Janeiro: SBM, 2001.
Modelagem Matemática
	Conhecendo os Sistemas de Numeração
	Sistema de Numeração Decimal
	Sistema de Numeração Binário
	Conversão de Decimal para Binário
	Conversão de Binário para Decimal
	Conhecendo a Álgebra Booleana
	Circuitos Lógicos
	Portas Lógicas com o Operador OU
	Portas Lógicas com o Operador E
	Conectivos Lógicos 
	Conjunção 
	Disjunção 
	Condicional
	Bicondicional 
	Negação 
	Reconhecendo a Teoria de Conjuntos
	Operações entre Conjuntos 
	União 
	Intersecção 
	Diferença 
	Complementação 
	Aprendendo Análise Combinatória 
	Princípio Fundamental da Contagem
	Permutação
	Arranjo 
	Combinação