Pontos Críticos

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Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB
Departamento de Ciências e Tecnologias - DCT
Disciplina: Cálculo II
Docente: Ana Paula Teles
Pontos Críticos
Julio Santos Gonçalves
Natane Silva Menezes
Jequié - Ba
Dezembro/2023
Pontos críticos de duas variáveis são os pontos onde uma função de duas
variáveis tem derivadas parciais iguais a zero ou não definidas. Esses pontos
podem ser de máximo, mínimo ou sela, dependendo do comportamento da função
em torno deles. Os pontos críticos de duas variáveis são importantes para o estudo
de otimização de funções, que busca encontrar os valores ótimos de uma função
sujeita a certas restrições.
Pontos críticos de duas variáveis são aqueles que satisfazem as seguintes
condições:
● A função é diferenciável em relação a x e y.
● A derivada parcial em relação a x ou y é igual a zero.
● A derivada parcial em relação ao produto de x e y é diferente de zero.
Para encontrar e classificar os pontos críticos de uma função de duas
variáveis, é preciso calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem,
montar a matriz hessiana e usar o critério da derivada segunda. Esse critério usa o
determinante da matriz hessiana para determinar se um ponto crítico é um ponto de
máximo, mínimo ou sela.
Um ponto crítico é um ponto de máximo se o determinante da matriz
hessiana é positivo e o elemento da diagonal principal é negativo. Um ponto crítico é
um ponto de mínimo se o determinante da matriz hessiana é positivo e o elemento
da diagonal principal é positivo. Um ponto crítico é um ponto de sela se o
determinante da matriz hessiana é negativo. Se o determinante da matriz hessiana
é zero, o critério da derivada segunda não se aplica e é preciso usar outros métodos
para classificar o ponto crítico.
Um ponto (x,y) é um ponto crítico de uma função f(x,y) se as derivadas
parciais de f em relação a x e y são iguais a zero ou não existem nesse ponto. Em
outras palavras, se:
Os pontos críticos são candidatos a serem pontos de máximo, mínimo ou
sela da função, mas para determinar isso é preciso usar outros critérios, como o da
derivada segunda ou o da matriz hessiana.
A matriz hessiana de uma função de duas variáveis é uma matriz quadrada
que contém as derivadas parciais de segunda ordem da função. Essa matriz
descreve a curvatura local da função e é útil para estudar problemas de otimização.
Para calcular a matriz hessiana de uma função f(x,y), basta derivar duas vezes a
função em relação a cada variável e organizar os resultados em uma matriz da
seguinte forma:
Por exemplo, se f(x,y) = x²y3, então a matriz hessiana é:
A matriz hessiana de uma função f(x,y) = f(x,y) é formada pelas segundas
derivadas parciais da função. Ela nos ajuda a analisar os pontos críticos de uma
forma mais direta do que usando as derivadas parciais.Para determinar se um ponto
crítico é um máximo ou mínimo local, podemos usar as seguintes regras:
● Se a matriz hessiana da função no ponto crítico tem determinante positivo,
então o ponto é um mínimo local.
● Se a matriz hessiana da função no ponto crítico tem determinante negativo,
então o ponto é um máximo local.
● Se a matriz hessiana da função no ponto crítico tem determinante zero, então
não podemos afirmar nada sobre o ponto.
Aprender pontos críticos de duas variáveis é importante para entender como as
funções podem ter máximos e mínimos locais, ou seja, valores extremos que podem
ser alcançados em um determinado domínio. Esses valores extremos podem ter
aplicações práticas em diversas áreas do conhecimento, como física, química,
biologia, economia, engenharia, etc.
Por exemplo, se você quiser saber qual é a temperatura máxima que uma
substância pode atingir em um recipiente fechado, você pode usar os pontos críticos
de uma função que relaciona a temperatura com o volume e a pressão da
substância. Essa função pode ter pontos críticos onde a temperatura é máxima ou
mínima no domínio do problema.
Outro exemplo é se você quiser saber qual é o lucro máximo que uma empresa
pode obter vendendo um produto em um mercado competitivo. Você pode usar os
pontos críticos de uma função que relaciona o preço do produto com a quantidade
vendida e o custo fixo da empresa. Essa função pode ter pontos críticos onde o
lucro é máximo ou mínimo no domínio do problema.
Referências Bibliográficas
STEWART, James, Cálculo, Vol. 2, Editora Thomson, 5a. edição, 2006.