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1 DIDÁDICA DA MATEMÁTICA DIDÁDICA DA MATEMÁTICA 2 NOSSA HISTÓRIA A nossa história inicia-se com a ideia visionária e da realização do sonho de um grupo de empresários na busca de atender à crescente demanda de cursos de Graduação e Pós-Graduação. E assim foi criado o Instituto, como uma entidade capaz de oferecer serviços educacionais em nível superior. O Instituto tem como objetivo formar cidadão nas diferentes áreas de conhecimento, aptos para a inserção em diversos setores profissionais e para a participação no desenvolvimento da sociedade brasileira, e assim, colaborar na sua formação continuada. Também promover a divulgação de conhecimentos científicos, técnicos e culturais, que constituem patrimônio da humanidade, transmitindo e propagando os saberes através do ensino, utilizando-se de publicações e/ou outras normas de comunicação. Tem como missão oferecer qualidade de ensino, conhecimento e cultura, de forma confiável e eficiente, para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base profissional e ética, primando sempre pela inovação tecnológica, excelência no atendimento e valor do serviço oferecido. E dessa forma, conquistar o espaço de uma das instituições modelo no país na oferta de cursos de qualidade. 3 Sumário NOSSA HISTÓRIA ..................................................................................................... 2 Introdução .................................................................................................................. 4 O processo ensino-aprendizagem ........................................................................... 6 O papel da Didática ................................................................................................................. 8 A inserção da Didática na Pedagogia ...................................................................................... 9 Estratégias didáticas para o ensino de matemática ............................................ 12 Uso do material concreto ..................................................................................................... 12 Geometrias e formas – o uso do Tangram ........................................................................... 15 Resolução de problemas ....................................................................................................... 20 Modelagem matemática e projetos – uma articulação alternativa e viável ........................ 25 Referências .............................................................................................................. 28 4 Introdução De regras isoladas na sua origem, decorrente de experiências cotidiana e práticas as mais variadas, a atemática hoje é uma disciplina recheada de conteúdos igualmente os mais variados e com aplicabilidade em todo nosso sistema social. A matemática não é uma ciência isolada nem estática, muito pelo contrário, ela faz parte do cotidiano, é dinâmica, se relaciona com todas as outras ciências! Figura 1 – Conteúdos da matemática Atualmente, e para fins didáticos, a Matemática básica, integrante curricular da educação básica, costuma ser dividida nas seguintes áreas: a) Aritmética: é a área que estuda os números, bem como as operações existentes entre eles. Trata-se do ramo mais antigo da matemática. 5 b) Álgebra: estuda a manipulação de incógnitas, inseridas em equações e em outras formas algébricas. c) Trigonometria: estuda as funções trigonométricas e investiga as relações entre as medidas angulares de triângulos. d) Geometria: é o estudo das dimensões espaciais de figuras geométricas, tais como área e volume. Pois bem, veremos ao longo desse caderno, sugestões/estratégias para o ensino de matemática como o Tangran e a Resolução de Problemas, passando por reflexões acerca do processo ensino-aprendizagem e da inserção da Didática na Pedagogia. 6 O processo ensino-aprendizagem Para ‘aprender’ matemática é preciso saber ‘ensinar’ matemática e aqui ninguém melhor para nos levar a refletir sobre o processo ensinar-aprender do que Paulo Freire. “Quem ensina aprende ao ensinar. E quem aprende ensina ao aprender” (FREIRE, 1997). Não, não pensem que Paulo Freire ficou no campo da alfabetização, ele valorizou a cultura, a memória, os saberes, as matrizes culturais e intelectuais dos povos. Sua pedagogia dialógica, aquela na qual a educação acontece na base da comunicação entre as partes contribuiu sobremaneira para que as relações hoje aconteçam numa forma mais linear. Todos aprendem e ensinam. O professor não é mais o detentor do conhecimento, é um mediador, ele troca experiências e igualmente aprende com seus alunos! Alguns devem estar se perguntando: por que falar de Paulo Freire se o caderno trata de didática da matemática? Simples: A didática é uma disciplina que estuda o processo de ensino no qual os objetivos, os conteúdos, os métodos e as formas de organização da aula se combinam entre si, de modo a criar as condições e os modos de garantir aos alunos uma aprendizagem significativa. Ela ajuda o professor na direção e orientação das tarefas do ensino e da aprendizagem, fornecendo-lhe mais segurança profissional e tornando-o um mediador. E em que consiste o processo de ensino e aprendizagem? O princípio básico que define esse processo é o seguinte: o núcleo da atividade docente é a relação ativa do aluno com a matéria de estudo, sob a direção do professor. O processo de ensino consiste de uma combinação adequada entre o papel de direção do professor e a atividade independente, autônoma e criativa do aluno. 7 O papel do professor, portanto é o de: a) Planejar, selecionar e organizar os conteúdos. b) Programar tarefas. c) Criar condições de estudo dentro da classe. d) Incentivar os alunos para o estudo, ou seja, o professor dirige as atividades de aprendizagem dos alunos a fim de que estes se tornem sujeitos ativos da própria aprendizagem. Não há ensino verdadeiro se os alunos não desenvolvem suas capacidades e habilidades mentais, se não assimilam pessoal e ativamente os conhecimentos ou se não dão conta de aplicá-los, seja nos exercícios e verificações feitos em classe, seja na prática da vida. Podemos dizer, então, que o processo didático, é o conjunto de atividades do professor e dos alunos sob a mediação do professor, visando à assimilação ativa pelos alunos dos conhecimentos, habilidades e hábitos, atitudes, desenvolvendo suas capacidades e habilidades intelectuais. Nessa concepção de didática, os conteúdos escolares e o desenvolvimento mental se relacionam reciprocamente, pois o progresso intelectual dos alunos e o desenvolvimento de suas capacidades mentais se verificam no decorrer da assimilação ativa dos conteúdos. Portanto, o ensino e a aprendizagem (estudo) se movem em torno dos conteúdos escolares visando o desenvolvimento do pensamento, por meio da formação de conceitos e generalização. Essa forma de entender a atividade de ensino das disciplinas específicas requer do professor não apenas o domínio do conteúdo, mas, também, dos procedimentos investigativos da matéria que está ensinando e das formas de pensamento, habilidades de pensamento que propiciem uma reflexão sobre a metodologia investigativa do conteúdo que se está aprendendo. Ensinar, portanto, é adquirir meios do pensar, através dos conteúdos. Em outras palavras, é desenvolver nos alunos o pensamento teórico, que é o processo através do qual se revela a essência e o desenvolvimento dos objetos de 8 conhecimento e com isso a aquisição de métodos e estratégias cognoscitivas gerais de cada ciência, em função deanalisar e resolver problema (LIBÂNEO, 2008). O papel da Didática Nos termos refletidos acima, o papel da didática será então: a)Ajudar os alunos a pensar teoricamente (a partir da formação de conceitos). b)Ajudar o aluno a dominar o modo de pensar, atuar e investigar a ciência ensinada. c)Levar em conta a atividade psicológica do aluno (motivos). Por sua vez, a elaboração do planejamento de ensino inicia-se com as seguintes tarefas: a) Análise do conteúdo da matéria (estrutura conceitual básica): Identificar a relação geral que se aplica a manifestações particulares desse conteúdo. b) Dedução: formação de conceitos e operação com conceitos. Partir do conceito “nuclear” do assunto estudado (isto é, o princípio geral) para aplicação a problemas particulares. c) Domínio dos procedimentos lógicos do pensamento que têm caráter generalizante: captar a essência, o princípio interno explicativo do objeto e suas relações internas. d) Adquirir os métodos e estratégias cognitivas dos modos de atividades anteriores: o percurso investigativo de apreensão teórica do objeto. e) Análise da atividade psicológica: motivos e objetivos do aluno. 9 A inserção da Didática na Pedagogia A didática está inserida na pedagogia e tem a escola em todos os seus movimentos como “locus” para ação pedagógica. A pedagogia, enquanto ciência da educação, necessita de algumas ciências como a psicologia, a sociologia, a biologia, a filosofia, a história, entre outras, para completá-la; daí o seu “status” polissêmico, ou seja, a crise da disciplina didática. De modo geral, a palavra Didática se associa à arrumação, ordem, logicidade, clareza, simplificação e costuma, portanto, também conotar rigor, bitolamento, limitação, quadratura. Se ela adquiriu significados negativos, supõe-se que a origem deles esteja na práxis, ou seja, o exercício regular da Didática, em todos os níveis de ensino, seria responsável pelo seu desprestígio ou má fama. Realmente, muitos manuais de Didática estão cheios de itens e subitens, regras e conselhos: o professor deve, o professor não deve e ficam, portanto, muito próximos dos receituários ou listagens de permissões e proibições, tentando inutilmente disfarçar o seu vazio atrás de excessivo formalismo. Simplificando a questão, a didática é uma disciplina que estuda o processo de ensino no seu conjunto, no qual os objetivos, conteúdos, métodos e formas organizativas da aula se relacionam entre si de modo a criar as condições e os modos de garantir aos alunos uma aprendizagem significativa (LIBÂNEO, 2002). Em apartada síntese, a Didática cuida dos objetivos, condições e modos de realização do processo de ensino. São componentes da didática, considerados categorias do processo docente educacional, os seguintes: Problema - O primeiro componente do problema é denominado “encargo social” enquanto que a sociedade gesta as instituições educacionais com o fim de solucioná-lo apegado a necessidade de preparar cidadãos tanto no seu pensamento – desenvolvimento- como em seus sentimentos – educação – e atividade de trabalho - instrução - em correspondência com os valores mais importantes da mesma. 10 Objeto - objeto é a parte da realidade portadora do problema, é um aspecto do processo produtivo ou de serviços no qual se manifesta a necessidade de formar trabalhadores. A parte da realidade, portadora do problema, se localiza nas escolas ou organizações sociais que vem percebendo o fracasso que representa a forma de exercer a docência ou acompanhamento nos processos educacionais. Objetivo - O objetivo é a aspiração, o propósito que se quer formar nos estudantes, a instrução, a educação e o desenvolvimento de jovens, adolescentes e crianças, isto se cumpre na medida em que o educador popular se apropria da Concepção Metodológica Dialética (MCD). Conteúdo - se remete a um campo do saber, de uma ciência ou parte dela ou várias inter-relacionadas, onde se vai conseguindo através dos temas ou problemas que os próprios educadores vão levantando nas diferentes atividades. Método - é a ordem e sequência com que os estudantes se apropriam do conteúdo e atingem os objetivos; para isto se conta com a Lógica do Trabalho. Forma - A forma são os aspectos organizativos que estabelecem uma determinada relação dos estudantes e o professor. Assim, com o tempo correspondente ao conteúdo a apreender e o objetivo a alcançar, este componente também se enquadra na Lógica. Meio - O meio de ensino é o objeto, os recursos materiais para o trabalho como auxiliares do processo que servem de ajuda no desenvolvimento do processo, que auxilia no desenvolvimento do processo, situando-se também na Lógica. Resultado - resultado exprime as transformações alcançadas através do produto que se obtém no processo; em cada atividade se compartilham os frutos das práticas e se constroem novos desafios (BRASIL, 2005). 11 Figura 2 – Didática da matemática: uma corrente da educação matemática Anote aí: Uma situação didática seria o conjunto das diferentes formas que se organiza a aprendizagem. Uma situação didática envolve professor – aluno – conhecimento. Visa uma situação mais significativa para o aluno. Proporciona ao aluno conhecimentos vinculados a sua existência. O vínculo com a realidade ganha forma de conhecimentos contextualizados e ganha sentido para os aprendentes. 12 Estratégias didáticas para o ensino de matemática Uso do material concreto O material concreto é uma forma de exercitar as faculdades sintéticas e analíticas da criança, sintética no sentido de permitir ao aluno construir o conceito a partir do concreto; analítica porque, nesse processo, a criança deve discernir no objeto aqueles elementos que constituem a globalização (CASTELNUOVO, 1970, p. 72 apud FIORENTINI E MIORIM, 1990, p. 4). Uma característica do material concreto é que o objeto tem de ser móvel, que possa sofrer uma transformação para que a criança possa identificar a operação - que é subjacente. Peças recortadas em plástico, madeira, papel, papelão ou cartolina, bolinhas de gude, carretéis, palitos de picolé, uma maça, um bolo, são apenas alguns exemplos de materiais concretos utilizados em sala de aula para assimilação e compreensão da matemática. Outros materiais destacados por Fiorentini e Miorim (1990) são “material dourado”, os “triângulos construtores”, “material de equivalência” e os “cubos para composição e decomposição de binômios, trinômios”. Dentro da matemática, Ribeiro (2005) infere que há muitos exemplos de materiais concretos, os quais podem ser divididos em dois tipos: a) Os não-estruturados: - bolas de gude, carretéis, tampinhas de garrafa, palitos de sorvete e outros objetos do cotidiano - não têm função determinada e seu uso depende da criatividade do professor. É comum utilizá-los para trabalhar contagem e conceito de grupos e semelhanças nas séries iniciais. b) Os estruturados - apresentam ideias matemáticas definidas. Entre eles o material dourado, o material Cuisenaire e o tangram. O material dourado criado por Maria Montessori (1870-1952), era feito, inicialmente, com contas douradas (daí o nome). Havia contas soltas, que 13 representavam as unidades, e dez contas colocadas numa haste de arame. Ele foi modificado por um seguidor da educadora, que o construiu em madeira, como o encontramos hoje. O material é composto de cubinhos, barras, placas e um cubo grande. Ele pode também ser feito com papel quadriculado de 1 centímetro quadrado. Figura 3 – Material dourado Segundo Ribeiro (2005) alguns educadores preferem utilizar os termos cubinho para representar a unidade; barra para a dezena; placa para a centena; e cubão para o milhar. Essa liberdade permite fixar o valor 1 para peças diferentes, dandomargem ao estudo das frações. Se o professor disser que a barra vale 1, o cubinho passa a valer 1/10; a placa, 10; e o cubão, 100. Mas, se o cubão representar 1, o cubinho valerá 1/1000; a barra, 1/100; e a placa, 1/10. Útil para: explorar o sistema de numeração decimal, operações aritméticas, frações e decimais. O material Cuisinaire criado por Georges Cuisenaire (1891-1976), é composto de barras em forma de prismas quadrangulares, feitas de madeira, com cores padronizadas. Os comprimentos variam de 1 em 1 centímetro, indo de 1 a 10. Útil para: explorar sequência numérica; frações (o aluno identifica as relações entre a parte e o todo); coordenação motora; memória; análise-síntese; constância de percepção de forma, tamanho e cores (RIBEIRO, 2005). A maioria dos materiais se adapta a vários conteúdos e objetivos e a turmas de diferentes idades - da Educação Infantil ao final do Ensino Médio. Eles despertam a curiosidade e estimulam a garotada a fazer perguntas, a descobrir semelhanças e 14 diferenças, a criar hipóteses e a chegar às próprias soluções - enfim, a se aventurar pelo mundo da matemática de maneira leve e divertida (RIBEIRO, 2005). É importante frisar a necessidade de objetivo ao utilizar o material concreto. Exige-se para a utilização da maioria dos materiais concretos, além do planejamento, que a turma já tenha um conhecimento mínimo sobre o assunto. Entretanto, “Nada deve ser dado à criança, no campo da matemática, sem primeiro apresentar-se a ela uma situação concreta que a leve a agir, a pensar, a experimentar, a descobrir, e daí, a mergulhar na abstração” (MONTESSORI, 1940 apud FIORENTINI; MIORIM, 1990, p. 4). Segundo Dante (1999) é preciso desenvolver no aluno a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis para que ele possa propor boas soluções às questões que surgem em seu dia-a-dia, na escola ou fora dela. Familiarizar o aluno gradativamente com o método matemático, dotá-los de habilidades para lidar desembaraçadamente com os mecanismos do cálculo e dar- lhe condições para que mais tarde saibam utilizar seus conhecimentos em situações de vida real (DANTE, 1999). O professor deve estabelecer para cada aluno uma ponte entre o que ele já sabe e aquilo que vai aprender. Para que isso aconteça, as metodologias do professor devem ser diversificadas, indo do concreto (objeto ou imagem) ao abstrato; da rua à sala de aula; do óbvio (ou simples) ao complexo; do conhecimento à descoberta; da expressão ao pensamento; do animado ao fixo; da cópia à criatividade e do usual à arte (MENDONÇA; TANCREDI, 2002). Neste sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2000) reforçam que aprender e ensinar matemática no ensino fundamental requer do professor, três condições básicas que são: a) a identificação das características dessa ciência, seus métodos, ramificações e aplicações; b) conhecer a história de seus alunos, o que já conhecem informalmente e suas condições sociológicas, psicológicas e culturais; e, 15 c) ter clareza de suas concepções sobre a matemática, pois sua prática em sala de aula é baseada nessas suas concepções. É primordial para o aluno que se estabeleçam relações entre os conteúdos ensinados em sala de aula, o saber matemático e as aplicações no seu cotidiano, ou seja, eles precisam desenvolver uma inteligência prática, aplicável no dia-a-dia. Isto os levará a desenvolver a capacidade de lidar com as atividades que requeiram o uso da matemática (BRASIL, 2000). Além da disposição de professores e alunos, o caminho para se trabalhar matemática em sala de aula passa pelos recursos didáticos utilizados, caminho este, que não é identificado como único ou o melhor, pois conhecer as diversas possibilidades de trabalho em sala de aula é fundamental para o professor construir sua prática (BRASIL, 2000). Geometrias e formas – o uso do Tangram Uma das subdivisões da Matemática nos parâmetros curriculares nacionais é “Geometria e formas” (BRASIL, 1997). Nessa subdivisão o uso da recreação é explorado assiduamente, mas nem sempre o professor de matemática conhece algumas abordagens lúdicas ou as usa da melhor maneira, aproveitando ao máximo para motivar seus alunos e tornar as aulas mais agradáveis, interessantes e proveitosas. Figura 4 – Geometrias e formas 16 O Tangram é uma ferramenta ou recurso pedagógico de fácil acesso, que pode ser construído em sala de aula com uma simples folha de papel, proporcionando aos alunos, principalmente no ensino fundamental I, a oportunidade de entrar em contato com formas geométricas de forma prazerosa e adquirir inúmeros conhecimentos matemáticos. O Tangram é um puzzle que pode divertir toda a família. Não requer uma grande habilidade ou perícia - apenas paciência, tempo e, acima de tudo, imaginação! Há centenas de puzzles por peças ou figuras separadas em várias peças. O Tangram é o mais interessante de todos os puzzles por peças (CULTURA CHINESA, 2008). O Tangram foi amado por muitos pelo entretenimento, pela educação e pela ferramenta matemática. Diz-se que o Teorema de Pitágoras foi descoberto no Oriente com a ajuda de peças do Tangram. Enquanto a sua popularidade se estendeu até ao séc. XXI, o Tangram atraiu o interesse de muitos matemáticos e muitos artigos foram escritos. Computadores foram usados para mostrar as suas propriedades geométricas e para gerar mais puzzles. Atualmente o Tangram está a tornar-se novamente popular nos computadores pessoais de escolas e casas. Os programas do Tangram para o 'Macintosh' e 'Windows' permite aos utilizadores apreciar o Tangram com movimentos realísticos do rato, milhares de puzzles e várias ferramentas sem a frustração e sem perda de partes. O Tangram é um jogo atemporal amado e jogado por séculos. O Tangram é composto por sete peças de tamanhos diferentes, assim identificadas: T - triângulo retângulo grande; (2) TM - triângulo retângulo médio; (1) t - triângulo retângulo pequeno; (2) Q – quadrado; (1) P – paralelogramo (1) 17 Figura 5 – O Tangram e suas inúmeras combinações Sugere-se que os próprios alunos construam o seu tangram em sala de aula, pois assim irão familiarizando-se com as formas e já estarão desenvolvendo várias habilidades como a coordenação motora ao riscar e cortar suas figuras. Em aula anterior o professor solicita que providenciem o material necessário para a confecção do tangram: papel cartão ou EVA, régua, lápis preto e borracha. Abaixo Miranda (2008) mostra passo-a-passo a construção ou confecção do Tangram. 1º passo: Recorte o EVA ou o papel cartaz em forma de um quadrado: 2º Passo: Trace um seguimento de reta que vai do vértice b ao vértice h, dividindo o quadrado em dois triângulos iguais. 18 3º Passo: Para encontrar o ponto médio do seguimento de reta BH, pegue o vértice A e dobre até o seguimento BH o ponto de encontro do vértice A e do seguimento BH será o ponto médio de BH. 4º passo: Dobre o vértice J até o ponto D assim formando dois pontos, um no seguimento BJ e outro no seguimento HJ. 5º Passo: Trace uma reta perpendicular do ponto D ao seguimento EI. Agora trace um seguimento de reta que vai do vértice A ao ponto D, formando três triângulos. Agora trace um seguimento de reta do ponto E ao ponto I. 6º Passo: Trace dois seguimentos de reta paralelos ao seguimento DG e outro ao lado AH. Com o uso do tangram o professor pode trabalhar: 19 a) Identificação. b) Comparação. c) Descrição. d) Classificação. e) Desenho de formas geométricas planas. f) Visualização e representação de figuras planas. g) Exploração de transformações geométricas através de decomposição e composição de figuras. h) Compreensão das propriedades das figurasgeométricas planas. i) Representação e resolução de problemas usando modelos geométricos, noções de áreas. j) Frações (LIMA, 2008). Com as peças do Tangram pode-se construir mais de 1700 figuras diferentes, entre plantas, animais, objetos, letras, números, pessoas e figuras geométricas. Observa-se que o trabalho com o Tangram permite desenvolver algumas habilidades, as quais são importantes para a aquisição de conhecimento em outras áreas, tais como: a) Visualização / diferenciação. b) Percepção espacial. c) Análise / síntese. d) Desenho. e) Relação espacial. f) Escrita. g) Construção (LIMA, 2008). 20 O professor de matemática precisa se conscientizar que este quebra-cabeça tem sido utilizado como material didático nas aulas de Artes e precisa estar cada vez mais presente nas aulas de Matemática. O trabalho com o Tangram deve iniciar visando a exploração das peças e a identificação das suas formas (LIMA, 2008). Logo depois, se passa à sobreposição e construção de figuras dadas a partir de uma silhueta, nesse caso, cabe ao aluno reconhecer e interpretar o que se pede, analisar as possibilidades e tentar a construção. Durante todo esse processo, a criança precisa analisar as propriedades das peças do Tangram e da figura que se quer construir, se detendo ora no todo de cada figura, ora nas partes. A filosofia do Tangram é de que um todo é divisível em partes, as quais podem ser reorganizadas num outro todo, como a própria concepção de Malba Tahan sobre a matemática. As regras do principal jogo proposto no trabalho com Tangram consistem em usar as sete peças em qualquer montagem de reprodução de figuras, apresentadas em silhueta, utilizando as sete peças, colocando-as lado a lado sem sobreposição (LIMA, 2008). Resolução de problemas De acordo com Silveira (1999) um problema matemático é toda situação requerendo a descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-lo e/ou a invenção de uma demonstração de um resultado matemático dado. Um problema também é uma situação na qual um indivíduo deseja fazer algo, porém desconhece o caminho das ações necessárias para concretizar a sua ação. A partir dessas concepções de problemas, entende-se que existe um problema quando há um objetivo a ser alcançado e não se sabe como atingir esse objetivo. Nesse sentido, o professor pode passar ao aluno a ideia de que resolver um problema pode ser comparado a vencer um jogo. Para ambos é necessário entender o objetivo, conhecer as regras e saber selecionar as estratégias que devem ser 21 tomadas. É importante diferenciar esta noção de bom problema para o ensino de matemática com os desafios ao final dos capítulos de alguns livros didáticos ou dos rodapés de palavras cruzadas, revistas e almanaques, pois estes desafios ou charadas ou ainda “quebra-cabeças” tem por objetivo oferecer entretenimento e normalmente não exigem raciocínio dedutivo e levam à obsessão por respostas corretas (RAMOS et al, 2001). Ramos et al (2001) e Dante (2003) falam que os problemas matemáticos para o ensino de matemática podem ser divididos em quatro tipos: 1) Problemas de sondagem: para a introdução natural e intuitiva de um novo conceito. 2) Problemas de aprendizagem: para reforçar e familiarizar o aluno com um novo conceito. 3) Problemas de análise: para a descoberta de novos resultados derivados de conceitos já aprendidos e mais fáceis que os problemas de sondagem; e. 4) Problemas de revisão e aprofundamento: para revisar os tópicos já vistos e aprofundar alguns conceitos. De qualquer maneira, o ensino de Matemática torna-se muito mais interessante à medida que se utiliza de bons problemas ao invés de se basear apenas em exercícios que remetem a reprodução de fórmulas e se distanciam da realidade do aluno. Nesse sentido, temos como certo que para desenvolver a compreensão matemática é importante que as crianças construam o seu próprio conhecimento, estabeleçam ligações entre suas intuições, a linguagem informal e as operações a partir de um leque alargado de experiências (HIEBERT; CARPENTER, 1992 apud NUNES; SERRAZINA; SANTANA, 2017). No entanto, trabalhar a Matemática com compreensão não é tarefa fácil, mas, é possível, desde que se desenvolva no aluno a capacidade de formular e resolver problemas. Um dos objetivos principais do ensino e da aprendizagem matemática é fazer o aluno pensar produtivamente e, para isso, “nada melhor que lhe apresentar situações problemas que o envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las” (NUNES, 2015, p. 63). 22 Essa é uma das razões pela qual a resolução de problemas tem sido reconhecida no mundo como uma meta fundamental do ensino e da aprendizagem matemática. Bons problemas poderão proporcionar aos alunos a oportunidade de consolidar e ampliar seus conhecimentos e, se forem bem escolhidos, poderão vir a estimular a aprendizagem da Matemática. A Resolução de Problemas é apresentada nas orientações curriculares como um dos temas fundamentais da matemática, tanto na investigação quanto no desenvolvimento curricular. Defende-se nessas orientações curriculares que o problema é o ponto de partida de uma atividade matemática e um caminho para se fazer matemática. Com a resolução de problemas, o professor explora na atividade matemática, não a atividade em sim, mas seus resultados, as definições, as técnicas e demonstrações e estimula os alunos a questionarem sua própria resposta, o problema, transformando um dado problema numa fonte de novos problemas, ou seja, a resolução de problemas evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimento, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos. Ao focar a resolução de problemas, defende-se, na verdade, uma proposta baseada nos seguintes princípios: 1º. O ponto de partida não é a definição, mas sim o problema e todo o contexto nele envolvido bem como as estratégias para resolvê-lo; 2º. O problema não é um mero exercício mecânico, mas a estruturação e interpretação do enunciado; 3º. Utilizar-se dos conhecimentos adquiridos em uma resolução para outras resoluções, ou seja, fazer transferências e analogias; 4º. Construir conceitos novos a partir da resolução de um problema e que possam ser usados em outras situações e, por fim; 5º. Fazer da resolução de problemas uma orientação para utilização em outros contextos. 23 São características determinantes para sabermos se um problema é bom: a) Ser desafiador para o aluno deixando de ser problema-padrão, motiva e aumenta a curiosidade do aluno em querer pensar e procurar solucioná-lo. b) Ser real pois se utilizar perguntas muito artificiais, fora da realidade pode desmotivar, então, sendo real, despertará maior interesse no aluno. c) Ser interessante perguntas que envolvam música, esporte, televisão, com certeza envolverá muito mais o aluno. d) Ser o elemento desconhecido de um problema realmente desconhecido quando são fornecidos problemas como “O dobro da idade de Maria é igual...” não há elemento desconhecido e por dedução é só perguntar sua idade, não despertando a atenção no aluno. e) Não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas ou seja, o problema deve gerar vários processos de pensamento, levantar muitas hipóteses e propiciar várias estratégias, uma vez que o pensar e o fazer criativo, como dizem Dante, são componentes fundamentais no processo de resolução de problemas. f) Ter um nível adequado de dificuldades não pode estar além do nível da turma para não traumatiza-la em relação à matemática como um todo (DANTE, 2003). 24 Abaixo temos um exercício que ajuda a criança a construir questões e resolver problemas que envolvem acontecimentos do seu cotidiano.Observe o cardápio da lanchonete da escola. Com base nele, invente um problema e o resolva. Este é um modo de a própria criança inventar seus problemas. Isso as motivará a ler, observar, pensar, compreender e resolver os problemas. Além de oferecer uma infinidade de sugestões para serem resolvidas. São inúmeras as questões que podem surgir com esse cardápio, como por exemplo: a) Pedro levou R$5,00 reais para a escola. O que ele poderá comprar com esse valor? Vários produtos. b) Pedro pode gastar somente R$2,50. O que ele pode comprar e com quanto precisa voltar para casa? O troco, R$2,50. c) Se ele comprar um hambúrguer e um suco de laranja, quanto gastará? R$3,50 d) E se comprar um sorvete e um cachorro-quente com os R$5,00 reais, quanto sobrará de troco? R$3,25 LANCHES Cachorro-quente.......................................R$1,00 Hambúrguer.............................................R$2,50 Salgados...................................................R$0,80 Suco de laranja.........................................R$1,00 Misto-quente............................................R$2,00 Refrigerante.............................................R$0,50 Sorvete.....................................................R$0,75 25 Modelagem matemática e projetos – uma articulação alternativa e viável A modelagem matemática pode ser entendida como a habilidade de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real. Sendo o atual papel da educação matemática formar cidadãos aptos para o convívio em sociedade, respeitando as diferenças, agindo de forma crítica e reflexiva diante das situações cotidianas podemos usar a modelagem matemática na sala de aula para trabalhar a interdisciplinaridade, a transversalidade, mostrando ao aluno como a matemática pode ser útil em sua vida fora do ambiente escolar e como ela interage com as demais áreas do conhecimento. O aluno passa a perceber a importância da matemática para a compreensão de fenômenos naturais, como é possível “prever” alguns acontecimentos utilizando fórmulas e modelos e isso acaba despertando seu interesse pela ciência (RIGONATTO, 2020). Figura 6 – Roteiro para modelagem matemática 26 Articulada com a ideia de modelagem matemática, tem-se a alternativa de trabalho com projetos. Um projeto pode favorecer a criação de estratégias de organização dos conhecimentos escolares, ao integrar os diferentes saberes disciplinares. Ele pode iniciar a partir de um problema bem particular ou de algo mais geral, de uma temática ou de um conjunto de questões inter-relacionadas. Mas, antes de tudo, deve ter como prioridade o estudo de um tema que seja de interesse dos alunos, de forma que se promova a interação social e a reflexão sobre problemas que fazem parte da sua realidade. São situações a serem trabalhadas sob uma visão interdisciplinar, procurando-se relacionar conteúdos escolares com assuntos do quotidiano dos estudantes e enfatizar aspectos da comunidade, da escola, do meio ambiente, da família, da etnia, pluriculturais, etc. Para desenvolver o trabalho com projetos, o professor deve estabelecer os objetivos educativos e de aprendizagem, selecionar os conteúdos conceituais e procedimentais a serem trabalhados, preestabelecer atividades, provocar reflexões, facilitar recursos, materiais e informações, e analisar o desenvolvimento individual de cada aluno. Essa modalidade de trabalho pode ser muito educativa ao dar espaço para os alunos construírem e socializarem conhecimentos relacionados a situações problemáticas significativas, considerando suas vivências, observações, experiências, inferências e interpretações. Adotar a metodologia do trabalho com projetos pode possibilitar aos professores colocar em ação aulas investigativas, as quais permitem aos alunos o rompimento do estudo baseado em um currículo linear. Eles terão uma maior chance de ampliar seu raciocínio, rever suas concepções e superar suas dificuldades. Passarão a perceber a Matemática como uma construção sócio- histórica, impregnada de valores que influenciam a vida humana, aprenderão a valorizar o processo de criação do saber (BRASIL, 2006). Benefícios em trabalhar com a modelagem matemática: 1) Motivação dos alunos e do próprio professor; 2) O conteúdo matemático passa a ter significação, deixa de ser abstrato e passa a ser concreto; 27 3) Preparação para futuras profissões nas mais diversas áreas do conhecimento; 4) Desenvolvimento do raciocínio, lógico e dedutivo. Anote aí: São exemplos para articular os conteúdos estruturantes com os conteúdos específicos, em relações de interdependências que enriqueçam o processo pedagógico de forma a abandonar abordagens fragmentadas, como se os conteúdos de ensino existissem em patamares distintos e sem vínculos: No Ensino Fundamental, por exemplo, ao trabalhar os conteúdos de geometria plana, vinculado ao Conteúdo Estruturante Geometrias, o professor pode buscar em Números e Álgebra, mais precisamente no conteúdo específico equações, elementos para abordá-los. De outra forma, para explorar os conceitos de escalas, do conteúdo específico proporcionalidade, pode-se articulá-lo a outro conteúdo específico, geometria plana e introduzir a ideia de razão e proporção ao realizar atividades de ampliação e redução de figuras geométricas. Para o conteúdo específico estatística, os conceitos da álgebra também são básicos e possibilitam explorar os números decimais e fracionários presentes nas informações das pesquisas estatísticas. No Ensino Médio, no estudo dos conteúdos função afim e progressão aritmética, ambos vinculados ao Conteúdo Estruturante Funções, o professor pode buscar na matemática financeira, mais precisamente nos conceitos de juros simples, elementos para abordá-los. Os conteúdos função exponencial e progressão geométrica podem ser trabalhados articulados aos juros compostos (SEE/PR, 2008). 28 Referências BENEVENUTI, L. C.; SANTOSA, R. C. dos. Uso do tangram como material lúdico pedagógico na construção da aprendizagem matemática (2016). Disponível em: http://www.sbembrasil.org.br/enem2016/anais/pdf/6458_3698_ID.pdf BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1997. BRASIL, W. Didática crítica e experiência dialógica sob a influência freireana: práticas no ensino superior. V Colóquio Internacional Paulo Freire – Recife, 19 a 22- setembro 2005. BRASIL. Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006. 135 p. (Orientações curriculares para o ensino médio; volume 2). BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática. V.3. 2 ed. Rio de Janeiro: DP e A, 2000. CULTURA CHINESA. Tangram (2008). Disponível em: <http://www.chinaonline.com.br/antigo/artes_gerais/tangram/default.asp. DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática. São Paulo: Ática, 1999. DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática: 1ª à 5ª séries, para estudantes do curso de Magistério e professores do 1º Grau. 12. ed. São Paulo: Editora Ática, 2003. 29 FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no ensino da matemática. Texto extraído do Boletim da SBEM- SP, n. 7, de julho-agosto de 1990. Disponível em: <http://www.matematicahoje.com.br/telas/sala/didaticos/recursos_didaticos LIBÂNEO, J. C. Didática e didáticas específicas: para além do embate entre a didática e as didáticas específicas. In: VEIGA, Ilma P. A. e d´Ávila, Cristina M. (orgs.). Profissão docente: novos sentidos, novas perspectivas. Campinas (SP): Papirus, 2008. LIBÂNEO, J. C. Didáticae trabalho docente: como melhorar as aulas visando a aprendizagem dos alunos e a formação da personalidade. LIBÂNEO, J. C. Didática: velhos e novos temas. Edição do Autor, 2002. LIMA, M. Matemática lúdica – o uso do tangram (2008). 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