Unidade 4 Exercícios

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Exercício 1
Vamos Praticar
A regressão linear corresponde a um método que permite identificar a relação entre duas variáveis. Esse tipo de mecanismo é uma estratégia para testar conhecimentos empíricos, além de desenvolver sistemas que podem realizar a conferência e a verificação de parâmetros em uma linha industrial.
Uma das aplicações é o desenvolvimento de próprias funções que representam um sistema de refrigeração e variação de temperatura.
Sejam (0,1), (1,6), (-1,-1), (-2,-7) e (5,11) os pontos medidos em uma linha de produção que avalia a relação de temperatura de dois cilindros conectados, analise os pontos e calcule a correlação de Pearson e a reta que representa a dispersão das variáveis de temperatura.
Resposta:
Inicialmente, você deve organizar os pontos medidos, separando x e y. Em seguida, calcular a somatória de x, a somatória de y, a somatória de x.y, a somatória de x2 e de y2.
Aplicar a fórmula da correlação de Pearson:
r=n.∑xiyi−∑xi.∑yin.∑i 2−(∑xi)2.n.∑yi 2−(∑yi)2−−−−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
Em seguida, identificar a intensidade de relação linear, baseada no valor de ‘r’:
	r = -1 ou r = 1, correlação perfeita, negativa ou positiva;
	-1 < r < -0,95 ou 0,95 > r > 1, correlação muito forte, negativa ou positiva;
	-0,95 < r < -0,65 ou 0,65 > r > 0,95, correlação forte, negativa ou positiva;
	-0,65 < r < -0,35 ou 0,35 > r > 0,65, correlação moderada, negativa ou positiva;
	-0,35 < r < -0,03 ou 0,03 > r > 0,35, correlação fraca, negativa ou positiva;
	-0,03 < r < 0,03, correlação nula.
E, por fim, calcular a reta que representa a melhor aproximação entre os pontos.
α=n.∑(xiyi)−∑xi.∑yin.∑(xi 2)−(∑xi)
β=y¯¯¯−α.x¯¯¯
Sendo que a equação característica deste sistema é dada por:
y=α.x+β
Exercício 2
Teste seus Conhecimentos
A sintonia de sistemas serve como ferramenta para tornar os processos mais estáveis, processos que já são compostos por controladores, como do tipo PID (proporcional, integrador e derivativo), que fazem o controle do pico de resposta do sistema, controle de assentamento para regime permanente e podem fazer com que a curva característica do sistema seja amortizada.
Entretanto, quaisquer equipamentos estão sujeitos à instabilidade e a incertezas, e o método dos relés em malha fechada possui objetivo de impor oscilações com amplitude regulada, utilizando-se de relés (NEVES, 2009).
Considere que a função descritiva do relé é dada por:
N(a)=4.ha.π
E que os parâmetros do controlador PID são:
C(s)=Kc.(1+1τI.s+τD.S)
Determine o controlador PID, sabendo que a amplitude do relé é de 5 Volts, do sistema 2,5 Volts e período da oscilação em 0,5 segundos. Considere ‘A’ para esse sistema hipotético igual a π.
Assinale a alternativa correta .
a) C(s)=0,25.(1+11,2.s+0,0625.s)
b) C(s)=0,5.(1+10,25.s+0,0625.s)
x c) C(s)=1,2.(1+10,25.s+0,0625.s)
d) C(s)=0,5.(1+10,0625.s+0,25.s)
e) C(s)=2.(1+10,5.s+0,5.s)
FEEDBACK
Correto! Inicialmente, deverá substituir os parâmetros na equação descritiva do relé, sendo a = 2,5, h = 5 e A = π. Posteriormente, realizar a parametrização baseada no período TU, em que:
τI=TU2=0,52=0,25
τD=TU8=0,58=0,0625
E substituir na equação do controlador PID.
Exercício 3
Teste seus Conhecimentos
O método dos mínimos quadrados (MMQ) corresponde a um mecanismo para realizar ajuste de curvas, seja qualquer função que o sistema necessite. O desenvolvimento do método compete no ajuste linear simples ou regressão linear, na qual se refere àquela função que melhor descreve uma quantidade de pontos.
ALMEIDA, R. N. O método dos mínimos quadrados : estudo e aplicações para o ensino médio. 2015. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Centro de Ciências e Tecnologia, Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro, Campos dos Goytacazes, 2015. Disponível em: https://uenf.br/posgraduacao/matematica/wp-content/uploads/sites/14/2017/09/28052015Renato-Neves-de-Almeida.pdf . Acesso em: 18 maio 2021.
Seja, por exemplo, os seguintes pontos com suas coordenadas x e y: (1,3), (2,5) e (6,7). Calcule a equação da reta que melhor representa os pontos apresentados.
Atente-se para a função característica do MMQ:
d(A,B)=∑i=1n(di)2
Assinale a alternativa correta.
a) y(x)=9.x+15
b) y(x)=82.x+18
c) y(s)=3.A+1.B−5
d) y(x)=2,86.x+0,71
x e) y(x)=0,71.x+2,86
FEEDBACK
Correto! Inicialmente, deve-se realizar as substituições de x e y. Obtendo-se duas equações e duas incógnitas:
82.A+18.B=110
18.A+6.B=30
Resolve-se o sistema linear identificando A e B, baseando-se na equação característica da reta: y(x) = A.x+B.
Exercício 4
Vamos Praticar
Como sabemos, o método de Newton-Raphson utiliza as séries de Taylor para promover a otimização de sistemas. Entretanto, deve-se realizar a escolha do ponto inicial do qual partirão as iterações. Para Santos (2018), a escolha de um ponto muito afastado, ou sem qualquer critério, pode incorrer na quantidade exacerbada de iterações, o que pode impactar diretamente o tempo de resposta do processo, como apontado na Equação 4.40:
Equação 4.40:xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
Dessa forma, podemos identificar as raízes de funções e encontrar os pontos nos quais a curva/função atinge o eixo das abscissas (eixo x). Seja a seguinte função f(x):
f(x)=x2+2.x−4
Comando da atividade prática: encontre as raízes da equação pelo método de Newton-Raphson, nos intervalos de [-4 -3] e [1 e 2].
Resposta:
Inicialmente, você deverá identificar o x0, sendo no intervalo entre -4 e -3, por exemplo -3,3.
Além disso, deve identificar a derivada da função, sendo:
f′(x)=2.x+2
Então, iniciar a testagem pela substituição até que o xn+1 permaneça inalterado.
x1=−3,3−0,29−4,6=−3,2370
x2=−3,2370−0,004−4,4739=−3,2361
x3=−3,2361−0−4,4721=−3,2361
Observe que, do x2 para o x3, não houve mudanças, logo, uma das raízes da equação é -3,2361.
A seguir, deve fazer o mesmo para o outro intervalo, identificando um ponto inicial x0 entre o intervalo de 1 e 2, por exemplo 1,8.
x1=1,8−2,845,6=1,2929
x2=1,2929−0,25724,5857=1,2368
x3=1,2368−0,00314,4735=1,2361
x4=1,2361−04,4721=1,2361
Observe que, do x3 para o x4, não houve alterações, logo, a outra raiz da equação é 1,2361.
Então, as raízes da equação f(x)=x2+2.x−4 são −3,2361 e 1,2361.