Matemática - Livro 1-265-267

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que todo polígono regular é inscritível e circunscritível em
relação a circunferências de mesmo centro.
Exercícios resolvidos
14 Dois ângulos internos de um polígono convexo me-
dem 130°, e os demais ângulos internos medem 128°
O número de lados do polígono é:
A 6 b 7 C 13 D 16 E 17
Resolução:
Sendo n o número de lados desse polígono, do enun-
ciado temos que:
Si = 2 · 130° + (n 2) · 128°
Então, como Si = (n – 2) · 180° em todo polígono conve-
xo, encontramos a equação:
(n – 2) · 180° = 2 · 130° + (n – 2) · 128°
180°n – 360° = 260° + 128°n – 256°
180°n – 128°n = 260° – 256° + 360°
52°n = 364°
n = 7
Alternativa: B
15 Na figura a seguir, os segmentos AB e DE são parale-
los. Determine o valor de x sabendo que as medidas
dos ângulos de vértices B, C e D são, respectivamen-
te, expressas por: 2x + 10°, x + 10° e 2x – 10°.
C
B
DE
A
A 30°
b 40°
C 50°
D 60°
E 70°
Resolução:
De acordo com o quarto postulado da Geometria Eu-
clidiana, traçando uma reta perpendicular a uma reta
dada, determinamos quatro ângulos congruentes,
todos medindo 90°. Portanto, traçando uma perpendi-
cular às retas paralelas AB eDE, obtemos os pontos P
e Q, que são vértices de oito ângulos retos.
C
BP
Q
90°
90°
DE
A
Então, como os pontos P e Q determinam o pentágono
convexo PBCDQ, temos que a soma dos ângulos inter-
nos desse pentágono é: ��  + + + + = − ⋅ °P Q B C D (n 2) 180 ,
com n = 5.
Portanto:
90° + 90° + (2x + 10°) + (x + 10°) + (2x – 10°) =
= (5 – 2) · 180°
190° + 5x = 540°
5x = 350°
x = 70°
Alternativa E.
16 A figura apresenta um pentágono regular cujos lados
foram prolongados para formar o polígono estrelado
de ABCDE, que também é regular.
E B
A
CD
Determine as medidas α e β dos ângulos indicados
na gura
Resolução:
Como ABCDE é regular, há uma circunferência que
passa por todos esses pontos.
C
B
A
E
D
Traçando essa circunferência, observamos que α é
a medida de um ângulo nela inscrito. Portanto, como
o menor arco CD mede 360° : 5 = 72°, temos que
α = 72° : 2 = 36°
Como o ângulo de medida β é oposto pelo vértice
de um ângulo interno do pentágono regular, obtemos:
β = ⋅ ° = ° = °(5 2) 180
5
540
5
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MATEMÁTICA Capítulo 2 Princípios de Geometria Plana266
Revisando
1 Conhecidas como tetraminós, as formas geométricas a seguir são obtidas pela justaposição de quadrados congruen-
tes. Os tetraminós contagiaram o mundo nas décadas de 1980 e 1990, quando incorporaram um jogo eletrônico
chamado Tetris. Esse jogo foi inventado por dois professores e um aluno da Academia Russa de Ciências e ainda
hoje é muito popular em todo o mundo.
Só há cinco tipos diferentes de tetraminós, e cada um deles é composto de exatamente quatro quadrados:
Tetraminó reto Tetraminó em T
Tetraminó reverso Tetraminó quadrado
Tetraminó em L
Identique se há algum tipo de simetria de rotação (radial) e/ou reexão (bilateral) em cada tetraminó. No caso de a 
gura apresentar simetria de reexão, determine o número de eixos e, se a gura for invariante por rotações de menos
do que 360° em torno de seu centro, identique o menor ângulo possível para essas rotações
2 Considerando as definições dos quadriláteros a seguir, faça uma figura para representar cada um deles e indique as
características relevantes de seus ângulos internos e suas diagonais
I Trapézio isósceles: quadrilátero que possui duas bases paralelas e cujos lados não paralelos têm a mesma
medida
II Paralelogramo: quadrilátero que apresenta dois pares de lados paralelos
III Retângulo: quadrilátero em que dois lados adjacentes são sempre perpendiculares um ao outro.
IV Losango: quadrilátero cujos lados têm a mesma medida
V Quadrado: quadrilátero em que dois lados adjacentes são sempre perpendiculares um ao outro e que possui
todos os lados com a mesma medida.
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3 Um quadrilátero ABCD é tal que AB = AD, AB < BC e BC = DC.
a) Esboce esse quadrilátero e prove que os ângulos internos de vértices B e D têm a mesma medida.
) Trace as diagonais desse quadrilátero e indique as características relevantes destas.
c) Sendo E o ponto de interseção das diagonais desse quadrilátero, identifique todos os pares de triângulos con-
gruentes apresentados pelo quadrilátero ABCD e suas diagonais.
4 Encontre os complementos e os suplementos das seguintes medidas angulares:
a) 60°
) 38°
c) 22°30'
d) 8°45'12''