pendulo balístico

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Experimento com pêndulo balístico 
Alexssandro Oliveira de Matos 
CEFET/RJ – campus Nova Friburgo 
 
 
Resumo 
Esse experimento tem como objetivo obter a velocidade de um projétil que colide 
com um pêndulo balístico. Para obter essa velocidade, aproveitamos o fato de a 
velocidade ter uma dependência linear com o ângulo do pêndulo, com a vertical, 
formado após a colisão inelástica com o projétil. Depois de obtermos os pontos 
e realizarmos os cálculos, encontramos 𝑣(𝜃) = 0,11 𝜃 + 0,14 , que é a equação 
da reta que corresponde velocidade do projétil em função do ângulo. 
 
Palavras-chave: Velocidade. Pêndulo balístico. Projétil. 
 
Introdução 
Um pêndulo balístico é um dispositivo na qual utilizamos para calcular a 
velocidade de projéteis. Esse pêndulo é um sistema de massa M e comprimento 
L que possui uma extremidade fixa e a outra extremidade possui uma caixa 
aberta que se permite acoplar um projétil. O projétil, que geralmente é uma 
bolinha metálica de massa m, é atirado na direção da caixa por um gatilho. Após 
ser atirado pelo projétil, a bolinha sofre uma colisão inelástica com o pêndulo, 
caracterizada pela conservação de momento linear e pela não conservação de 
energia cinética. Depois da colisão, o pêndulo sofre uma variação de ângulo 𝜃 e 
de altura ℎ em relação ao seu estado inicial de repouso. Com isso, há a 
conservação de energia mecânica, porém não se tem a conservação de 
momento linear, devida a ação da aceleração da gravidade. Através da 
conservação de energia mecânica, onde a energia cinética se converte em 
energia potencial, e da conservação de momento linear podemos encontrar a 
velocidade do projetil. 
 
Modelo teórico 
Para realizar o estudo do pêndulo balístico, temos que separar o experimento 
em três momentos. Esses momentos são representados na figura a seguir: 
 
Figura 1: os três momentos do experimento. Essa separação será importante para analisarmos aonde 
ocorre conservações de momento linear e energia cinética. Figura do autor. 
No momento 1, a bolinha (projétil) de massa 𝑚 e velocidade 𝑣 vai em direção ao 
pêndulo de massa 𝑀, que está em repouso. No momento 2 ocorre a colisão, que 
é perfeitamente inelástica. Já que a bolinha é acoplada no pêndulo, podemos 
considera-los como um corpo só de massa 𝑚 + 𝑀 e velocidade 𝑉. No momento 
3 é o instante em que o pêndulo balístico atinge sua altura máxima. 
Sabendo que no processo de 1 para 2 temos uma colisão inelástica, usaremos 
o conceito de conservação de momento linear. 
∆𝑝 = 0 → 𝑝 = 𝑝 → 𝑚𝑣 + 𝑀. 0 = (𝑚 + 𝑀)𝑉 → 𝑉 =
𝑚𝑣
(𝑚 + 𝑀)
 
Onde 𝑉 é a velocidade do pêndulo balístico no momento 2. 
A partir do momento 2 até o momento 3, o pêndulo adquire uma velocidade 𝑉 e 
com isso atinge uma altura ℎ, formando um ângulo 𝜃 com a vertical. Nesse 
processo ocorre a conservação de energia mecânica, visto que toda a energia 
cinética do pêndulo é transformada em energia potencial gravitacional. 
𝐸𝑀 = 𝐸𝑀 → 𝐸 + 𝐸 = 𝐸 + 𝐸 → 
1
2
(𝑚 + 𝑀)𝑉 = (𝑚 + 𝑀). 𝑔. ℎ 
Podemos substituir o valor de 𝑉 na equação acima para encontramos a 
velocidade inicial 𝑣 da bolinha. 
1
2
(𝑚 + 𝑀)
𝑚 𝑣
(𝑚 + 𝑀)
= (𝑚 + 𝑀). 𝑔. ℎ → 𝑣 =
(𝑚 + 𝑀)
𝑚
2. 𝑔. ℎ 
Podemos reescrever ℎ em termos do comprimento do pêndulo e do ângulo 𝜃. 
 
Figura 2: momento 3, que representa o instante em que o pêndulo atinge sua altura máxima. Figura do 
autor. 
De acordo com a figura acima temos que: 
𝐿 = 𝑥 + ℎ , 𝑐𝑜𝑚 𝑥 = 𝐿 cos 𝜃 ∴ 𝐿 = 𝐿 cos 𝜃 + ℎ 
Isolando ℎ vamos obter: 
ℎ = 𝐿 − 𝐿 cos 𝜃 ∴ ℎ = 𝐿(1 − cos 𝜃) 
Substituindo o valor de ℎ na equação da velocidade, obtemos: 
𝑣 =
(𝑚 + 𝑀)
𝑚
2. 𝑔. 𝐿(1 − cos 𝜃) 
Com essa equação, podemos calcular a velocidade do projétil com base no 
ângulo formado pelo pêndulo. 
Também vamos calcular as incertezas das velocidades, definida como: 
𝜎 =
𝜕𝑣
𝜕𝑚
. 𝜎 +
𝜕𝑣
𝜕𝑀
. 𝜎 +
𝜕𝑣
𝜕𝐿
. 𝜎 +
𝜕𝑣
𝜕𝜃
. 𝜎 
Tendo em mentes as ideias vistas anteriormente podemos realizar o 
experimento. Para isso, vamos precisar de um pêndulo balístico, um gatilho, uma 
bolinha que servirá como um projétil, uma balança de cozinha e uma trena. 
 
Procedimento experimental 
Primeiramente, com auxílio da balança de cozinha, obtemos 𝑚 = (0,028 ±
0,001)𝑘𝑔 para a massa da bolinha e 𝑀 = (0,093 ± 0,001)𝑘𝑔 para a massa do 
pêndulo. Em seguida obtemos, com o auxílio da trena, 𝐿 = (0,24 ± 0,0005)𝑚 
para o comprimento do pêndulo. O pêndulo está fixado em um quarto de círculo 
que possui marcações de ângulos. Ao lado do pêndulo está fixado o gatilho, que 
possui três níveis de disparos. Pegamos a bolinha de metal, colocamos no 
gatilho e disparamos três vezes para cada nível de disparo. A bolinha de metal 
vai de encontro ao pêndulo promovendo uma colisão inelástica, na qual a bolinha 
se aloja no pêndulo. Após a colisão, o pêndulo sofre uma variação de altura ℎ e 
com isso, forma um ângulo 𝜃 com a vertical. 
Os ângulos obtidos para cada nível de disparo (do nível 1 ao 3) são 
respectivamente: 𝜃 = (34,00 ± 0,50)°, 𝜃 = (48,00 ± 0,50)° e 𝜃 = (63,00 ±
0,50)°. 
 
Tratamento de dados 
Com os valores dos ângulos, podemos calcular as velocidades 𝑣 , 𝑣 e 𝑣 . 
 𝑣 =
(0,028 + 0,093)
0,028
2(9,81)(0,24)(1 − cos(34°)) = 3,88
𝑚
𝑠
 
 𝑣 =
(0,028 + 0,093)
0,028
2(9,81)(0,24)(1 − cos(48°)) = 5,39
𝑚
𝑠
 
 𝑣 =
(0,028 + 0,093)
0,028
2(9,81)(0,24)(1 − cos(63°)) = 6,93
𝑚
𝑠
 
Agora, também podemos calcular as incertezas de cada velocidade. Para que 
os cálculos não fiquem muito extensos, vamos simplificar as equações e 
substituir os valores constantes. 
𝜎 =
𝜕𝑣
𝜕𝑚
. 𝜎 +
𝜕𝑣
𝜕𝑀
. 𝜎 +
𝜕𝑣
𝜕𝐿
. 𝜎 +
𝜕𝑣
𝜕𝜃
. 𝜎 
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente. Sabemos que apenas a 
variável 𝜃 vai mudar, dependendo de qual velocidade estaremos calculando a 
sua incerteza. 
𝜕𝑣
𝜕𝑚
𝜎 = −
𝑀
𝑚
2. 𝑔. 𝐿(1 − cos 𝜃) 𝜎 = (66256,133(1 − cos 𝜃))(0,000001) 
𝜕𝑣
𝜕𝑀
𝜎 =
1
𝑚
2. 𝑔. 𝐿(1 − cos 𝜃) 𝜎 = (6004,68(1 − cos 𝜃))(0,000001) 
𝜕𝑣
𝜕𝐿
 𝜎 = (1 +
𝑀
𝑚
)
2𝑔(1 − cos 𝜃)
2√𝐿
 𝜎 = (88,3104(1 − cos 𝜃))(0,00000025) 
𝜕𝑣
𝜕𝜃
𝜎 = (1 +
𝑀
𝑚
)
sin 𝜃 2𝑔𝐿
2 (1 − cos 𝜃)
𝜎 = (5,0866(1 + cos 𝜃))(0,25) 
 
Para calcular a incerteza agora, basta substituir o ângulo correspondente a cada 
velocidade em cada termo, soma-los e obter a raiz quadrada. 
𝜎 = 0,0113273 + 0,00102657 + 0,0000037744 + 2,325933 = 1,53
𝑚
𝑠
 
𝜎 = 0,0219221 + 0,00198676 + 0,0000120545 + 1,041703 = 1,07
𝑚
𝑠
 
𝜎 = 0,03617797 + 0,00327940 + 0,0000073048 + 1,848968 = 1,37
𝑚
𝑠
 
Depois de obter essas velocidades, vamos esboçar um gráfico da velocidade em 
função do ângulo. A tabela a seguir contém os pontos a serem usados: 
Ângulo (°) Velocidade (𝑚 𝑠 ) 
(34,00 ± 0,50)° (3,88 ± 1,53)𝑚 𝑠 
(48,00 ± 0,50)° (5,39 ± 1,07)𝑚 𝑠 
(63,00 ± 0,50)° (6,93 ± 1,37)𝑚 𝑠 
Figura 3: pontos que serão utilizados para o esboço do gráfico. 
Com esses valores, construímos um gráfico que está representado na figura 
seguir. 
 
Figura 4: gráfico da velocidade em função do angulo. Na horizontal, a escala é de 4 quadrados para cada 
15°. Na vertical, a escala é de 2 metros por segundo para cada 5 quadrados. 
Através desse gráfico podemos observar a dependência linear entre a 
velocidade e o ângulo. Sendo assim, podemos encontrar a equação da reta que 
possui forma 𝑣(𝜃) = 𝑎. 𝜃 + 𝑏. Pegando dois pontos arbitrários pertencentes a 
reta, podemos obter o coeficiente angular 𝑎. Depois disso, basta substituir os 
valores para obter o valor de 𝑏. 
Para o cálculo do coeficiente angular, pegamos os pontos 𝐴 = (35,63; 4,00) e 
𝐵 = (60,00; 6,70). 
𝑎 =
𝑣 (𝜃) − 𝑣 (𝜃)
𝜃 − 𝜃
=
4,00 − 6,70
35,63 − 60,00
≅ 0,11 
Agora, vamos obter o valor de 𝑏 substituindo o ponto (34,00; 3,88) na função. 
Vale ressaltar que o ponto foi escolhido de maneira aleatória. 
𝑣(𝜃) = 𝑎. 𝜃 + 𝑏 → 3,88 = 0,11(34,00) + 𝑏 → 𝑏 = 3,88 − 3,74 = 0,14 
Por fim, obtemos a seguinte função: 
𝑣(𝜃) = 0,11. 𝜃 + 0,14 
Conclusão 
Com base na análise do estudo do pêndulo balístico e nos conceitos de 
conservação de energia mecânica e momento linear, podemos encontrar a 
velocidade do projétil com base no ângulo formado pelo pêndulo. Vale ressaltar 
que utilizamos conceitos relativos ao pêndulo simples para o estudo do pêndulo 
balístico. Portanto, os valores encontrados para a velocidade do projétil são 
baseados em aproximações, sendo assim a velocidade encontrada pode ser um 
pouco diferente da velocidade real do projétil. Também temos que considerar a 
ação de forças dissipativas que influenciam no experimento. 
 
Referencias 
DE, C. Péndulo balístico. Disponível em: 
<https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_bal%C3%ADstico>. Acesso em: 31 jul. 2022. 
 FREDERICO. Pêndulo balístico. Dispositivo pêndulo balístico. Disponível em: 
<https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/pendulo-balistico.htm>. Acesso em: 31 jul. 2022.