Relatório - Pêndulo Balístico

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CENTRO DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA 
 
 
 
 
 
 
 
 
PÊNDULO BALISTICO, RELAÇÃO LINEAR 
ENTRE ÂNGULO E VELOCIDADE DO 
PROJÉTIL 
 
 
 
 
 
LEANDRO KLEM BARCELOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOVA FRIBURGO, 2018 
 
 
 
LEANDRO KLEM BARCELOS 
 
 
 
 
PÊNDULO BALISTICO, RELAÇÃO LINEAR 
ENTRE ÂNGULO E VELOCIDADE DO 
PROJÉTIL 
 
 
 
 
Relatório da experimentação da colisão 
inelástica entre um projétil e um pêndulo, 
proposto na disciplina Laboratório de Mecânica 
no curso de Licenciatura em Física do Centro 
Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow 
da Fonseca. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOVA FRIBURGO, 2018 
RESUMO 
 
 O experimento relatado tem por objetivo demonstrar a interdependência linear entre 
a velocidade inicial deu um projétil que atinge um pendulo, denominado pêndulo balístico, e o 
ângulo formado por sua variação máxima e sua posição natural. Através das medições 
realizadas, e dos pontos obtidos realizamos a linearização desses pontos, encontrando a reta 
𝑣(𝜃) = 0,10. 𝜃 + 0,26 que define a velocidade do projétil através do ângulo formado pelo 
pêndulo para variações não muito além das medidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
RESUMO ........................................................................................................................................ 3 
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 5 
MODELO TEÓRICO ......................................................................................................................... 5 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL .................................................................................................. 7 
TRATAMENTO DE DADOS .............................................................................................................. 8 
INCERTEZAS ................................................................................................................................... 8 
CONCLUSÃO .................................................................................................................................. 9 
REFERÊNCIAS ................................................................................................................................. 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(I) 
m 
 
INTRODUÇÃO 
 
 O pêndulo balístico é um sistema que consiste de um pêndulo de massa 𝑀 que está 
imóvel, e um disparador de dispara uma “bolinha” de massa 𝑚 a uma velocidade 𝑣. A colisão 
inelástica move o sistema até uma determinada altura ℎ e forma um ângulo 𝜃 com o eixo 
vertical. 
 Podemos observar esse experimento atentando-se aos conceitos de momento linear 
(também conhecido como momentum ou quantidade de movimento) e os de energia cinética, 
potencial e mecânica. 
 A colisão entre a esfera e o pêndulo é do tipo inelástica, que se caracteriza pela 
conservação do momento linear e pela não conservação da energia cinética, devido a 
dissipações ocorridas durante a colisão. Você pode se perguntar talvez sobre a ausência de 
forças externas. Mas, no momento da colisão, mesmo que por efeito da gravidade, a 
componente da velocidade que faz o sistema entrar em movimento é a horizontal e essa não é 
influenciada pela força gravitacional. 
 Após a colisão, não há conservação do momento pois a gravidade age sobre o sistema. 
Apesar da não conservação do momento, há conservação da energia e podemos utilizar disso 
para encontrar a elevação do pêndulo e o ângulo formado estudando a conversão de energia 
cinética em potencial. 
 Um fenômeno pode ser observado quando corremos e pulamos em um balanço. A 
pessoa que fizer isso pode notar que quanto maior for sua massa e velocidade, mais alto irá o 
balanço e maior será a variação do ângulo que a corda faz com a vertical. 
 As medidas e cálculos realizados nesse experimento tem como finalidade desenvolver 
um estudo concreto do movimento do pêndulo balístico, verificação dos fenômenos físicos 
envolvidos e construção de um gráfico que comprove a dependência linear entre a velocidade 
e o ângulo. 
 
MODELO TEÓRICO 
 
 Para o estudo do pêndulo balístico vamos considerar e analisar três momentos desse 
experimento. A seguir temos os esquemas que ilustram estas situações: 
 
 
 
 
 
 
M 
�⃗� 
(II) 
(III) 
h 
 
 Na situação (I) uma partícula de massa “m” dotada de uma velocidade “�⃗�” vem em 
direção a um pêndulo de massa “M” que estava em repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 A situação (II) ilustra a colisão perfeitamente inelástica entre os objetos. Como eles se 
acoplam podem ser considerados como um único corpo de massa “m + M” e de velocidade 
“�⃗⃗�”. 
Sabendo que de (I) para (II) temos uma colisão inelástica podemos usar o conceito de 
conservação do momento linear. 
𝑃𝑖 = 𝑃𝑓 
𝑚. 𝑣 + 𝑀. 0 = (𝑚 + 𝑀). 𝑉 ∴ 𝑽 =
𝒎
𝒎 + 𝑴
. 𝒗 
Podemos obter a velocidade �⃗⃗�” no instante (II) através da conservação do momento 
do sistema, apesar da conservação da quantidade de movimento não há conservação da 
energia mecânica por haver dissipação de energia durante a colisão. 
 
 
 
 
 
 Do instante (II) para o (III) o Pêndulo entra em movimento e sobe até uma altura “h”, 
formando um ângulo “𝜃” com o eixo vertical. Nesse processo a resultante das forças que 
atuam sobre o sistema não é nula, então não temos a conservação do momento linear. Porém 
há conservação da energia mecânica, transformando a energia cinética inicial em energia 
potencial gravitacional. 
𝐸𝑀𝑖 = 𝐸𝑀𝑓 
𝐸𝐶𝑖 + 𝐸𝑃𝑖 = 𝐸𝐶𝑓 + 𝐸𝑃𝑓 
1
2
. (𝑚 + 𝑀). 𝑉2 + 0 = 0 + (𝑚 + 𝑀). 𝑔. ℎ 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑉 =
𝑚
𝑚 + 𝑀
. 𝑣 
m + M 
�⃗⃗� 
𝜃 
�⃗� 
1
2
. (𝑚 + 𝑀) (
𝑚
𝑚 + 𝑀
. 𝑣)
2
= (𝑚 + 𝑀). 𝑔. ℎ ∴ 𝑣2 = (
𝑚 + 𝑀
𝑚
)2. 2. 𝑔. ℎ 
 Para encontrar uma relação com o ângulo podemos utilizar da relação entre o ângulo e 
a altura. 
 
 
 
 
 
 A partir dos conceitos de momento linear e energia mecânica foi possível estabelecer 
uma relação entre a velocidade inicial do projétil e o ângulo que o pêndulo formará com o eixo 
de sua posição natural. 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
 Para o experimento utilizamos um pendulo de comprimento 𝐿 = 0,245𝑚 acoplado a 
um semicírculo que possuía marcações em graus. A extremidade do pendulo possuía um 
formato de caixa, o que tem a função de fazer com que o projétil permaneça acoplado ao 
pêndulo. Fixado ao lado do pendulo estava um disparador com três opções de disparo. 
 Montado o sistema, o disparador foi engatilhado em cada uma de suas posições e 
foram realizados três disparos para cada gatilho. Ao ser acionado o disparador arremessou 
uma esfera metálica de massa 𝑚 = 28,2𝑔 ,que saia com uma velocidade “𝑣”. Após o 
lançamento o projétil atinge o pêndulo de massa 𝑀 = 93,0𝑔. 
 Depois da colisão inelástica entre a esfera e o pêndulo, ambos saem acoplados com 
velocidade “V”, sobem até uma altura “h” e forma um ângulo 𝜃. Dessas três grandezas só era 
necessário conhecer 𝜃. 
Realizamos três disparos para cada gatilho, depois de cada disparo mantínhamos o 
marcado do pêndulo na mesma posição para o disparo seguinte. Obtivemos três valores de 𝜃 
para cada gatilho, que foram respectivamente: 33°, 49° 𝑒 66°. Os ângulos foram medidos ao 
final de cada terceiro disparo com auxílio de um barbante fixado no eixo dopêndulo. 
As medições das massas foram realizadas em uma balança digital com incerteza de 
0,1g. Para poder manter a esfera em cima da balança utilizamos uma fita adesiva, colamos a 
fita na balança e medimos sua massa 𝑚𝑓 = 0,1𝑔, em seguida posicionamos a esfera e 
medimos a massa das duas juntas igual a 𝑚𝑓+𝑒 = 28,3𝑔, por último subtraímos a massa da fita 
e achamos a massa da esfera igual a 𝑚 = 28,2𝑔. 
Considerando o formato de “caixa” da extremidade do pêndulo, para descobrir seu 
comprimento medimos com uma régua com incerteza de 0,0005𝑚 o comprimento do 
pêndulo até o final da “caixa” de 𝐿1 = 0,264𝑚, medimos seu até o começo da “caixa” com 
𝐿2 = 0,225𝑚 e fizemos uma média. 
𝜃 
L 
h 
𝐿 = 𝐿. cos 𝜃 + ℎ 
ℎ = 𝐿 − 𝐿. cos 𝜃 
ℎ = 𝐿. (1 − cos 𝜃) 
𝑣2 = (
𝑚 + 𝑀
𝑚
)
2
. 2. 𝑔. 𝐿. (1 − cos 𝜃) 
|𝑣| =
𝑚 + 𝑀
𝑚
. √2. 𝑔. 𝐿. (1 − cos 𝜃) 
 
TRATAMENTO DE DADOS 
 
 A partir das medidas realizada e do modelo teórico podemos organizar uma tabela 
relacionando os valores de 𝑣 com os valores de 𝜃, substituindo os valores das constantes 
temos: 
𝑣 =
𝑚 + 𝑀
𝑚
. √2. 𝑔. 𝐿. (1 − cos 𝜃) =
28,2 + 93,0
28,2
. √2 . 9,81 . 0,245 . (1 − cos 𝜃 
𝜃 33° 49° 66° 
𝑣(𝜃) (3,8 ± 5,8 × 10−2)𝑚/𝑠 (5,5 ± 5,7 × 10−2)𝑚/𝑠 (7,3 ± 5,7 × 10−2)𝑚/𝑠 
 
 A pós conseguir esses pontos posicionamos eles em um gráfico com sistemas de eixos 
com abscissa 𝜃 e ordenada 𝑣(𝜃) sobre um papel milímetro. Com os pontos dispersados foi 
possível traçar uma reta arbitrária a eles. 
 Com a linearização desses pontos em mãos, selecionamos dois pontos pertencentes a 
reta 𝑣(44°) = 5,0𝑚/𝑠 e 𝑣(60°) = 6,58𝑚/𝑠 através deles podemos encontrar o coeficiente 
angular da reta “𝛾”, que vai ser a razão entre a velocidade e o ângulo. 
𝛾 =
𝑣(𝜃2) − 𝑣(𝜃1)
𝜃2 − 𝜃1
=
6,58 − 5,0
60 − 44
≅ 0,10 
 Onde a reta da linearização dos pontos tem coeficiente angular 𝛾 = 0,01 e termo 
independente 0,26, podendo ser escrita da seguinte forma: 
𝑣(𝜃) = 0,10. 𝜃 + 0,26 
INCERTEZAS 
 
 A incerteza do ângulo foi dada pala metade da menor medida, tal que 𝜎𝐿 = ±0,5° =
±30′; 
 A incerteza da massa do pêndulo “M” era a incerteza da balança digital 𝜎𝑀 = ±0,1𝑔; 
 A massa da esfera “m” foi dada pela diferença entre a massa da esfera e da fita com a 
massa da fita (𝑚 = 𝑚𝑒𝑓 − 𝑚𝑓), temos que a incerteza de m será dada por: 
𝜎²𝑚 = (
𝜕𝑚
𝜕𝑚𝑒𝑓
)
2
. 𝜎2𝑚𝑒𝑓 + (
𝜕𝑚
𝜕𝑚𝑓
)
2
. 𝜎2𝑚𝑓 
 
𝜎²𝑚 = (1)
2. 0,12 + (−1)2. 0,12 ∴ 𝜎𝑚 = ±0,1√2𝑔 
 O comprimento do pêndulo foi encontrado através da média de 𝐿1 𝑒 𝐿2, que foram 
medidas com uma régua de incerteza 0,0005m, da seguinte forma 𝐿 =
𝐿1+𝐿2
2
. A 
incerteza será dada por: 
𝜎²𝐿 = (
𝜕𝐿
𝜕𝐿1
)
2
. 𝜎2𝐿1 + (
𝜕𝐿
𝜕𝐿2
)
2
. 𝜎2𝐿2 
𝜎²𝐿 = (
1
2
)
2
. 0,00052 + (
1
2
)
2
. 0,00052 ∴ 𝜎𝐿 = ±
√2
2
. 5 × 10−4𝑚 
 A velocidade é dada por 𝑣 =
𝑚+𝑀
𝑚
. √2. 𝑔. 𝐿. (1 − cos 𝜃), por isso teremos que sua 
incerteza será dada por: 
𝜎2𝑣 = (
𝜕𝑣
𝜕𝑚
)
2
. 𝜎2𝑚 + (
𝜕𝑣
𝜕𝑀
)
2
. 𝜎2𝑀 + (
𝜕𝑣
𝜕𝐿
)
2
. 𝜎2𝐿 + (
𝜕𝑣
𝜕𝜃
)
2
. 𝜎2𝜃 
𝜎𝑣 = ± ((−
𝑀
𝑚2
√2. 𝑔. 𝐿. (1 − cos 𝜃))
2
. (0,1√2)
2
+ (
√2. 𝑔. 𝐿. (1 − cos 𝜃)
𝑚
)
2
. (0,1)2
+ (
𝑚 + 𝑀
𝑚
. √
𝑔. (1 − cos 𝜃)
2. 𝐿
)
2
. (
√2
2
. 5 × 10−4)
2
+ (
𝑚 + 𝑀
𝑚
. √
𝑔. 𝐿
2. (1 − cos 𝜃)
. sin 𝜃)
2
. (0,5)2)
1
2
 
 
𝜃 33° 49° 66° 
𝜎𝑣 ±5,8 × 10
−2𝑚/𝑠 ±5,7 × 10−2𝑚/𝑠 ±5,7 × 10−2𝑚/𝑠 
 
CONCLUSÃO 
 
 Através do estudo do pêndulo balístico, utilizando os conceitos de energia mecânica, 
momento linear e entre outros conseguimos encontrar a velocidade de cada projétil através 
do ângulo formado pela oscilação. Além de encontrar os valores das velocidades pudemos, 
através desses três resultados, linearizar esses pontos e a partir daí ter com certa precisão uma 
relação linear entre o ângulo e a velocidade para oscilações próximas as medidas. 
REFERÊNCIAS 
 
[1] HEWITT, Paul G. Física conceitual. 12.ed. Porto Alegre, RS: Bookman, 2015. 
 
[2] Sistema de Ensino Poliedro, Pré-Vestibular, Física-Livro 4, 2015.