4 - Otimização numérica

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1)Existem vários métodos de otimização numérica multidimensionais sem 
restrições que usam na solução de problemas a função derivada o gradiente e a 
matriz Hessiana. Leia e associe as duas colunas conforme as características dos 
métodos de otimização multidimensionais. 
 
 
 
Início da descrição. O quadro é formado por duas colunas e quatro linhas. A 
primeira coluna traz quatro opções: 1. Gradiente conjugado; 2. Gradiente 
descendente; 3. Newton�Raphson; e 4. Busca Seccionada. A segunda coluna 
traz também quatro opções: A. É uma otimização que utiliza a derivada de 2ª 
ordem, que faz a aproximação da função objetivo utilizando a série de Taylor, 
derivando em relação a x(k) e igualando a zero.; B. Utiliza a derivada de 1ª 
ordem, sendo que o gradiente aponta para a direção de maior variação da função 
objetivo. E na minimização, a direção da busca é determinada por ; C. Utiliza a 
derivada de 1ª ordem e combina o gradiente de iteração anterior com o gradiente 
da iteração atual. Tem, também, uma taxa de convergência quadrática. É uma 
otimização que utiliza a derivada de 2ª ordem, que faz a aproximação da função 
objetivo utilizando a série de Taylor, derivando em relação a x(k) e igualando a 
zero.; e D. Executa a busca em uma única direção por vez, e utiliza métodos 
unidimensionais de otimização em cada direção, buscando sempre o ponto 
mínimo. Fim da descrição. 
 
 Assinale a alternativa que traz a associação correta entre as duas colunas: 
 
 
• I-A; II-C; III-D; IV-B. 
• I-D; II-C; III-B; IV-A. 
• I-B; II-D; III-A; IV-C. 
• I-C; II-A; III-B; IV-D. 
• I-C; II-B; III-A; IV-D. Check CORRETO 
 
Resolução comentada: 
O método do gradiente utiliza a derivada de 1ª ordem e combina o gradiente de 
iteração anterior com o gradiente da iteração atual. Tem, também, uma taxa de 
convergência quadrática. O método do gradiente descendente utiliza a derivada 
de 1ª ordem, sendo que o gradiente aponta para a direção de maior variação da 
função objetivo. E na minimização a direção da busca é determinada por −∇𝑓(𝑥 
(𝑘)). Já o método de Newton-Raphson é uma otimização que utiliza a derivada 
de 2ª ordem, que faz a aproximação da função objetivo utilizando a série de 
Taylor, derivando em relação a x(k) e igualando a zero. O método da busca 
secante executa a busca em uma única direção por vez e utiliza métodos 
unidimensionais de otimização em cada direção, buscando sempre o ponto 
mínimo. 
 
2)A respeito dos métodos de otimização unidimensional ou com uma variável, é 
correto afirmar que: 
 
Alternativas: 
 
• Nos métodos baseados em informações sobre derivadas, as derivadas de 
segunda ordem da função objetivo (analíticas ou numéricas) encontram a 
localização do ponto ótimo. 
• São necessários devido ao fato primordial de que alguns problemas sem 
restrição são também unidimensionais, pois em alguns problemas as 
restrições são absorvidas, ou incorporadas, a um único ponto do conjunto 
de pontos. 
• Os métodos unidimensionais são relevantes porque, ao usarmos técnicas 
de otimização multidimensionais (duas ou mais variáveis), temos que 
efetuar poucas simulações e sem repetição, usando a resolução de um 
problema de otimização multidimensional até encontrar a solução 
adequada. 
• As otimizações unidimensionais não auxiliam na solução de problemas de 
otimização numérica, que apresentam um intervalo incerto ou 
desconhecido. 
• Métodos de otimização unidimensionais são importantes por serem casos 
especiais de métodos de busca usados em problemas com mais de duas 
variáveis, e são usados como parte de algoritmos multivariáveis 
gerais.checkCORRETO 
 
Resolução comentada: 
Métodos de otimização unidimensionais são importantes porque realmente são 
casos especiais de métodos de busca usados em problemas com mais de duas 
variáveis, e são usados como parte de algoritmos multivariáveis gerais, pois 
assim conseguimos efetuar poucas iterações. 
 
 
3) Todos os anos algoritmos de otimização para problemas de programação 
linear são usados para resolver problemas nas mais distintas áreas. Assim, as 
técnicas de solução, como o método de análise gráfica e o método simplex, são 
vastamente utilizados. Analise as afirmativas a seguir que tratam das 
características dos métodos de programação linear e identifique as corretas: I. 
Se usamos um problema de programação linear para modelar uma dada 
situação, então as suposições de divisibilidade, homogeneidade, determinismo 
e aditividade implicam manter pelo menos algum intervalo operacional previsto 
para as atividades. 
 
II. Os programas de programação linear representam vários sistemas de forma 
bastante satisfatória, e eles são capazes de fornecer uma grande quantidade de 
informações além de simplesmente uma solução. 
 
 III. Usar o método de representação gráfica é representar as restrições em 
alguns 
eixos coordenados ortogonais para delimitar a região em que as soluções viáveis 
são encontradas. 
 
IV. O método simplex tem como base o valor das restrições e das suas 
respectivas desigualdades, em vários pontos, e o procedimento consiste em 
procurar um ponto que melhore o valor anterior da função objetivo. 
 
São verdadeiras: 
 
• II e III, apenas. 
• I, II e III, apenas. Check CORRETO 
• III e IV, apenas. 
• I, II e IV, apenas. 
• I e II, apenas. 
 
Resolução comentada: 
A I é correta, pois as suposições de divisibilidade, homogeneidade, determinismo 
aditividade garantem a modelagem correta de um problema. A II é correta, pois 
o objetivo dos programas de programação linear representarem vários sistemas 
de forma bastante satisfatória, sendo capazes de fornecer uma grande 
quantidade de informações além de simplesmente uma solução ótima. A III é 
correta, porque usar o método de representação gráfica é representar as 
restrições em alguns eixos coordenados ortogonais, delimitando a região em que 
as soluções viáveis são encontradas. A IV é incorreta, pois com base no valor da 
função objetivo, em um ponto qualquer, o procedimento do método simplex 
consiste em procurar outro ponto que melhore o valor anterior. 
 
4)As diferenças entre os diversos algoritmos que tratam modelos de otimização 
multidimensionais encontram-se principalmente na maneira de se escolher a 
direção de busca, a qual partindo de um vetor de pontos inicial chega-se a um 
vetor que contém a solução do problema analisado. Tais algoritmos podem ser 
enquadrados em três grupos básicos: os que usam somente a função objetivo, 
os que usam a derivada de 1ª ordem, e os que usam a derivada de 2ª ordem. 
Verifique as afirmativas a seguir que tratam dos métodos de otimização numérica 
multidimensionais. 
 
I. Os métodos que usam somente a função objetivo (ou de ordem 0) para 
solucionar problemas, como o método de Hooke e Jeeves, adequa-se mais a 
problemas em que o número de variáveis de decisão é pequeno e o cálculo da 
função objetivo não exige procedimentos muito complexos. II. Os métodos de 1ª 
ordem são aqueles que utilizam na determinação da direção de busca o 
gradiente da função de busca. Entretanto, quando as derivadas são contínuas, 
seu desempenho é frequentemente inferior ao dos métodos de ordem 0 (que 
usam somente a função objetivo). III. Os métodos de 2ª ordem são aqueles que 
utilizam a matriz Hessiana da função objetivo (H). Porém, sua utilização está 
restrita aos problemas em que a função objetivo f é diferenciável até a segunda 
ordem. 
 
São verdadeiras: 
 
 
• I e II, apenas. 
• I e III, apenas.checkCORRETO 
• I, apenas. 
• II, apenas. 
• II e III, apenas. 
 
Resolução comentada: 
A afirmativa I é correta, pois métodos que usam somente a função objetivo (ou 
de ordem 0) para solucionar problemas, como o método de Hooke e Jeeves, 
adequam-se mais a problemas em que o número de variáveis de decisão é 
pequeno, sem exigir procedimentos muito complexos no cálculo da função 
objetivo. A II é incorreta, porque métodos de 1ª ordem são aqueles que utilizam 
na determinação da direção de busca o gradiente da função de busca. 
Entretanto, quandoas derivadas são contínuas, seu desempenho é 
frequentemente superior ao dos métodos de ordem 0. A III é correta, pois os 
métodos de 2ª ordem utilizam a matriz Hessiana da função objetivo (H). Porém, 
sua utilização está restrita aos problemas em que a função objetivo f é 
diferenciável até a segunda ordem, tornando-se não muito aconselháveis para 
ordens superiores. 
 
5)Sempre que buscamos encontrar uma solução que otimize um problema, 
estamos buscando encontrar uma solução que minimize ou que maximize uma 
função que traduz o mundo real. Assinale a alternativa correta que trata da 
otimização multidimensional sem restrições. 
 
Alternativas: 
 
• Na otimização de funções multidimensionais existem váriosalgoritmos 
capazes de solucionar a maioria dos problemas existentes, com rapidez 
e eficiência.checkCORRETO 
• Sempre escolhemos um único ponto, pertencente a um vetor das 
variáveis de decisão pertencentes a x 0 = [x1 x2 … xn] T . 
• Os métodos de otimização multidimensional buscam sempre encontrar a 
primeira de muitas soluções possíveis. Trata-se da utilização de métodos 
considerados rápidos e gulosos. 
• A otimização numérica multidimensional sem restrições depende somente 
de fator muito importante: que os métodos seja mrobustos, ou seja, da 
capacidade de encontrar a solução. 
• Na otimização multidimensional existe uma única condição necessária e 
suficiente para que o ponto estimado seja o minimizador da função 
objetivo estabelecida. 
 
Resolução comentada: 
Na otimização de funções multidimensionais existem vários algoritmos capazes 
de solucionar a maioria dos problemas existentes, com rapidez e eficiência – são 
as características principais dos métodos de otimização multidimensionais 
utilizados que não possuem restrição. 
 
6)Veja a seguinte afirmação sobre o conceito de otimização feita por Bazzo e 
Pereira (2006, p. 183), “[…] a Otimização é o processo que procura por uma 
solução que forneça o máximo benefício segundo algum critério”, Essa 
afirmação traz de forma sucinta uma definição dos processos de otimização 
numérica. BAZZO, W. A.; PEREIRA, L. T. do V. Introdução à engenharia: 
conceitos, ferramentas e comportamentos. p. 183. Florianópolis: UFSC (2006). 
Avaliando essa definição e também as características de aplicação da 
otimização, assinale a alternativa correta. 
 
Alternativas: 
 
• A otimização numérica busca resolver problemas discretos, contínuos e 
estocásticos, desde que se conheçam as capacidades e limitações dos 
métodos utilizados.checkCORRETO 
• Para que a otimização numérica seja utilizada, é necessário conhecer 
algoritmos de compilação numérica, que depois serão utilizados para 
construir o objetivo a ser atingido pela função de restrição. 
• A otimização numérica possibilita resolver problemas discretos, 
contínuos, porém para resolver problemas estocásticos é necessária a 
criação de algoritmos complexos. 
• A otimização numérica busca resolver problemas somente discretos. 
Problemas contínuos e estocásticos necessitam de otimização evolutiva. 
• A otimização numérica passa pelo processo denominado modelagem, 
que identifica as variáveis e as restrições. Porém, não necessita ainda 
tratar dos objetivos. 
 
Resolução comentada: 
A otimização numérica busca resolver problemas discretos, contínuos e 
estocásticos, desde que se conheçam as capacidades e limitações dos métodos 
utilizados. Conhecer as capacidades e limitações significa criar uma modelagem 
capaz de identificar corretamente os objetivos, as variáveis e as restrições do 
problema tratado. 
 
7)Sabemos que os métodos de otimização unimodal ou unidimensional são 
baseados na avaliação da função objetivo em diferentes pontos no intervalo em 
que se encontra o ponto viável, ou seja, no intervalo [a0, b0]. Também sabemos 
que escolhemos esses pontos buscando uma aproximação para encontrar o 
minimizador de função f, que deve ser alcançada com poucas avaliações. 
 
Leia e associe as duas colunas conforme os conceitos e formas de utilização dos 
métodos de otimização sem restrições. 
 
 
Início da descrição. O quadro é formado por duas colunas e quatro linhas. A 
primeira coluna traz quatro opções: 1. Bissecção; 2. Newton- Raphson; 3. Seção 
Áurea; 4. Fibonacci. A segunda coluna traz também quatro opções: A. Consegue 
efetuar de maneira interativa a redução do intervalo de incerteza, até que este 
intervalo apresente o resultado otimizado ou o ponto ótimo; B. A função objetivo 
f é avaliada em dois pontos intermediários do intervalo, escolhendo os pontos 
intermediários de maneira que a redução intervalar seja totalmente simétrica; C. 
Ele permite com sua utilização que em vez de se dividir o intervalo em pontos 
médios, seja traçada a partir de um ponto inicial uma tangente da derivada da 
função no ponto; D. É um método simples para reduzir sucessivamente o 
intervalo de incerteza baseado em avaliações da derivada. Fim da descrição. 
 
Assinale a alternativa que traz a associação correta entre as duas colunas: 
 
• I-B; II-A, III-D; IV-C. 
• I-B; II-C, III-B; IV-A. 
• I-C; II-B; III-A; IV-D. 
• I-D; II-C; III-B; IV-A. check CORRETO 
• -C; II-A; III-B; IV-D. 
 
Resolução comentada: 
O método da bissecção é um algoritmo simples para reduzir sucessivamente o 
intervalo de incerteza baseado em avaliações da derivada. O método de Newton 
tem a característica de permitir com sua utilização que em vez de se dividir o 
intervalo em pontos médios, seja traçada a partir de um ponto inicial uma 
tangente da derivada da função no ponto. No método de Seção Áurea a função 
objetivo f é avaliada em dois pontos intermediários do intervalo, escolhendo os 
pontos intermediários de maneira que a redução intervalar seja totalmente 
simétrica. E o método de Fibonacci consegue efetuar de maneira interativa 
aredução do intervalo de incerteza, até que este intervalo apresente o resultado 
otimizado ou o ponto ótimo.Início da descrição. 
 
 
O quadro é formado por duas colunas e quatro linhas. A primeira coluna traz 
quatro opções: 1. Bissecção; 2. Newton�Raphson; 3. Seção Áurea; 4. Fibonacci. 
A segunda coluna traz também quatro opções: D. É um método simples para 
reduzir sucessivamente o intervalo de incerteza baseado em avaliações da 
derivada; C. Ele permite com sua utilização que em vez de se dividir o intervalo 
em pontos médios, seja traçada a partir de um ponto inicial uma tangente da 
derivada da função no ponto; B. A função objetivo f é avaliada em dois pontos 
intermediários do intervalo, escolhendo os pontos intermediários de maneira que 
a redução intervalar seja totalmente simétrica; A. Consegue efetuar de maneira 
interativa a redução do intervalo de incerteza, até que este intervalo apresente o 
resultado otimizado ou o ponto ótimo. Fim da descrição. 
 
8) Muitos problemas aplicados importantes envolvem encontrar a melhor 
maneira de realizar alguma tarefa. Por vezes, isso envolve encontrar o valor 
máximo ou mínimo de alguma função: o tempo mínimo para fazer uma 
determinada jornada, o custo mínimo para realizar uma tarefa, a potência 
máxima que pode ser gerada por um motor, por exemplo. Muitos desses 
problemas podem ser resolvidos encontrando a função apropriada e, em 
seguida, usando técnicas de otimização numérica para encontrar o valor máximo 
ou mínimo necessário, por meio da modelagem. Porém, para que isso aconteça 
é necessário que: As variáveis assumam valores diferentes, possibilitando que o 
método de otimização tente encontrar os melhores valores para as variáveis. As 
restrições (coisas que são permitidas) sejam definidas corretamente, 
encontrando uma solução que realmente possa ser usada na vida real. Que a 
função objetivo consiga demonstrar o objetivo que se tem no problema de 
otimização, ou seja, o que se deseja maximizar ou minimizar. Que para 
diferentes tipos de problemas de otimização existentes, os mais simples ou os 
mais complexos (que exigem uma solução matemática) tenham como objetivo 
alcançar o ponto exato. 
 
São verdadeiras: 
 
• IIe IV, apenas. 
• I e III, apenas.checkCORRETO 
• II, III e IV, apenas 
• II, apenas. 
• I, apenas. 
 
Resolução comentada: 
A afirmativa I é correta, pois as variáveis, ao assumirem valores diferentes, 
possibilitam as interações para que o método de otimização encontre uma 
solução que possa ser usada na vida real. A II é incorreta, porque as restrições 
são coisas que não são permitidas, ou são limites. A III é correta, pois a função 
objetivo deve realmente demonstrar se a otimização deverá ser usada para 
minimizar ou para maximizar o problema. A IV é incorreta, porque a otimização 
não busca encontrar o ponto exato, mas sim o ponto ótimo, e consequentemente 
o valor também ótimo. 
 
9)Identifique com V (Verdadeiro) e F (Falso), as alternativas a seguir 
relacionadas com a forma padrão de um problema de programação linear que 
têm uma formulação matemática gerada para a solução do problema 
 
( ) As restrições de desigualdade das variáveis são não negativas. 
( ) A formulação matemática foi introduzida para facilitar o método de otimização 
do problema. 
( ) Tem a tarefa de achar a solução ótima de um problema, uma vez definido o 
modelo linear corretamente. 
( ) Tem que atender às condições básicas de linearidade, heterogeneidade e 
divisibilidade. 
 
Assinale a alternativa que contenha a sequência correta de V e F: 
 
 
• F – V – F – V. 
• F – V – F – F. 
• V – F – F – V. 
• V – V – F – V. 
• V – F – V – F. check CORRETO 
 
Resolução comentada: 
A primeira e a terceira afirmativas são verdadeiras. Veja a forma correta das 
afirmativas falsas: Segunda – A formulação matemática foi introduzida para 
transformar o problema real em uma linguagem matemática, para que pudesse 
ser utilizado um método de otimização do problema. Quarta – Tem que atender 
as condições básicas de linearidade, homogeneidade e divisibilidade. 
 
10) Nas últimas décadas observou-se um aumento no uso de algoritmos 
baseados em métodos determinísticos, estocásticos e principalmente em 
algoritmos evolutivos para solução de problemas, usando a otimização 
numérica. Isso porque esses métodos conseguem fornecer numericamente 
soluções para a maioria dos problemas. Acerca da utilização dos métodos de 
otimização numérica, avalie as seguintes alternativas. 
 
I. O correto funcionamento dos métodos determinísticos não depende da função 
objetivo, linear ou não linear. Depende do processo de identificação dos 
objetivos, das variáveis e das restrições, ou seja, depende da modelagem 
correta. 
 
II. Algoritmos baseados em computação evolutiva funcionam mesmo quando a 
função objetivo apresenta descontinuidades, pois são baseados em busca 
aleatória. 
 
III. Os métodos determinísticos buscam uma solução que depende do ponto 
inicial, já que a função objetivo deve ser discreta. Funções contínuas não 
apresentam bons resultados de otimização. 
 
 IV. Os métodos estocásticos geralmente são usados quando não existe a 
necessidade de a função objetivo ter uma representação matemática. E 
trabalham de maneira adequada para variáveis contínuas, discretas ou até 
mesmo para a combinação entre elas. 
 
São verdadeiras: 
 
• III e IV, apenas. 
• I, II e IV, apenas. Check CORRETO 
• II e III, apenas. 
• I, II e III, apenas. 
• I e II, apenas. 
 
Resolução comentada: 
A afirmativa I é correta, pois para que se possa utilizar os métodos 
determinísticos, é necessário que se faça a identificação dos objetivos, das 
variáveis e das restrições. Isso garantirá a correta identificação da função 
objetivo, determinando se ela é linear ou não linear. A II é correta, pois por serem 
baseados na busca aleatória, podem ser usados quando a função objetivo é 
descontínua. A III é incorreta, pois os métodos dependem de que a função 
objetiva seja contínua. A IV é correta, porque são usados realmente quando não 
existe uma função objetivo com representação matemática, podendo ser usados 
tanto para vaiáveis contínuas como para variáveis discretas. São métodos que 
fornecem uma estimativa dentro de um intervalo de confiança.