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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MATO GROSSO – Campus Alta Floresta
Bacharelado em Zootecnia
EQUAÇÕES DO 1º E DO 2º GRAU
Prof. Mestre: Leonardo Angelo
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O que é uma equação? Equações são sentenças matemáticas que possuem incógnitas/variáveis e igualdade.
Aqui iremos estudar as equações do primeiro e do segundo grau.
-EQUAÇÃO DO 1º GRAU-
Definição: A sentença matemática da equação do 1º grau é ax + b = 0, em que a e b são números reais, e a é diferente de 0. 
O objetivo de escrever uma equação do 1º grau é encontrar qual é o valor da incógnita que satisfaz a equação. 
Esse valor é conhecido como solução ou raiz da equação.
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O que determina o grau de uma equação é o maior expoente da incógnita. 
Sendo assim, quando o expoente da incógnita possui grau 1, temos uma equação do 1º grau. 
Veja alguns exemplos a seguir: 
2x + 5 = 9 (equação do 1º grau com uma incógnita, x)
y – 3 = 0 (equação do 1º grau com uma incógnita, y)
5x + 3y – 3 = 0 (equação do 1º grau com duas incógnitas, x e y)
2x² + 4x = 0 e y³ - 2y = 0 são exemplos de equações com grau 2 e 3, respectivamente, não sendo, portanto, de 1º grau.
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Como resolver uma equação do 1º grau? 
O objetivo de resolver uma equação de primeiro grau é descobrir o valor desconhecido, ou seja, encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira.
Para isso, deve-se isolar os elementos desconhecidos em um dos lados da igualdade (1º membro) e os valores numéricos do outro lado (2º membro)
Quando um termo da equação mudar de lado da igualdade, devemos inverter a operação. Assim, se tiver multiplicando, passará dividindo, se tiver somando, passará subtraindo e vice-versa.
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Exemplo 1: Resolva as equações abaixo:
2x – 6 = 0
5y + 1 = -9
x – 4 = 5x + 2
-2(-x + 3) = -3x + 5
3y – 10 + 2y = 3y + 10
8t – 8 = 16 + 4t
9w – 4w + 10 = 7w - 30
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-SITUAÇÕES PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DO 1º GRAU-
Nesse caso, através do enunciado, podemos montar uma equação do 1º grau de acordo com os dados fornecidos pela questão.
Associamos uma variável (x, y, z, etc) ao valor desconhecido da questão para que posteriormente possamos encontrar seu valor.
Exemplo 2: Ana nasceu 8 anos depois de sua irmã Natália. Em determinado momento da vida, Natália possuía o triplo da idade de Ana. Calcule a idade das duas nesse momento.
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Exemplo 3: Um atleta da modalidade salto triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m numa prova e considerando os seus estudos, qual a distância alcançada no primeiro salto desse atleta?
Exemplo 4: O triplo de um número menos 4, resulta no dobro desse número mais 15. Que número é esse?
Exemplo 5: Um pacote do biscoito Saboroso custa R$ 1,25. Se João comprou N pacotes desse biscoito gastando R$ 13,75, qual o valor de N?
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-EQUAÇÃO DO 2º GRAU-
A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação polinomial cujo termo de maior grau está elevado ao quadrado. Também chamada de equação quadrática, é representada por:
Numa equação do 2º grau, o x é a incógnita e representa um valor desconhecido. Já as letras a, b e c são chamadas coeficientes da equação.
Note que a tem que ser diferente de zero, pois se for zero teríamos uma equação do primeiro grau.
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Resolver uma equação de segundo grau significa determinar os valores reais de x, que tornam a equação verdadeira. Esses valores são denominados raízes da equação.
Uma equação do segundo grau possui no máximo duas raízes reais.
Veja abaixo alguns exemplos:
x² - 2x = 0
3x² - 18x -9 = 0
x² - 16 = 0
-2x² + 4x = 4
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Equações do 2º Grau Completas e Incompletas:
As equações do 2º grau completas são aquelas que apresentam todos os coeficientes, ou seja a, b e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 0).
Por exemplo, a equação 5x2 + 2x + 2 = 0 é completa, pois todos os coeficientes são diferentes de zero (a = 5, b = 2 e c = 2).
Uma equação do segundo grau é incompleta quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0.
Exemplo 6: a) 2x² = 0 é incompleta, pois b=c=0;
b) 4x² - 2x = 0 é incompleta, pois c =0;
c) 3x² - 9 = 0 é incompleta, pois b=0.
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Como resolver uma equação do segundo grau? 
Diferente da equação do primeiro grau, para resolver uma equação do 2º grau temos que utilizar a famosa fórmula de Bhaskara.
Identificando os coeficientes a, b e c, aplicaremos a seguinte fórmula para achar o valor do delta (discriminante):
E, calculado o delta, agora encontraremos os possíveis valores de x dado pela fórmula:
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Obs: O delta (Δ) recebe o nome de discriminante e note que ele está dentro de uma raiz quadrada e, conforme sabemos, levando em conta os números reais, não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo.
Conhecendo o valor do discriminante, podemos realizar algumas afirmações a respeito da solução da equação do 2º grau:
→ discriminante positivo (Δ > 0): duas raizes distintas;
→ discriminante igual a zero (Δ = 0): duas raizes iguais;
→ discriminante negativo (Δ < 0): não admite solução real.
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Exemplo 7: Resolva, caso exista, as equações do segundo grau abaixo:
x² – x – 12 = 0
Resolução: Note que os coeficientes da equação são: a = 1; b= – 1 e c = – 12. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:
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b) x² - 4x - 5 = 0 
c) 2x² = 8
d) 3x² + 18x = 0
Método de solução para equações do tipo ax²+ c = 0
O método para determinar a solução de equações incompletas que possuem b=0 consiste em isolar a incógnita x, assim:
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Exemplo 8: Calcular 3x² -27 = 0
Método de solução para equações do tipo ax² + bx = 0
O método para determinar as possíveis soluções de uma equação com c =0, consiste em utilizar a fatoração por evidência. Veja: 
Logo a solução será: 
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Exemplo 9: Resolva a equação 5x² - 45x = 0.
Método da soma e produto das raizes: Soma e produto é um método prático para encontrar as raízes de equações do 2º grau (completa ou incompleta).
Utilizamos tal método quando o coeficiente a=1 ou quando ele é múltiplo dos coeficientes b e c.
Baseia-se nas seguintes relações entre as raízes:
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Onde:
x1 e x2: raízes da equação do 2º grau;
a, b e c: coeficientes da equação do 2º grau
Desta forma, podemos encontrar as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, se encontrarmos dois números que satisfaçam simultaneamente as relações indicadas acima.
Se não for possível encontrar números inteiros que satisfaçam as duas relações ao mesmo tempo, devemos utilizar outro método de resolução.
Exemplo 10: Resolver:
x2 - 7x + 12 = 0
3x2 - 21x - 24 = 0
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-EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO-
1- A quantidade de figurinhas que Renata tem mais 8 é igual ao dobro da quantidade de figurinhas que Rogério tem menos 12. Se Rogério possui 20 figurinhas, então determine o número de figurinhas que Renata possui.
R= 20
2- Raul e Kárita têm, juntos, R$ 210.000,00 para fazer um investimento. A quantia que Raul possui é três quartos da quantia que Kárita possui. Qual é o valor a ser investido por Kárita?
R=120.000,00
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3- Resolva as equações abaixo:
4x + 10 = -6 R: x=-4
4y + 2 = 38 R: y= 9
9a = 6a + 12 R: a = 4
5x – 1 = 3x + 11 R: x=6
2t + 8 = t + 13 R: t=5
4x + 10 = 45 – 3x R: x=5
x² + x – 6 = 0 R: x’=2 e x”=-3
-x² -4x +5=0 R: x’=-5 e x”=1
-3x² + 18x = 0 R: x’=0 e x”=6
 x2 - 14x + 51 = 0 R: Não existe solução
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 4- A multiplicação entre a idade de Kárita e a idade de Karla é igual a 374. Kárita é 5 anos mais velha que Karla. Quantos anos Karla e Kárita possuem, respectivamente?
R: Karla 17 anos e Kárita 22.
5- Se a equação x² - 10x + k = 0 tem uma raiz de multiplicidade 2, ou seja raiz dupla, determine o valor de k.
R: k = 25
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6- Uma região retangular teve as suas dimensões descritas em metros, conforme a imagem a seguir:
Determine o valor de x que faz com que a área dessa região seja igual a 21m².
R: x = 4m
217- A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero.
R: -4 e 3.
8- Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40.
R: 4
9- A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero.
R: -10 e 9.
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