EXERCICIOS APOSTILA U1

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APÊNDICE
UNIDADE 1
Cálculo diferencial 
e integral III
Integrais múltiplas
U1
1
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
Integrais múltiplas: UNIDADE 1
Gabarito 1. Faça Valer a Pena – Seção 1.1 
1. Letra B
Muitas vezes nos confundimos na definição de vetores, ao ouvirmos a palavra 
equipolente e já associarmos a mesma direção, mesmo sentido e mesmo 
comprimento. Entretanto, já vimos em algumas matérias, até mesmo do 
ensino médio, Matemática e Física, por exemplo, que vetores podem ser 
diferentes em comprimento, direção e sentido.
2. Letra C
A definição do vetor gradiente de um campo escalar f é feita a partir das 
derivadas parciais de f.
3. Letra D
Uma base é ortonormal, se possuir vetores unitários, e ortogonais dois a dois.
Gabarito 2 – Faça Valer a Pena – Seção 1.2
1. Letra B
A integral é uma somatória aproximada dos infinitos volumes inscritos em 
forma de paralelepípedos.
Integrais múltiplas
U1
2
2. Letra A
Resolvendo a integral iterada , temos: 
3. Letra E
A região R é limitada pela reta y = x e pela parábola y = x2 . Em relação ao eixo 
y, a reta está mais próxima do que a parábola, estabelecendo o limite inferior, 
e a curva mais distante, estabelecendo o limite superior. Desta forma, trata-se 
de uma integral de região do tipo II.
Gabarito 3 – Faça Valer a Pena – Seção 1.3
1. Letra D
Portanto, conclui-se que a massa é igual a .
2. Letra E
Integrais múltiplas
U1
3
Portanto, o momento é igual a .
3. Letra E
Se fizermos o esboço da mesma forma como foi feito no “Sem Medo de 
Errar”, vamos obter os seguintes limites de integração: 
0 ≤ y ≤ 4; 0 ≤ x ≤ 2 – y/2 e 0 ≤ z ≤ 2 – x – y/2 . 
Desta forma, podemos calcular o volume através da integral: 
Portanto, o volume é .
Gabarito 4 – Faça Valer a Pena – Seção 1.4
1. Letra C
O produto vetorial entre dois vetores irá gerar outro vetor, ortogonal a eles.
2. Letra B
O paralelogramo é o polígono cuja área é dada pelo produto vetorial entre 
dois vetores.
3. Letra A
O produto vetorial entre os dois vetores é dado por: 
E o módulo: 
U1
4 Integrais múltiplas