AD2-Q4-2023-2-Gabarito

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Gabarito da Questão 4 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2023-2
Questão 4 (2,5 pontos) Determine o conjunto solução do sistema
x2 + 4y2 − 100 = 0
x2 − 2y2 + 6x− 40 = 0
Solução: Isolando y2 na primeira equação, temos
x2 + 4y2 − 100 = 0⇔ 4y2 = 100− x2 ⇔ y2 = 100− x
2
4
.
Substituindo y2 =
100− x2
4
na segunda equação, temos
x2 − 2y2 + 6x− 40 = 0⇔ x2 − 2 · 100− x
2
4
+ 6x− 40 = 0⇔ x2 − 100− x
2
2
+ 6x− 40 = 0,
que pode ser reescrita
2x2
2
−100− x
2
2
+
12x
2
−80
2
= 0⇔ 2x2−(100−x2)+12x−80 = 0⇔ 2x2−100+x2+12x−80 = 0⇔
⇔ 3x2 + 12x− 180 = 0⇔ x2 + 4x− 60 = 0.
Como solução desta equação, temos
x =
−4±
√
42 − 4 · 1 · (−60)
2 · 1
=
−4±
√
256
2
=
−4± 16
2
,
que nos dá
x =
−4− 16
2
= −10 ou x = −4 + 16
2
= 6.
Como y2 =
100− x2
4
, quando x = −10, temos
y2 =
100− (−10)2
4
=
100− 100
4
= 0,
logo y = 0. E, quando x = 6, temos
y2 =
100− 62
4
=
100− 36
4
=
64
4
= 16,
logo y = ±
√
16 e, portanto, y = −4 ou y = 4.
Assim, temos como conjunto solução
S = {(−10, 0), (6,−4), (6, 4)}.