Lista_1_Aulas_1_2_2023

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Exercícios 
1. Os vetores que vão da origem até os pontos A, B, C, D são, 
𝐴 = 𝑖̂ + 𝑗̂ + �̂�, �⃗⃗� = 2𝑖̂ + 3𝑗̂, 𝐶 = 3𝑖̂ + 5𝑗̂ − 2�̂�, �⃗⃗⃗� = �̂� − 𝑗̂ 
Demonstrar que as linhas 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 são paralelas. 
2. Calcular o produto escalar, o produto vetorial e o ângulo entre os vetores 𝐴 e �⃗⃗�, 
𝐴 = −𝑖̂ + 7𝑗̂ + 6�̂� e �⃗⃗� = −𝑖̂ − 6𝑗̂ + 6�̂�. 
3. Determinar o valor de a para que os vetores 𝐴 e �⃗⃗� sejam perpendiculares, 
𝐴 = 𝑎𝑖̂ + 4𝑗̂ + 3�̂�, �⃗⃗� = 4𝑖̂ + 2𝑗̂ − 4�̂� 
4. Demonstrar que os vetores 𝐴, �⃗⃗� e 𝐶 formam os lados de um triangulo retângulo, 
𝐴 = 2𝑖̂ − 𝑗̂ + �̂�, �⃗⃗� = 𝑖̂ − 3𝑗̂ − 5�̂�, 𝐶 = 3𝑖̂ − 4𝑗̂ − 4�̂� 
5. Elevar ao quadrado ambos os lados da equação 𝐶 = 𝐴 + �⃗⃗�. Da interpretação 
geométrica do resultado provar a “lei dos cossenos”. 
6. Usando o produto escalar, encontrar o cosseno do ângulo entre a diagonal principal 
de um cubo e uma das arestas do cubo. 
7. Demonstrar que o gradiente de uma função escalar é um vetor cujo modulo é a 
derivada direcional máxima no ponto em questão e cujo sentido é o da máxima 
variação da mesma neste ponto. 
8. Demonstrar que o vetor unitário normal à superfície de 𝜑(𝑟) = constante é �̂� =
∇𝜑
|∇𝜑|
 
e encontre �̂� para a superfície 𝜑 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦. 
9. Calcular o gradiente da função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 3𝑧2. 
10. Encontrar o gradiente de r ou seja do |𝑟| e explicar qual o sentido da resposta. 
11. Considerar uma barra metálica fina e de formato retangular. Imaginar que você 
segura com a mão um canto da barra e coloca o canto diagonalmente oposto numa 
chama a 800 oC. Fazer o esboço de uma função campo escalar da temperatura, 
mostrando linhas de isotermas. Indicar em seu esboço a direção e o sentido 
gradiente da temperatura. 
12. Mostrar que o gradiente 𝑟2 e de 
1
𝑟
 são respectivamente, 2𝑟 e −
�̂�
𝑟2
. 
13. Se 𝑟 for o módulo do vetor 𝑟 e f(r) for uma função arbitrária de r, provar que 
𝛻𝑓(𝑟) =
𝑟
𝑟
𝑑𝑓
𝑑𝑟
. 
14. Fazer um esboço de campos vetoriais que tenha divergente zero e diferente de zero. 
Citar exemplos. 
15. Demonstrar o teorema da divergência considerando um vetor 𝐴 = 𝐴𝑥𝑖̂ + 𝐴𝑦𝑗̂ +
 𝐴𝑧�̂� e um cubo de volume 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧. Calcular o fluxo em cada face e a 
seguir tomar o limite do fluxo por unidade volume quando o volume tende a zero. 
No contexto estudado qual a importância deste cálculo? 
16. Fazer o esboço de um campo vetorial que tenha rotacional não nulo e nulo. Discutir 
um exemplo. 
17. Considerando a situação particular em que 𝑑�⃗� = 𝑑𝑎�̂�, demonstre o teorema de 
Stokes. No contexto estudado qual a importância deste cálculo? 
18. Encontrar o divergente e o rotacional do vetor 𝐴 = (𝑥2 + 𝑦𝑧)𝑖̂ + (𝑦2 + 𝑧𝑥)𝑗̂ +
(𝑧2 + 𝑥𝑦)�̂�. 
19. Se 𝑟 for um vetor que vai da origem até o ponto (x,y,z), demonstrar que 
𝛻 ∙ 𝑟 = 3, 𝛻 × 𝑟 = 0 e (�̂� ∙ 𝛻)𝑟 = �̂� 
20. Provar que 𝛻. �⃗�(𝑟) =
𝑟
𝑟
𝑑�⃗�(𝑟)
𝑑𝑟
. 
21. Mostrar que ∇ ∙ (
�̂�
𝑟2
) = −
2
𝑟3
𝑟
𝑟
�̂�. Construir o gráfico para visualizar a função e veja 
o sentido do divergente neste caso. 
22. Calcular o rotacional de um vetor 𝐴 considerando a situação particular em que, 
𝑑�⃗� = 𝑑𝑎 �̂�, isto é, a área está restrita ao plano (x,y). 
23. Mostrar que ∇ × ∇𝜑 = 0 onde φ é uma função escalar.