Exercícios 2 Calculo Integral

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Questão 1/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
"A função a seguir é definida por meio de duas sentenças, conforme mostrado abaixo, e sua continuidade poderá ser verificada por meio da aplicação do limite de uma função em torno do ponto x=3.
 {2x−1,se  x≤33x−4,se  x>3".
Fonte: Livro-base, p. 45
Considerando os conteúdos de aula e o livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral em relação à continuidade, a função f(x) definida acima é:
Nota: 10.0
	
	A
	Descontínua no ponto x=3.
	
	B
	Contínua para x>3 e descontínua para x≤3.
	
	C
	Descontínua para x>3 e contínua para x≤3.
	
	D
	Contínua no ponto x=3.
Você assinalou essa alternativa (D)
Você acertou!
Para verificar se uma função é contínua no ponto é necessário que a função esteja definida no ponto, que exista o limite da função nesse ponto e que, também, esse limite seja igual ao valor da função no ponto. Ou seja,
*A função está definida em x=3;
*O valor da função no ponto é igual a 5, isto é, f(3)=5;
*E o limite de f(x) existe, pois os limites laterais são iguais;
limx→3+ (3x−4)=5  e  limx→3− (2x−1)=5
Logo, limx→1 f(x)=5
Como os requisitos foram atendidos a função é contínua em x=3.
(Livro-base, p. 45)
	
	E
	Descontínua para x>3 e descontínua para x≤3.
Questão 2/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
"A primitiva  de uma função  num intervalo I obedece a seguinte relação: 
Seja  uma função definida no intervalo I".
Fonte: Livro-Base, p. 142.
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a primitiva de f(x) que satisfaz a relação F(1) = 6  é dada por:
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
(livro-base, p. 184-185)
Fonte: Livro-Base, p. 142.
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 3/10 - Cálculo Integral
A função  definida num intervalo I obedece a seguinte relação:  onde  é a sua primitiva.
Considere a função  tal que  onde c é uma constante.
Referência: Livro-Base, p. 142.
A função f(x) que satisfaz a integral indefinida mostrada acima é:
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
Fonte: Livro-Base, p. 142.
Questão 4/10 - Cálculo Integral
Do Teorema Fundamental do Cálculo: Seja   uma função contínua. A função  é derivável em  e g′(x)=ddx∫x0f(t)dt=f(x) 
Fonte: (LIVRO-BASE p. 142). 
A partir desse teorema, a função f(x) tal que  e  é
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Fonte: (LIVRO-BASE p. 142).
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 5/10 - Cálculo Integral
Uma função dada por f(x)=x21−5x2 é utilizada em situações em que os valores sejam limitados, ou seja, não cresçam além do limite L quando x→±∞. 
Referência: Livro-base, p. 52 a 60.
Nesse caso, o limite L dessa função é dado por L=limx→−∞x21−5x2 e é igual a
Nota: 10.0
	
	A
	-1/5.
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Para o cálculo deste limite, devemos colocar x2 em evidência no denominador, pois temos uma indeterminação do tipo +∞−∞. Assim, a expressão x21−5x2 pode ser escrita como x25x2(15x2−1)=15(15x2−1). Logo, 
limx→−∞x21−5x2=limx→−∞15(15x2−1)=1−5=−15.
Referência: Livro-base, p. 52.
	
	B
	1/5.
	
	C
	1.
	
	D
	-1.
	
	E
	5.
Questão 6/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
A função quadrática f(x)=3x2+6x+7 tem intervalos de crescimento e decrescimento por possuir ponto de mínimo.
Fonte: Livro-base, p. 111.
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, os intervalos de crescimento e decrescimento de f, respectivamente, são
Nota: 10.0
	
	A
	(−2,∞) e (−∞,−2).
	
	B
	(−1,∞) e (−∞,−1).
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento é necessário calcular os pontos críticos por meio da derivada e, na sequência, aplicar o Teste da Derivada Primeira. Observe que f′(x)=0⟺6x+6=0⟺x=−1. Logo, se x>−1, temos f′(x)>0, o que garante que a função é crescente no intervalo (−1,∞).  Por outro lado, se x<−1, 
então f′(x)<0, donde a função é decrescente em (−∞,−1). 
(Livro-base, p. 111).
	
	C
	(−3,∞) e (−∞,−3).
	
	D
	(−4,∞) e (−∞,−4).
	
	E
	(−5,∞) e (−∞,−5).
Questão 7/10 - Cálculo Integral
O gráfico da figura a seguir mostra o aumento da Força G de um avião experimental em função do ângulo de inclinação da aeronave. A força G, representada pela função f(x)=ex−1x, cresce exponencialmente quando a inclinação (x) da aeronave aumenta, no entanto, pode-se observar que a função possui um limite em torno de x=0.
O valor da Força G, em torno de x=0, é dado por limx→0 ex−1x, cujo valor é igual a:
(livro-base, p. 40-82).
Nota: 10.0
	
	A
	14
	
	B
	34
	
	C
	13
	
	D
	12
	
	E
	1
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
O limite em questão é um limite fundamental, sendo, portanto, igual a limx→0 ex−1x=1.
(livro-base, p. 40-82).
Questão 8/10 - Cálculo Integral
Leia o texto a seguir:
A função  f(x)=x2−3x+8 tem como gráfico uma parábola com concavidade voltada para cima e possui valor de mínimo que caracteriza um ponto crítico.
Fonte: Livro-base, p. 107.
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, o ponto crítico da função acima vale
Nota: 10.0
	
	A
	1/2.
	
	B
	3/2.
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Para resolver a questão, basta calcular a derivada da função e igualar a zero. Assim,
f′(x)=0⟺2x−3=0⟺x=32. 
(Livro-base, p. 107).
	
	C
	3/5.
	
	D
	3/4.
	
	E
	1/3.
Questão 9/10 - Cálculo Integral
Observe o enunciado a seguir:
A função senoidal  descreve o relevo de uma superfície irregular de um determinado cristal.
Livro-Base: p. 79.
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a partir do processo de derivação sucessiva, a derivada de segunda ordem da função apresentada a acima é igual a
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
Livro-Base: p. 79.
Questão 10/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado abaixo:
Muitas integrais podem ser resolvidas por meio do método da substituição de variáveis, como é o caso da seguinte integral: 
Livro-base p. 150.
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de cálculo diferencial e integral, o valor da integral I é igual a
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
Você assinalou essa alternativa (C)
Você acertou!
Livro-base p. 150.
	
	D
	
	
	E
	
Questão 1/10 - Cálculo Integral
O gráfico a seguir destaca uma região R delimitada pela curva 
Fonte: Livro-Base, p. 189.
Considere o gráfico acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral e responda: O volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelo gráfico da equação dada é igual a:
Nota: 10.0
	
	A
	
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
(Livro-Base, p. 189.)
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 2/10 - Cálculo Integral
Leia o texto:
Para resolver a integral indefinida 
∫(3+7x2)9.5x dx
devemos fazer a substituição u = 3 + 7x².
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da integral dada.
Nota: 10.0
	
	A
	57 .(3+7x2)9+C
	
	B
	73 .(5+3x2)11+C
	
	C
	35 .(7+3x2)8+C
	
	D
	5140 .(3+7x2)10+C
Você assinalou essa alternativa (D)
Você acertou!
Aplicando a substituição, temos:
∫(3+7x2)9.5x dxu=3+7x2→du=14xdx→114du=xdx114.5.∫u9du514.u1010+C5140.(3+7x2)10+C(livro−base, p. 135)
	
	E
	73.(7+5x2)9+C
Questão 3/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado abaixo:
Em uma pesquisa de modelagem matemática, obteve-se a expressão f(x)=x+2x4−9 que representa o comportamento de uma função em torno do ponto x0=2.
Fonte: Livro-base, p. 49.
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, nessa pesquisa, foideterminado o limite da função na vizinhança do ponto x0 e o seu valor é igual a
(Livro-base, p. 49).
Nota: 10.0
	
	A
	1/7.
	
	B
	1/4.
	
	C
	4/7.
Você assinalou essa alternativa (C)
Você acertou!
Para o cálculo do limite, basta substituir x0=2 na expressão que define f(x). Assim, 
limx→2f(x)=limx→2x+2x4−9=2+224−9=47.
(Livro-base, p. 49).
	
	D
	7/4.
	
	E
	4.
Questão 4/10 - Cálculo Integral
Em integrais do tipo  usa-se o método de integração por substituição trigonométrica e um dos casos considera a situação representada na figura a seguir: 
 
 Nesse caso,   com 
Considere a seguinte integral:
Referência: Livro-Base, p. 170.
A integral I, mostrada acima, é igual:
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Referência: Livro-Base, p. 170.
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 5/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
A região R limitada pela curva y=x2+2 e o eixo dos x, x=0  e  x=2   e por  ao ser rotacionada em torno do eixo dos x, gera um sólido de revolução dado por:V=π∫ba[f(x)]2dx   onde  a  e   b  são os limites de integração.
(Fonte: Livro-Base, p. 189).
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de cálculo diferencial e integral, o volume do sólido de revolução gerado na rotação descrita acima é igual a
Nota: 10.0
	
	A
	
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
(Livro-Base, p. 189).
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 6/10 - Cálculo Integral
Leia o fragmento de texto a seguir:
"No método de integração por partes, tem-se que ∫udv=uv−∫vdu, sendo u e v funções deriváveis num intervalo aberto. Considere a seguinte integral I=∫ln(x)dx."
Fonte: Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, p. 155.
(LIVRO-BASE p. 155)
De acordo com o fragmento acima e o livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a integral I vale:
Nota: 10.0
	
	A
	x(ln(x)−x)+c.
	
	B
	x(ln(x)+1)+c.
	
	C
	x(ln(x)−x2)+c.
	
	D
	x(ln(x)−3x)+c.
	
	E
	x(ln(x)−1)+c.
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
Aplica-se integração por partes da seguinte forma:u=ln(x); du=dxx; dv=dx e v=x. Com isso, ∫ln(x)dx=xln(x)−∫xdxx=xln(x)−∫dx=xln(x)−x+c=x(ln(x)−1)+c.
(LIVRO-BASE p. 155)
Questão 7/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado abaixo:
No método de integração por partes, tem-se que:  sendo  e  funções deriváveis num intervalo aberto.
Considere a seguinte integral:         
(Livro-base: p. 154-155)
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de cálculo diferencial e integral, a integral I vale:
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
(livro-base, p. 154-155)
Questão 8/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir e responda de acordo com o que aprendeu nas aulas e no livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral:
Calculando ∫f(x)dx, para f(x)=x3+4x+5 teremos o resultado igual a:
(Livro-base, p. 147)
Nota: 10.0
	
	A
	x44+2x2+5x.
	
	B
	x44+2x2+5x+C.
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Observe que ao calcular a integral indefinida de uma função polinomial devemos aumentar uma unidade no expoente da parte literal de cada termo, e dividir cada termo pelo resultado da soma desse expoente, o resultado será um polinômio com um grau a mais que a função inicial, como a integral é indefinida, teremos o acréscimo de uma constante. (livro-base, p.147)
	
	C
	x4+4x2+5x+C.
	
	D
	3x2+4+C.
	
	E
	x3+4x+5+C.
Questão 9/10 - Cálculo Integral
Do Teorema Fundamental do Cálculo: Seja   uma função contínua. A função  é derivável em  e g′(x)=ddx∫x0f(t)dt=f(x) 
Fonte: (LIVRO-BASE p. 142). 
A partir desse teorema, a função f(x) tal que  e  é
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Fonte: (LIVRO-BASE p. 142).
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 10/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
"A primitiva  de uma função  num intervalo I obedece a seguinte relação: 
Seja  uma função definida no intervalo I".
Fonte: Livro-Base, p. 142.
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a primitiva de f(x) que satisfaz a relação F(1) = 6  é dada por:
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
(livro-base, p. 184-185)
Fonte: Livro-Base, p. 142.
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 1/10 - Cálculo Integral
Leia o texto:
Para resolver a integral indefinida 
∫(3+7x2)9.5x dx
devemos fazer a substituição u = 3 + 7x².
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando esta informação e os conteúdos do livro-base Tópicos de cálculo I, sobre integrais, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução da integral dada.
Nota: 10.0
	
	A
	57 .(3+7x2)9+C
	
	B
	73 .(5+3x2)11+C
	
	C
	35 .(7+3x2)8+C
	
	D
	5140 .(3+7x2)10+C
Você assinalou essa alternativa (D)
Você acertou!
Aplicando a substituição, temos:
∫(3+7x2)9.5x dxu=3+7x2→du=14xdx→114du=xdx114.5.∫u9du514.u1010+C5140.(3+7x2)10+C(livro−base, p. 135)
	
	E
	73.(7+5x2)9+C
Questão 2/10 - Cálculo Integral
De acordo com os conhecimentos adquiridos em aula e no livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, leia as afirmações abaixo:
I. ∫20(3x2+2x+1)dx=33.
II. ∫21(x5+2x3+1)dx=1196.
III. A área sob curva f(x)=−x2+1 e o eixo x é igual a  43 u.a.
(Livro-base, p. 145 e 181)
É correto o que se afirma apenas em:
Nota: 10.0
	
	A
	I.
	
	B
	I e II.
	
	C
	II.
	
	D
	I e III.
	
	E
	III.
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
Observe que ao calcular a área limitada por uma função e o eixo x, devemos observar como se comporta a função e em quais pontos no eixo x ela toca. Como a área definida entre a função e o eixo x será definida para −1⩽x⩽1, portanto a integral será definida no intervalo −1⩽x⩽1. Seu valor será: ∫1−1(−x2+1)dx=−x33+x|1−1=43 u.a.
Resolvendo as integrais definidas, na alternativa I teremos que ∫20(3x2+2x+1)dx=14, e na alternativa II: ∫21(x5+2x3+1)dx=(x66+x42+x)|21=19 u.a.. (livro-base, p. 145)
Questão 3/10 - Cálculo Integral
Leia o fragmento de texto a seguir:
"No método de integração por partes, tem-se que ∫udv=uv−∫vdu, sendo u e v funções deriváveis num intervalo aberto. Considere a seguinte integral I=∫ln(x)dx."
Fonte: Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, p. 155.
(LIVRO-BASE p. 155)
De acordo com o fragmento acima e o livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, a integral I vale:
Nota: 10.0
	
	A
	x(ln(x)−x)+c.
	
	B
	x(ln(x)+1)+c.
	
	C
	x(ln(x)−x2)+c.
	
	D
	x(ln(x)−3x)+c.
	
	E
	x(ln(x)−1)+c.
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
Aplica-se integração por partes da seguinte forma:u=ln(x); du=dxx; dv=dx e v=x. Com isso, ∫ln(x)dx=xln(x)−∫xdxx=xln(x)−∫dx=xln(x)−x+c=x(ln(x)−1)+c.
(LIVRO-BASE p. 155)
Questão 4/10 - Cálculo Integral
Do Teorema Fundamental do Cálculo: Seja   uma função contínua. A função  é derivável em  e g′(x)=ddx∫x0f(t)dt=f(x) 
Fonte: (LIVRO-BASE p. 142). 
A partir desse teorema, a função f(x) tal que  e  é
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Fonte: (LIVRO-BASE p. 142).
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 5/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
"A função a seguir é definida por meio de duas sentenças, conforme mostrado abaixo, e sua continuidade poderá ser verificada por meio da aplicação do limite de uma função em torno do ponto x=3.
 {2x−1,se  x≤33x−4,se  x>3".
Fonte: Livro-base, p. 45
Considerando os conteúdos de aula e o livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral em relação à continuidade, a função f(x) definida acima é:
Nota: 10.0
	
	A
	Descontínua no ponto x=3.
	
	B
	Contínua para x>3 e descontínua para x≤3.
	
	C
	Descontínua para x>3 e contínua para x≤3.
	
	D
	Contínua no ponto x=3.
Você assinalou essa alternativa (D)
Você acertou!
Para verificar se uma função é contínua no ponto é necessário que a função esteja definida no ponto, que exista o limite da função nesse ponto e que, também, esse limite seja igual ao valor da função no ponto. Ou seja,
*A função está definida em x=3;*O valor da função no ponto é igual a 5, isto é, f(3)=5;
*E o limite de f(x) existe, pois os limites laterais são iguais;
limx→3+ (3x−4)=5  e  limx→3− (2x−1)=5
Logo, limx→1 f(x)=5
Como os requisitos foram atendidos a função é contínua em x=3.
(Livro-base, p. 45)
	
	E
	Descontínua para x>3 e descontínua para x≤3.
Questão 6/10 - Cálculo Integral
Em integrais do tipo  usa-se o método de integração por substituição trigonométrica e um dos casos considera a situação representada na figura a seguir: 
 
 Nesse caso,   com 
Considere a seguinte integral:
Referência: Livro-Base, p. 170.
A integral I, mostrada acima, é igual:
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Referência: Livro-Base, p. 170.
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 7/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado abaixo:
No método de integração por partes, tem-se que:  sendo  e  funções deriváveis num intervalo aberto.
Considere a seguinte integral:         
(Livro-base: p. 154-155)
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de cálculo diferencial e integral, a integral I vale:
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
(livro-base, p. 154-155)
Questão 8/10 - Cálculo Integral
Em integrais do tipo  usa-se o método de integração por substituição trigonométrica e um dos casos considera a situação representada na figura a seguir:
 
Nesse caso,  com 
Considere a seguinte integral:
Referência: Livro-Base, p. 170.
O valor da integral I, mostrada acima, é:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	
Referência: Livro-Base, p. 170.
	
	B
	
	
	C
	
Você assinalou essa alternativa (C)
	
	D
	
	
	E
	
Questão 9/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
A função f(x)=x33+3x2−7x+9 possui máximo e mínimo relativos que podem ser obtidos por meio das derivadas de f. 
Fonte: Livro-base, p. 106 e 107.
De acordo com o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, os pontos de mínimo e máximo relativos, respectivamente, são
Nota: 10.0
	
	A
	2 e -5.
	
	B
	1 e -7.
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Devem-se obter os pontos críticos de f e verificar se correspondem aos pontos de máximo ou mínimo relativos da função. Observamos que f′(x)=0⟺x2+6x−7=0⟺x=1 ou x=−7, o que garante que -7 e 1 são pontos críticos. Além disso, f′′(x)=2x+6.  Como f′′(1)=2⋅1+6=8>0, segue do Teste da Derivada Segunda que 1 é ponto de mínimo relativo de f. Por outro lado, já que f′′(−7)=2⋅(−7)+6=−8<0, o ponto -7 é máximo relativo de f. 
(Livro-base, p. 106 e 107).
	
	C
	3 e 4.
	
	D
	4 e 6.
	
	E
	7 e 9.
Questão 10/10 - Cálculo Integral
Leia o enunciado a seguir:
"O teorema do Valor Médio é descrito pela seguinte expressão:  onde f(x) é contínua e derivável no intervalo (a,b). No caso, considere a seguinte função  no intervalo [1,3]."
Fonte: livro-base, p. 104.
Considerando os conteúdos da aula e do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral,  a partir do teorema do valor médio, o valor de  que satisfaz esse teorema para a função f(x) é igual a:
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
(livro-base, p. 104)