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PROBLEMA DE DEMONSTRAÇÃO QUE ENVOLVE CONCEITOS DE NÚMEROS 
COMPLEXOS, FUNÇÕES EXPONENCIAIS COMPLEXAS E IDENTIDADES 
TRIGONOMÉTRICAS 
 
Material desenvolvido por Jenifer Oliveira 
Email: jenifer.09.oliveira@gmail.com 
 
PROBLEMA 
As funções exponenciais reais possuem diversas aplicações em contextos de 
realidade, como por exemplo, em problemas de crescimento populacional de seres vivos 
microscópicos e em problemas de desintegração de substâncias radioativas. A função 
exponencial natural, definida como f(x)= , com ​e ​sendo o número de Euler e ​x ​sendo e x 
qualquer número real, também pode ser utilizada em situações aplicáveis em áreas como a 
física, biologia e economia. No conjunto dos números complexos, as funções exponenciais 
também podem ser utilizadas na solução de problemas reais, tais como nos de eletrostática, 
fluxo de calor e gravitação. Apesar de preservar similaridades com a função real f(x), a 
função complexa g(z)= , com ​e ​sendo o número de Euler e ​z ​sendo qualquer número e z 
complexo, também preserva diferenças, como por exemplo admitir valores negativos para a 
imagem ​(sugestão: tente determinar exemplos em que isso ocorre)​. A função g(z) também 
pode ser definida como g(z)= = onde z é um número complexo e z ( cos (y) sen (y) ),e x + i 
da forma com e pertencentes aos números reais e sendo a unidade y,z = x + i x y i 
imaginária. Na solução de problemas, utilizar propriedades matemáticas pode 
facilitar/otimizar os cálculos. Desta forma, verifique se a igualdade = é válida e ne
 m e m − n 
quando e são números complexos. ​(Dica: use identidades trigonométricas). m n 
 
SOLUÇÃO 
Item I)​ Vamos determinar um exemplo em que a função exponencial complexa 
g(z)= = e z ( cos (y) sen (y) ),e x + i 
onde z é um número complexo da forma com e pertencentes aos números y,z = x + i x y 
reais e sendo a unidade imaginária, admite valor negativo para a imagem. i 
Se admitirmos z = , teremos: iπ 
● z = g ( ) = = 1 [ -1 + ​i ​. 0]= 1[-1] = -1. iπ → iπ eπi = [ cos (π) sen (π) ]e0 + i 
 
Item II) Verificar se a igualdade = é válida quando e são números e ne
 m e m − n m n 
complexos. ​(Dica: use identidades trigonométricas). 
 
Demonstração: 
Temos da definição de função exponencial complexa que 
, onde z pertence ao conjunto dos números complexos​, ​e z = x[ cos (y) i sen (y) ]e z = e x + 
+ ​i ​y, onde x,y pertencem ao conjunto dos números reais e ​i ​é a unidade imaginária. 
A mostrar que a igualdade = é válida quando m, n são números e n
e m e m−n 
complexos. 
Para isso, defina: m = a + ​i ​b, e n = c + ​i d ​, com a, b, c, d pertencentes ao conjunto 
dos números reais e ​i ​é a unidade imaginária. 
Assim, temos: 
= e n
e m
e c + i d
e a + i b 
 
Pela definição de função exponencial complexa, segue: 
 
= ⇒ e c + i d
e a + i b
e [ cos (d) + i sen (d) ] c 
e [ cos (b) + i sen (b) ]a 
 
A relação fundamental da trigonometria garante que , por (d) sen (d) 1cos 2 + 2 = 
isso: 
 
= . ​[ ]⇒ e [ cos (d) + i sen (d) ] c 
e [ cos (b) + i sen (b) ]a 
e [ cos (d) + i sen (d) ] c 
e [ cos (b) + i sen (b) ]a 
(d) (d)cos 2 + sen 2 
 
Note que ​[ ] pode ser reescrito como (d) (d)cos 2 + sen 2 
, por isso:cos (d) sen (d)].[cos (d) i sen (d)][ + i − 
 
.​[ ]=⇒ e [ cos (d) + i sen (d) ] c 
e [ cos (b) + i sen (b) ]a 
(d) (d)cos 2 + sen 2 
= .e [ cos (d) + i sen (d) ] c 
e [ cos (b) + i sen (b) ]a 
cos (d) sen (d)].[cos (d) i sen (d)][ + i − 
 
Note que é igual a 1, por isso:[cos (d) +i sen (d)]
[cos (d) +i sen (d)]
 
 
. = ⇒ e [ cos (d) + i sen (d) ] c 
e [ cos (b) + i sen (b) ]a 
cos (d) sen (d)].[cos (d) i sen (d)][ + i − 
= . e c 
e [ cos (b) + i sen (b) ]a 
cos (d) i sen (d)][ − 
 
Realizando a distributividade entre . , cos (b) i sen (b) ][ + cos (d) i sen (d)][ − 
temos: 
 
=. ⇒ e c 
e [ cos (b) + i sen (b) ]a cos (d) i sen (d)][ − 
[ cos (b) . cos (d) + sen (b). sen (d) + i (sen (b) . cos (d) - cos (b) . sen (d) ) ]= e ae c 
 
Note que pelo cosseno da diferença de dois arcos e pelo seno da diferença de dois 
arcos temos que cos (b - d)= [cos (b) . cos(d) + sen (b). sen (d)] e sen (b - d) = (sen (b) . 
cos(d) - cos (b) . sen (d) ) ] . Assim, segue: 
 
[ cos (b) . cos (d) + sen (b). sen (d) + i (sen (b) . cos (d) - cos (b) . sen (d) ) ] =⇒ e ae c 
[cos (b - d) + ​i ​sen (b - d) ]= e ae c 
 
Note que a propriedade = é válida quando a,c são números reais. Por isso: e ae c e
 a −c 
[cos (b - d) + ​i ​sen (b - d) ] = cos (b - d) + ​i ​sen (b - d) ]⇒ e ae c [e a − c 
Pela definição de função exponencial complexa temos que: 
 
⇒ e a − c cos (b d) i sen (b d) ] [ − + − = e ( a − c) + i ( b − d) 
 
Realizando a distributividade e lembrando que a comutatividade e ( b d)i − 
associatividade da adição é válida nos números complexos, segue: 
 
e ⇒ e ( a − c) + i ( b − d) = (a + i b) − ( c + i d) 
 
Lembrando que inicialmente definimos que m= a + ​i ​b e que n = c + ​i ​d, temos: 
 
.e e ⇒ (a + i b) − ( c + i d) = m − n 
 
Logo, das implicações acima, temos que a igualdade = é válida quandoe n
e m e m−n 
m, n são números complexos. 
 
REFERÊNCIA 
ZILL, D. G.; SHANAHAN, P. D. A first course in complex analysis with applications. 2003.