Exercício - Transformações, Identidades, Equações e Inequações Trigonométricas

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1
Simplificando a expressão  , obtemos:
A 0
B 1
C -1
D 1/2
E -1/2
Resposta incorreta Resposta correta: A
Gabarito comentado
Justificativa:
Logo, 
2
Simplificando a expressão , obtemos:
sen40°. sen50° − sen30°sen80°
sen40°. sen50° = sen40°. cos40° = 12 sen80°
sen30°. sen80° = 12 . sen80°
sen40°. sen50° − sen30°sen80° = 0
sen48° + cos38°undefined
Exercício - Transformações, Identidades, Equações e Inequações Trigonométricas
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Justificativa:
. Daí,
3
Se  e é do 1° quadrante, qual o valor de ?
A
B
cos3°
√2cos3°
√3cos3°
cos87°
sen87°
senp + senq = 2sen p+q2 cos
p−q
2
sen48° + cos38° = sen48° + sen42° = 2sen45°cos3° = 2. √22 . cos3° = √2cos3°
secx = 4 x sen3x
− √1516
− 3√1564
undefined
Exercício - Transformações, Identidades, Equações e Inequações Trigonométricas
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Justificativa:
Se , então .  Daí, .
Logo, 
4
A solução da equação trigonométrica  é dada por:
A , k inteiro
B , k inteiro
C  ou  , k inteiro
3√15
16
− √158
− √1564
secx = 4 cosx = ¼ senx = √154
sen3x = 3.senx − 4.sen3x = senx. (3 − 4.sen2x)
= √154 (3 − 4.
15
16 ) =
√15
4 ( −
12
16 ) = −
3√15
16
sen3x = 8sen3x
2kπ
kπ
kπ ± π/6 kπ
undefined
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D , k inteiro
E , k inteiro
Resposta incorreta Resposta correta: A
Gabarito comentado
Justificativa:
⇒ ⇒ 
 
5
Simplificando a expressão , obtemos:
A
B
C
D
kπ/6
kπ/3
sen3x = sen3x ⇒ 3senx − 4sen3x = 8sen3x
⇒ 3senx = 12sen3x ⇒ senx(1 − 4sen2x) = 0
{senx = 0
senx = ±1/2
{x = kπ, kinteiro
x = kπ ± π6 , kinteiro
sen6a+sen4a
cos6a+cos4a
tg5a
cot5a
−tg5a
−cot5a
undefined
Exercício - Transformações, Identidades, Equações e Inequações Trigonométricas
E
Resposta incorreta Resposta correta: A
Gabarito comentado
Justificativa:
6
Simplificando , obtemos:
A
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: E
Gabarito comentado
1
sen6a+sen4a
cos6a+cos4a =
2.sen5a.cosa
2.cos5a.cosa = tg5a
cos3° + cos5° + cos7° + cos9°
4sen1°cos2°cos6°
4cos1°sen2°cos6°
4sen1°cos2°sen6°
4cos1°cos2°sen6°
4cos1°cos2°cos6°
undefined
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Justificativa:
7
Simplificando , obtemos:
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Justificativa:
Multiplicando cada termo da soma por (2° = metade da razão...),
obtemos:
cos3° + cos5° + cos7° + cos9° = (cos3° + cos9°) + (cos5° + cos7°)
= 2cos6°cos3° + 2cos6°cos1°
= 2cos6°(cos3° + cos1°)
= 2cos6°(2cos2°cos1°)
= 4cos1°cos2°cos6°
X = sen3° + sen7° + cos11°+. . . +sen39°
sen19°sen20°
sen20°sen21°
sen21°sen22°
cos19°cos20°
cos20°cos21°
sen2°
undefined
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...
 
Somando as parcelas, obtemos:
8
O valor de  é raiz da equação:
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Justificativa:
sen2°. sen3° = − 12 (cos1° − cos5º)
sen2°. sen7° = − 12 (cos5° − cos9º)
sen2°. sen11° = − 12 (cos9° − cos13º)
sen2°. sen39° = − 12 (cos37° − cos41º)
X == − 12 (cos1° − cos41º) = −
1
2 [−2sen21°sen(−20)] = sen20°sen21°
sen10°
8x3 + 6x − 1 = 0
6x3 − 8x − 1 = 0
8x3 − 6x + 1 = 0
6x3 − 8x + 1 = 0
8x3 − 6x − 1 = 0
undefined
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Observe que a relação  é uma relação do terceiro
grau! Fazendo, portanto, , obtemos:
9
Os arcos soluções da equação trigonométrica 
 determinam quantos pontos distintos no círculo trigonométrico?
A 4
B 7
C 14
D 18
E uma infinidade
Resposta incorreta Resposta correta: D
Gabarito comentado
Justificativa:
Observe que
 e
Logo, a equação é equivalente a
sen3a = 3sena − 4sen3a
sena = x
sen3′10° = 3sen10° − 4sen310°
1
2 = 3x − 4x
3
⟹ 8x3 − 6x + 1 = 0
sen9x + sen5x + 2sen2x = 1
sen9x + sen5x = 2sen7xcos2x
1 − 2sen2x = cos2x
undefined
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 ⟹ 
Daí,
 ou ⟹ 
Logo tais arcos determinam há pontos distintos no círculo
trigonométrico.
10
Se calcule o valor da expressão .
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Justificativa:
2sen7xcos2x = cos2x {cos2x = 0, ou
sen7x = 1/2
2x = k360° ± 90°⟹ x = k180° ± 45°⟹ 4pontos distintos
7x = k360° + 30° k360° + 150° {x =
1
7 (k360° + 30°)⟹ 7pontos
x = 17 (k360° + 150°)⟹ 7pontos
4 + 7 + 7 = 18
a + b = 60° sena+senb
cosa+cosb
1
√2
√2/2
√3
√3/3
undefined
Exercício - Transformações, Identidades, Equações e Inequações Trigonométricas
sena+senb
cosa+cosb =
2sen a+b2 cos
a−b
2
2cos a+b2 cos
a−b
2
= tg a+b2 = tg30° = √3/3
undefined
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