GL3

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5.1/5.2 Integral definida/Somas de Riemann
1. Escreva a soma de Riemann Rn para f(x) =
1
ex no intervalo [1, 4], tomando como pontos amostrais
as extremidades direitas de uma partição de n subintervalos (de comprimento igual)

a = 1, b = 4⇒ ∆x = b−an =
3
n
x∗i = xi = a+ i∆x = 1 +
3i
n
f(x) = 1ex = e
−x ⇒ f(xi) = e−1−
3i
n
⇒ Rn =
n∑
i=1
f(xi)∆x =
3
n
n∑
i=1
e−1−
3i
n
2. Escreva a soma de Riemann Rn para f(x) = e
−x no intervalo [−1, 2], tomando como pontos
amostrais as extremidades direitas de uma partição de n subintervalos (de comprimento igual)

a = −1, b = 2⇒ ∆x = b−an =
3
n
x∗i = xi = a+ i∆x = −1 + 3in
f(x) = e−x ⇒ f(xi) = e1−3
i
n
⇒ Rn =
n∑
i=1
f(xi)∆x =
3
n
n∑
i=1
e1−3
i
n
3. Escreva a soma de Riemann Rn para f(x) = e
3x no intervalo [−5,−4], tomando como pontos
amostrais as extremidades direitas de uma partição de n subintervalos (de comprimento igual)

a = −5, b = −4⇒ ∆x = b−an =
1
n
x∗i = xi = a+ i∆x = −5 + in
f(x) = e3x ⇒ f(xi) = e−15+3
i
n
⇒ Rn =
n∑
i=1
f(xi)∆x =
1
n
n∑
i=1
e−15+3
i
n
4. Escreva a soma de Riemann Rn para f(x) = e
x no intervalo [0, 3], tomando como pontos amostrais
as extremidades direitas de uma partição de n subintervalos (de comprimento igual)

a = 0, b = 3⇒ ∆x = b−an =
3
n
x∗i = xi = a+ i∆x =
3i
n
f(x) = ex ⇒ f(xi) = e
3i
n
⇒ Rn =
n∑
i=1
f(xi)∆x =
3
n
n∑
i=1
e
3i
n
5.2 Integral definida/Interpretação
1. Seja f(x) =
{
−x− 1, −3 ≤ x < 0
−
√
1− x2, 0 ≤ x < 1
.
Calcule a integral
∫ 1
−3 f(x)dx expressando-a como soma/diferença de áreas.
Esboçando (cf. figura) vemos que
∫ 1
−3 f(x)dx = A1 −A2 −A3 onde
A1 = (2)(2)/2 = 2 e
A2 = (1)(1)/2 = 1/2 são áreas de triângulos e
A3 = π(1
2)/4 é a área de um quarto de ćırculo de raio 1 e centro em (0, 0).
Conclusão: o resultado é 2− 1/2− π/4 = (6− π)/4.
Nota: Para A3 note que:
[y = −
√
1− x2 e 0 ≤ x < 1]⇒ [y < 0 e x2 + y2 = 1 e 0 ≤ x < 1],
descrevendo um arco de quarto de ćırculo abaixo do eixo x.
2. Seja f(x) =
{
−x− 1, −3 ≤ x < 0√
1− x2, 0 ≤ x < 1
.
Calcule a integral
∫ 1
−3 f(x)dx expressando-a como soma/diferença de áreas.
Esboçando (cf. figura) vemos que
∫ 1
−3 f(x)dx = A1 −A2 +A3 onde
A1 = (2)(2)/2 = 2 e
A2 = (1)(1)/2 = 1/2 são áreas de triângulos e
A3 = π(1
2)/4 é a área de um quarto de ćırculo de raio 1 e centro em (0, 0).
Conclusão: o resultado é 2− 1/2 + π/4 = (6 + π)/4.
Nota: Para A3 note que:
[y = +
√
1− x2 e 0 ≤ x < 1]⇒ [y > 0 e x >2 +y2 = 1 e 0 ≤ x < 1],
descrevendo um arco de quarto de ćırculo acima do eixo x.
3. Seja f(x) =
{
−x, −3 ≤ x < 0√
1− x2, 0 ≤ x < 1
.
Calcule a integral
∫ 1
−3 f(x)dx expressando-a como soma/diferença de áreas.
Esboçando (cf. figura) vemos que
∫ 1
−3 f(x)dx = A1 +A3 onde
A1 = (3)(3)/2 = 9/2 é a área de um triângulo e
A3 = π(1
2)/4 é a área de um quarto de ćırculo de raio 1 e centro em (0, 0).
Conclusão: o resultado é 9/2 + π/4 = (18 + π)/4.
Nota: Para A3 note que:
[y = +
√
1− x2 e 0 ≤ x < 1]⇒ [y > 0 e x >2 +y2 = 1 e 0 ≤ x < 1],
descrevendo um arco de quarto de ćırculo acima do eixo x.
4. Seja f(x) =
{
−x, −3 ≤ x < 0
−
√
1− x2, 0 ≤ x < 1
.
Calcule a integral
∫ 1
−3 f(x)dx expressando-a como soma/diferença de áreas.
Esboçando (cf. figura) vemos que
∫ 1
−3 f(x)dx = A1 −A3 onde
A1 = (3)(3)/2 = 9/2 é a área de um triângulo e
A3 = π(1
2)/4 é a área de um quarto de ćırculo de raio 1 e centro em (0, 0).
Conclusão: o resultado é 9/2− π/4 = (18− π)/4.
Nota: Para A3 note que:
[y = −
√
1− x2 e 0 ≤ x < 1]⇒ [y < 0 e x2 + y2 = 1 e 0 ≤ x < 1].
descrevendo um arco de quarto de ćırculo abaixo do eixo x.
5.3 Teorema Fundamental do Cálculo
1. Seja f uma função cont́ınua em R tal que para todo o número real x∫ 2x
5
f(t)dt = (x− 1)e2x +
∫ 3
2x
e−tf(t)dt.
Encontre uma fórmula expĺıcita para a função f .
Derivando cada lado com respeito a x com respeito a x
f(2x) · 2 = e2x + (x− 1)e2x · 2− e−2xf(2x) · 2 (TFC1 e regra da cadeia)
2f(2x)(1 + e−2x) = e2x(1 + 2(x− 1))
f(2x) =
e2x(2x− 1)
2(1 + e−2x)
Designando u = 2x, obtemos a expressão f(u) = e
u(u−1)
2(1+e−u) .
Retornando a variável x:
f(x) =
ex(x− 1)
2(1 + e−x)
.
2. Seja f uma função cont́ınua em R tal que para todo o número real x∫ 4
2x
f(t)dt = (x− 1)e2x +
∫ 2x
2
e−tf(t)dt.
Encontre uma fórmula expĺıcita para a função f .
Derivando cada lado com respeito a x com respeito a x
−f(2x) · 2 = e2x + (x− 1)e2x · 2 + e−2xf(2x) · 2 (TFC1 e regra da cadeia)
2f(2x)(−1− e−2x) = e2x(1 + 2(x− 1))
f(2x) = −e
2x(2x− 1)
2(1 + e−2x)
Designando u = 2x, obtemos a expressão f(u) = − e
u(u−1)
2(1+e−u) .
Retornando a variável x:
f(x) = − e
x(x− 1)
2(1 + e−x)
.
3. Seja f uma função cont́ınua em R tal que para todo o número real x∫ e
2x
f(t)dt = (2x− 1)ex +
∫ 2x
π
e−tf(t)dt.
Encontre uma fórmula expĺıcita para a função f .
Derivando cada lado com respeito a x com respeito a x
−f(2x) · 2 = 2ex + (2x− 1)ex + e−2xf(2x) · 2 (TFC1 e regra da cadeia)
2f(2x)(−1− e−2x) = ex(2 + 2x− 1))
f(2x) = − e
x(2x+ 1)
2(1 + e−2x)
Designando u = 2x, obtemos a expressão f(u) = − e
u
2 (u+1)
2(1+e−u) .
Retornando a variável x:
f(x) = − e
x
2 (x+ 1)
2(1 + e−x)
.
4. Seja f uma função cont́ınua em R tal que para todo o número real x∫ 2x
1
f(t)dt = (2x− 1)ex +
∫ 1
2x
e−tf(t)dt.
Encontre uma fórmula expĺıcita para a função f .
Derivando cada lado com respeito a x com respeito a x
f(2x) · 2 = 2ex + (2x− 1)ex − e−2xf(2x) · 2 (TFC1 e regra da cadeia)
2f(2x)(1 + e−2x) = ex(2 + 2x− 1)
f(2x) =
ex(2x+ 1)
2(1 + e−2x)
Designando u = 2x, obtemos a expressão f(u) = e
u
2 (u+1)
2(1+e−u) .
Retornando a variável x:
f(x) =
e
x
2 (x+ 1)
2(1 + e−x)
.
6.1 Áreas entre Curvas
1. Encontre a área da região limitada pelas parábolas y = c2x2 − 1 e y = −c2x2 + 1 onde c > 0
Interseção entre as curvas:
c2x2 − 1 = −c2x2 + 1⇒ 2c2x2 = 2⇒ x2 = 1
c2
⇒ x = ±1
c
Portanto, a área entre as curvas é dada por∫ 1/c
−1/c
(−c2x2 + 1− (c2x2 − 1))dx =
∫ 1/c
−1/c
(−2c2x2 + 2)dx = 2
∫ 1/c
0
(−2c2x2 + 2)dx
= 2
[
−2c2x
3
3
+ 2x
]1/c
0
= 2
(
−2
3
c2
1
c3
+ 2
1
c
)
= 2
(
−2
3
1
c
+ 2
1
c
)
= 2 · 4
3c
=
8
3c
2. Encontre a área da região limitada pelas parábolas y = x2 − c2 e y = −x2 + c2 onde c > 0
Interseção entre as curvas:
x2 − c2 = −x2 + c2 ⇒ 2x2 = 2c2 ⇒ x2 = c2 ⇒ x = ±c
Portanto, a área entre as curvas é dada por∫ c
−c
(−x2 + c2 − (x2 − c2))dx =
∫ c
−c
(−2x2 + 2c2)dx = 2
∫ c
0
(−2x2 + 2c2)dx
= 2
[
−2x
3
3
+ 2c2x
]c
0
= 2
(
−2
3
c3 + 2c2 · c
)
= 2
(
−2
3
c3 + 2c3
)
= 2 · 4
3
c3 =
8
3
c3
3. Encontre a área da região limitada pelas parábolas y = c2x2 − 4 e y = −c2x2 + 4 onde c > 0
Interseção entre as curvas:
c2x2 − 4 = −c2x2 + 4⇒ 2c2x2 = 8⇒ x2 = 4
c2
⇒ x = ±2
c
Portanto, a área entre as curvas é dada por∫ 2/c
−2/c
(−c2x2 + 4− (c2x2 − 4))dx =
∫ 2/c
−2/c
(−2c2x2 + 8)dx = 2
∫ 2/c
0
(−2c2x2 + 8)dx
= 2
[
−2c2x
3
3
+ 8x
]2/c
0
= 2
(
−2
3
c2
8
c3
+ 8
2
c
)
= 2
(
−2
3
8
c
+ 8
2
c
)
= 2
(
−16
3c
+
16
c
)
= 2 · 32
3c
=
64
3c
4. Encontre a área da região limitada pelas parábolas y = x2 − 4c2 e y = −x2 + 4c2 onde c > 0
Interseção entre as curvas:
x2 − 4c2 = −x2 + 4c2 ⇒ 2x2 = 8c2 ⇒ x2 = 4c2 ⇒ x = ±2c
Portanto, a área entre as curvas é dada por∫ 2c
−2c
(−x2 + 4c2 − (x2 − 4c2))dx =
∫ 2c
−2c
(−2x2 + 8c2)dx = 2
∫ 2c
0
(−2x2 + 8c2)dx
= 2
[
−2x
3
3
+ 8c2x
]2c
0
= 2
(
−2
3
8c3 + 8c2 · 2c
)
= 2
(
−16
3
c3 + 16c3
)
= 2 · 32
3
c3 =
64
3
c3
6.2/6.3 Volumes/Volumes por Cascas Ciĺındricas
1. Determine o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região limitada pelas
retas x = 0, x = a, y = 0 e por y = sen(πx
2
a2
), onde a > 0
O volume do sólido de rotação é dado por
V =
∫ a
0
(2πx)( sen(
πx2
a2
))dx
= 2π
∫ a
0
sen(
πx2
a2
)xdx
Utilizando a regra da substituição, temos:
u =
πx2
a2
⇒ du
dx
=
π · 2x
a2
⇒ xdx = a
2
2π
du
x = 0⇒ u = 0
x = a⇒ u = π
Portanto,
V = 2π
∫ π
0
sen(u)
a2
2π
du = a2
∫ π
0
sen(u)du
= −a2 cosu]π0 = −a
2(−1− 1)= 2a2
2. Determine o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região limitada pelas
retas x = 0, x = 2a, y = 0 e por y = sen(πx
2
4a2
), onde a > 0
O volume do sólido de rotação é dado por
V =
∫ 2a
0
(2πx)( sen(
πx2
4a2
))dx
= 2π
∫ 2a
0
sen(
πx2
4a2
)xdx
Utilizando a regra da substituição, temos:
u =
πx2
4a2
⇒ du
dx
=
π · 2x
4a2
⇒ xdx = 2a
2
π
du
x = 0⇒ u = 0
x = 2a⇒ u = π
Portanto,
V = 2π
∫ π
0
sen(u)
2a2
π
du = 4a2
∫ π
0
sen(u)du
= −4a2 cosu]π0 = −4a
2(−1− 1)
= 8a2
3. Determine o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região limitada pelas
retas x = 0, x = a, y = 0 e por y = x2 sen(πx
4
a4
), onde a > 0
O volume do sólido de rotação é dado por
V =
∫ a
0
(2πx)(x2 sen(
πx4
a4
))dx
= 2π
∫ a
0
sen(
πx4
a4
)x3dx
Utilizando a regra da substituição, temos:
u =
πx4
a4
⇒ du
dx
=
π · 4x3
a4
⇒ x3dx = a
4
4π
du
x = 0⇒ u = 0
x = a⇒ u = π
Portanto,
V = 2π
∫ π
0
sen(u)
a4
4π
du =
a4
2
∫ π
0
sen(u)du
= −a
4
2
cosu]π0 = −
a4
2
(−1− 1)
= a4
4. Determine o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região limitada pelas
retas x = 0, x = 2a, y = 0 e por y = x2 sen( πx
4
16a4
), onde a > 0
O volume do sólido de rotação é dado por
V =
∫ 2a
0
(2πx)(x2 sen(
πx4
16a4
))dx
= 2π
∫ 2a
0
sen(
πx4
16a4
)x3dx
Utilizando a regra da substituição, temos:
u =
πx4
16a4
⇒ du
dx
=
π · 4x3
16a4
⇒ x3dx = 4a
4
π
du
x = 0⇒ u = 0
x = 2a⇒ u = π
Portanto,
V = 2π
∫ π
0
sen(u)
4a4
π
du = 8a4
∫ π
0
sen(u)du
= −8a4 cosu]π0 = −8a
4(−1− 1)
= 16a4