Aula 16

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Análise	de	decisão	1	
Teorema	de	Bayes		
Probabilidade		
Chega-se	então	ao	conceito	de	Probabilidade:	dado	
um	espaço	amostral	“S”	a	probabilidade	P(A)	de	
um	evento	“A”	é	uma	função	definida	em	S	que	
associa	a	cada	evento	um	número	real	P(A),	
saJsfazendo	os	seguintes	axiomas:	
I)	0	≤	P(A)		≤	1	
II)	P(S)	=	1	(a	soma	de	todas	as	probabilidades	é	=1)	
III)	Se	A	e	B	forem	mutuamente	exclusivos,	então	
P(	A	U	B)	=	P(A)		+		P(B)	
Principais	teoremas	
Se	φ	é	um	conjunto	vazio,	então,	P(φ)	=	0	(zero)						
1)	Se								é	o	complemento	de	A,	então	P(				)	=	1-	P(A)	
2)	Se	A	⊂		B,	então	P(A)	≤	P(B)	
3)	Teorema	da	soma:	Seja	A	e	B	dois	eventos	
quaisquer.	
				P(A	U	B)	=	P(A)	+	P(B)	-	P(A	∩	B)	
				Se	A	e	B	são	mutuamente	exclusivos	P(A	∩	B)	=	φ		e		
					P(A	U	B)	=	P(A)	+	P(B)	
AA
Probabilidade	condicional	
Seja	E	:	lançar	um	dado	de	6	lados,		
A	=	{sair	o	número	3}.	Então:	P(A)	=	1/6	
B	=	{	sair	um	número	ímpar}					B	=	{1,3,5}		P(B)	=	3/6	
	
Qual	a	probabilidade	de	A,	sabendo	que	ocorreu	B?	
Ou	qual	a	probabilidade	de	ocorrer	o	número	3,	
sabendo-se	que	ocorreu	um	número	ímpar?			
	
P(A/B)	=	probabilidade	de	A,	condicionada	à	
ocorrência	de	B	ou	probabilidade	de	A,	dado	B?		
Probabilidade	condicional	
Dada	a	informação	da	ocorrência	de	um	evento,	temos	a	
redução	do	espaço	amostral	S.		
	S	=	{	1,2,3,4,5,6}	reduziu-se	a	S*	=	{1,3,5}	com	a	informação	
que	B	ocorreu.		
Se	S*	=	{1,3,5},	então	P(A/B)	=	1/3	
		
Definição:	dados	dois	eventos	A	e	B,	denota-se		
P(A/B),	a	probabilidade	condicionado	do	evento	A,	quando	
B	Jver	ocorrido,	por:		
	
P(A/B)	=	P(A	∩	B)/	P(B),		com	P(B)	diferente	de	zero	(pois	B	
já	ocorreu).	
		
Probabilidade	condicional	
P(A/B)	=	P(A	∩	B)/	P(B)	com	P(B)	diferente	de	zero	
(pois	B	já	ocorreu).	
		
TEOREMA	DO	PRODUTO:	
P(A	∩	B)	=	P(B)	*	P(A/B)				ou	analogamente,		
P(A	∩	B)	=	P(A)	*	P(B/A)	
		
Exercício	
Um	escritório	possui		100	cadeiras.	Algumas	são	
de	rodinha,	outras	são	fixas;	algumas	são	novas,	
outras	são	velhas.	Uma	pessoa	entra	no	escritório	
e	pega	uma	cadeira	ao	acaso,	e	descobre	que	é	
nova.	Qual		a	probabilidade	de	que	seja	rodinha?	
Rodinhas	 Fixas	 TOTAIS	
Novas	 40	 30	 70	
Velhas	 20	 10	 30	
TOTAIS	 60	 40	 100	
Exercício	
•  Olhando	no	quadro,	quando	se	sabe	que	é	nova,	
o	espaço	amostral	reduz-se	a	70	cadeiras.	
•  Logo	a	P(rodinha)	=	40/70	ou	4/7	
Rodinhas	 Fixas	 TOTAIS	
Novas	 40	 30	 70	
Velhas	 20	 10	 30	
TOTAIS	 60	 40	 100	
Exercício	
Aplicando	o	teorema	do	produto	
•  	P(A	∩	B)	=	P(B)	*	P(A/B)		ou	P(A/B)	=	P(A	∩	B)/	P(B)	
•  A:	ter	rodinha	P(A)	=	60/100	=	6/10	
•  B:	ser	nova	P(B)	=	70/100	=	7/10	
P(A/B)	=	P(A	∩	B)/	P(B)	
P(A/B)	=	(40/100)/	(70/100)è	4/7	
Rodinhas	 Fixas	 TOTAIS	
Novas	 40	 30	 70	
Velhas	 20	 10	 30	
TOTAIS	 60	 40	 100	
Probabilidade	condicional	
Força	policial	=	1200	oficiais,	960	homens	e	240	mulheres	
Nos	úlJmos	2	anos,	324	foram	promovidos,	288	homens	e	36	mulheres	
Homens	
(H)		
Mulheres	
(M)	
TOTAIS	
Promovidos	
(PR)	
288	 36	 324	
Não	
promovidos	
(NP)	
672	 204	 876	
TOTAIS	 960	 240	 1200	
Probabilidade	condicional	
Força	policial	=	1200	oficiais,	960	homens	e	240	mulheres	
Nos	úlJmos	2	anos,	324	foram	promovidos,	288	homens	e	36	mulheres	
Homens	
(H)		
Mulheres	
(M)	
TOTAIS	
Promovidos	
(PR)	
288	 36	 324	
Não	
promovidos	
(NP)	
672	 204	 876	
TOTAIS	 960	 240	 1200	
Probabilidade	condicional	
Força	policial	=	1200	oficiais,	960	homens	e	240	mulheres	
Nos	úlJmos	2	anos,	324	foram	promovidos,	288	homens	e	36	mulheres	
Homens	
(H)		
Mulheres	
(M)	
TOTAIS	
Promovidos	
(PR)	
288	 36	 324	
Não	
promovidos	
(NP)	
672	 204	 876	
TOTAIS	 960	 240	 1200	
! ! ∩ !" = 2881200 = 0,24 ! ! ∩ !" = 
36
1200 = 0,03 
! ! ∩ !" = 6721200 = 0,56 ! ! ∩ !" = 
204
1200 = 0,17 
Probabilidade	condicional	–	tabela	de	
probabilidades	cruzadas	
Homens	(H)		 Mulheres	
(M)	
TOTAIS	
Promovidos	(PR)	 0,24	 0,03	 0,27	
Não	promovidos	
(NP)	
0,56	 0,17	 0,73	
TOTAIS	 0,8	 0,2	 1	
Probabilidades	associadas	
Probabilidades	marginais	
Probabilidade	condicional	
Homens	(H)		 Mulheres	
(M)	
TOTAIS	
Promovidos	(PR)	 0,24	 0,03	 0,27	
Não	promovidos	
(NP)	
0,56	 0,17	 0,73	
TOTAIS	 0,8	 0,2	 1	
Probabilidades	associadas	
Probabilidades	marginais	
P(H)	 P(M)	
P(PR)	
P(NP)	
P(H	∩		PR)	 P(M∩	PR)	
P(H	∩		NP)	 P(M	∩		NP)	
MAS,	e	P(PR/H)	=	???									P(PR/M)	=	???	
A	informação	que	o	promovido	é	homem	ou	mulher,	
reduz	o	espaço	amostral,	ou	seja	reduz	a	incerteza	
Probabilidade	condicional	
Homens	
(H)		
Mulheres	
(M)	
TOTAIS	
Promovidos	
(PR)	
0,24	 0,03	 0,27	
Não	
promovidos	
(NP)	
0,56	 0,17	 0,73	
TOTAIS	 0,8	 0,2	 1	
Para	calcular	diretamente	da	tabela	
P(PR/H)	=	???									P(PR/M)	=	???	
A	informação	que	o	promovido	é	homem	ou	mulher,	
reduz	o	espaço	amostral,	ou	seja	reduz	a	incerteza	
P(PR/H)	=	288/960	=	0,3			ou		
P(PR/H)	=	0,24/0,8	=	0,3	
		
P(PR/M)	=	36/240	=	0,15			ou		
P(PR/M)	=	0,03/0,2	=	0,15	
		
Homen
s	(H)		
Mulhere
s	(M)	
TOTAIS	
Promovidos	
(PR)	
288	 36	 324	
Não	
promovidos	
(NP)	
672	 204	 876	
TOTAIS	 960	 240	 1200	
Teorema	de	Bayes	
Probabilidades	
prévias	
Novas	
informa-
ções	
Aplicação	
do	
Teorema	
de	Bayes	
Probabili-
dades	
posteriores	
Árvore	de	probabilidades	
Homens		
Mulheres	
Não	
Promovidos	
Promovidos	
Não	
Promovidos	
(H,	NP)	
(M,	PR)	
(M,	NP)	
Promovidos	 (H,	PR)	
Árvore	de	probabilidades	
P(H)=	0,8	
P(M)	=	0,2	
P(NP/H)=	0,7	
P(PR/M)=	0,15	
P(NP/M)=0,85	
P(H	∩			NP)	=	P(H)	*	P(NP/H)	
																												0,8	*	0,7	=	0,56		
P(M	∩		PR)	=	P(M)*	P(NP/M)	
																											0,2	*	0,15	=	0,03	
P(M	∩		NP)	=	P(M)	*	P(NP/M)	
																											0,2	*	0,85	=	0,17	
P(PR/H)	=	0,3	
P(H		∩		PR)	=	P(H)*P(PR/H)	
																												0,8	*	0,3	=	0,24		
																				
Teorema	de	Bayes		
Da	árvore:	P(H	∩			NP)	=	P(H)	*	P(NP/H)	
P(NP/H)	=	P(H	∩			NP)	/	P(H)	
Analogamente,	podemos	escrever:	
P(H/NP)=	=	P(H	∩			NP)	/	P(NP)	
	
Do	diagrama	ao	lado	
P(NP)	=	P(H	∩			NP)	+	(M	∩			NP)	
P(NP)	=	P(H)*P(NP/H)	+	(P(M)*P(NP/M)	
	
	
	
H	
M	 H	
NP	
PR	
PR	
Teorema	de	Bayes		
•  Extensão	de	probabilidades	condicionais,	
quando	o	espaço	amostral	é	parJdo	em	eventos	
complementares	
! !/!" = ! ! .!(!"/!)! ! .! !"/! + ! ! .!(!"/!) 
! !!/! = ! !! .!(!/!!)! !! .! !/!! + ! !! .! !/!! +⋯+ ! !" .!(!/!")
 
Genericamente....		
Exercícios	
•  Usando	o	teorema	de	Bayes,	calcular	a	
probabilidade	posterior	de		
•  Dada	a	informação	que	um	determinado	oficial	
não	foi	promovido,	qual		probabilidade	de	que	
seja	homem?	De	que	seja	mulher?	
Exercícios		
Uma	fábrica	recebe	peças	de	2	diferentes	fornecedores	
A1:	evento	quando	a	peça	é	do	fornecedor	1	
A2:	evento	quando	a	peça	é	do	fornecedor	2	
Atualmente,	65%	das	peças	são	compradas	do	fornecedor	1	e	35%	
do	fornecedor	2.	
A	avaliação	da	qualidade	das	peças,	revela	que	historicamente,	do	
fornecedor	1,	98%	das	peças	são	boas	e	2%	ruins.	Do	fornecedor	2,	
95%	são	boas	e	5%	ruins.		
a)  Construa	a	árvore	de	probabilidades		
b)  Calcule:	P(A1	∩	B),	P	(A1	∩	R),	P(A2	∩	B)	e	P	(A2	∩	R)	
c)  Deduza	o	teorema	de	Bayes	para	P(A1/R)	e	P(A2/B)	
	
A1		
A2	
RUINS	
BOAS	
RUINS	
(A2,	R)	
(A1,	B)	
(A2,	R)	
BOAS	 (A1,	B)