Exercícios de FIlas MMs_REC_Gabarito

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Teoria das Filas Modelos MMs 
 
EXERCÍCIO 1) Em um sistema de 1 fila e um canal foi realizado um levantamento estatístico para a obtenção 
de dados que possibilitassem o estudo de sua operação. Dois parâmetros foram levantados: 
• Número médio de clientes na fila: 0,9. 
• Tempo médio gasto por atendimento: 6 min. 
São conhecidos os seguintes dados adicionais: 
• Custo unitário de atendimento: R$ 10,00. 
• Custo unitário de permanência no sistema: R$ 300,00. 
O custo de ampliação do sistema (mais um ou dois canais de atendimento) é de R$ 14.000,00 por mês, 
independente do número de canais. A empresa considera compensador fazer a ampliação quando a economia 
mensal for 10% superior ao custo de fazer a ampliação para mais um canal de atendimento. Considere que o 
sistema opera 22 dias por mês, 8 horas por dia. A ampliação deve ser feita? 
 
Solução: 
 
NF = 0,9 
TA = 6min → 𝜇 = 1 6𝑚𝑖𝑛⁄ =
60
6ℎ⁄ = 10
𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
ℎ
→ 𝝁 = 𝟏𝟎 
 
𝑁𝐹 = 
𝜆2
𝜇(𝜇 − 𝜆)
= 0,9 →
𝜆2
10(10 − 𝜆)
= 0,9 → 𝜆2 = 90 − 9𝜆 → 𝜆2 + 9𝜆 − 90 = 0 → 𝝀 = 𝟔 
 
Para um atendente s = 1 
 
𝐶𝑇ℎ = 𝐶𝐸𝑢𝑛 . 𝑁𝑆 + 𝐶𝐴𝑢𝑛. 𝜇 = 300.
6
10 − 6
+ 10.10 = 450 + 100 = 𝑅$ 550,00/ℎ 
 
𝐶𝑇𝑚𝑒𝑠 = 𝐶𝑇ℎ. 8.22 = 550.8.22 = 96.800,00 ⇒ 𝑪𝑻𝒎𝒆𝒔 = 𝑹$ 𝟗𝟔. 𝟖𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
Para 2 atendentes s = 2 
 
𝑃0 = {∑
𝜌𝑗
𝑗!
𝑠−1
𝑗=0
+
𝜌𝑠
(𝑠 − 1)! (𝑠 − 𝜌)
}−1 = {∑
𝜌𝑗
𝑗!
1
𝑗=0
+
𝜌2
(2 − 1)! (2 − 𝜌)
}−1 = {1 + 𝜌 +
𝜌2
2 − 𝜌
}−1 = {1 +
3
5
+
(3 5⁄ )
2
(2 − 3 5⁄ )
}−1
= {
8
5
+
9
35
}−1 = {
65
35
}−1 =
7
13
 ⇒ 𝑷𝟎 = 
𝟕
𝟏𝟑
 
 
𝑃𝑜𝑐𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝜌𝑠
(𝑠 − 1)! (𝑠 − 𝜌)
. 𝑃0 = 
𝜌2
(2 − 1)! (2 − 𝜌)
. 𝑃0 =
9
35
.
7
13
=
9
65
 ⇒ 𝑷𝒐𝒄𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 
𝟗
𝟔𝟓
 
 
𝑁𝐹 =
𝜌
𝑠 − 𝜌
. 𝑃𝑜𝑐𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
3
5⁄
2 − 3 5⁄
.
9
65
=
27
455
= 0,0593 
𝑁𝑆 = 𝑁𝐹 + 𝜌 = 0,059 +
3
5
= 0,659 
𝐶𝑇ℎ
2 = 𝐶𝐸𝑢𝑛. 𝑁𝑆 + 𝐶𝐴𝑢𝑛. 𝜇. 𝑠 = 300.0,659 + 10.10.2 = 𝑅$
397,80
ℎ
 
𝐶𝑇𝑚𝑒𝑠
2 = 𝐶𝑇ℎ
2. 8.22 = 397,80.8.22 = 𝑅$ 70.013,19 
 
Economia: 
 
∆𝐶𝑇 = 𝐶𝑇𝑚𝑒𝑠 − 𝐶𝑇𝑚𝑒𝑠
2 − 14000 = 96800 − 70013,19 − 14000 = 𝑅$12.786,81 
 
O investimento compensa, porque é maior do que 10% do investimento (R$1.400,00) 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 2) Deseja-se adquirir um equipamento de solda para reparar peças que se quebram em uma linha 
de produção. A chegada de peças danificadas ao setor de reparos ocorre segundo uma distribuição de 
Poisson, com média de 10 peças por semana. Cada peça quebrada causa um prejuízo de R$ 500,00 por 
semana, por perda de produção. Dois tipos de máquina de solda são oferecidos: 
• TIPO A: eficiência de 11 reparos por semana, ao custo de R$ 80.000,00 por ano, entre 
amortização e operação; 
• TIPO B: eficiência de 30 reparos por semana, ao custo anual de R$ 180.000,00 entre 
amortização e operação. 
a) Determine a decisão que deve ser tomada, de modo a minimizar o custo total. `e possível 
adquirir uma ou mais máquinas de cada tipo. 
b) Para a decisão adotada determine: 
• O tempo total de utilização, em porcentagem; 
• O número médio de máquinas em reparos por semana; 
• O tempo médio que cada peça quebrada gasta para voltar à produção. 
 
Solução: 
 
𝜆 = 10 peças/semana 
𝐶𝐸𝑢𝑛𝑖 = 500,00 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 = 500.52 = 26000 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑜 
 
Tipo A – 1 máquina 
𝜇 = 11 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎⁄ 
 
𝐶𝑇𝐴
(1)
= 𝐶𝐸𝑢𝑛𝑖 . 𝑁𝑆 + 𝐶𝐴 = 26000.
𝜆
(𝜇 − 𝜆)
+ 80000 = 26000.
10
11 − 10
+ 80000 = 𝑅$ 340.000,00 
 
 
Tipo B – 1 máquina 
𝜇 = 30 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎⁄ 
 
𝐶𝑇𝐴
(1)
= 𝐶𝐸𝑢𝑛𝑖 . 𝑁𝑆 + 𝐶𝐴 = 26000.
𝜆
(𝜇 − 𝜆)
+ 80000 = 26000.
10
30 − 10
+ 180000 = 𝑅$ 193.000,00 
 
Tipo A – 2 máquinas 
𝜇 = 11 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎⁄ 
 
𝜌 =
𝜆
𝜇
=
10
11
 
 
𝑃0 = {∑
𝜌𝑗
𝑗!
𝑠−1
𝑗=0
+
𝜌𝑠
(𝑠 − 1)! (𝑠 − 𝜌)
}−1 = {∑
𝜌𝑗
𝑗!
1
𝑗=0
+
𝜌2
(2 − 1)! (2 − 𝜌)
}−1 = {1 + 𝜌 +
𝜌2
2 − 𝜌
}−1 = {1 +
10
11
+
(10 11⁄ )
2
(2 − 10 11⁄ )
}−1
= {
21
11
+
100
132
}−1 = {
352
132
}−1 =
132
352
=
3
8
→ 𝑃0 = 
3
8
 
 
𝑃𝑜𝑐𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝜌𝑠
(𝑠 − 1)! (𝑠 − 𝜌)
. 𝑃0 = 
𝜌2
(2 − 1)! (2 − 𝜌)
. 𝑃0 =
100
132
.
3
8
=
25
88
→ 𝑃𝑜𝑐𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
25
88
 
 
 
𝑁𝐹 =
𝜌
𝑠 − 𝜌
. 𝑃𝑜𝑐𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
10
11⁄
2 − 10 11⁄
.
25
88
=
125
528
 
𝑁𝑆 = 𝑁𝐹 + 𝜌 =
125
528
+
10
11
=
605
528
 
 
 
𝐶𝑇𝐴
(2)
= 𝐶𝐸𝑢𝑛𝑖 . 𝑁𝑆 + 𝐶𝐴 = 26000.
625
528
+ 2.80000 = 29791,67 + 160000 = 𝑅$ 189.791,67 
 
Logo, vale a pena comprar 2 máquinas do tipo A. 
 
EXERCÍCIO 3) Considere um sistema do tipo MM3 com uma taxa de chegada igual a 2 pedidos/seg e uma 
taxa de serviço igual a 2,1 atendimentos/seg. Calcule o comprimento médio da fila (NF), o tempo médio de 
espera na fila (TF), tempo de resposta do sistema (TS) e o número médio de clientes no sistema. 
 
 
Solução: 
 
𝝀 = 2 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠/𝑠 
𝜇 = 2,1 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 /𝑠 
 
𝜌 =
𝜆
𝜇
=
2
2,1
= 0,95238 
 
𝑃0 = {∑
𝜌𝑗
𝑗!
𝑠−1
𝑗=0
+
𝜌𝑠
(𝑠 − 1)! (𝑠 − 𝜌)
}−1 = {∑
𝜌𝑗
𝑗!
2
𝑗=0
+
𝜌3
(3 − 1)! (3 − 0,95238)
}−1 = {
𝜌0
0!
+
𝜌1
1!
+
𝜌2
2!
+
𝜌3
(2)! (3 − 0,95238)
}
−1
= {1 + 𝜌 +
𝜌2
2
+
𝜌3
2(3 − 0,95238)
}
−1
= {1 + 0,95238 +
0,952382
2
+
0,952383
4,09524
}
−1
= 2,61683−1
= 0,382141 → 𝑷𝟎 = 𝟎, 𝟑𝟖𝟐𝟏𝟒𝟏 
 
𝑃𝑜𝑐𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝜌𝑠
(𝑠 − 1)! (𝑠 − 𝜌)
. 𝑃0 =
𝜌3
2(3 − 0,95238)
. 0,382141 = 𝟎, 𝟎𝟖𝟎𝟔𝟏 
 
𝑁𝐹 =
𝜌
𝑠 − 𝜌
. 𝑃𝑜𝑐𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
0,95238
3 − 0,95238
. 0,08061 = 0,03749 
 
𝑇𝐹 =
𝑁𝐹
𝜆
=
0,03749
2
= 0,01875 𝑠 
 
𝑁𝑆 = 𝑁𝐹 + 𝜌 = 0,03749 + 0,95238 = 0,98987 ≅ 1 
 
𝑇𝑆 =
𝑁𝑆
𝜆
=
0,98987
2
= 0,4949 𝑠