Matemática - Livro 3-211-213

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F
R
E
N
T
E
 3
211
forma uma parábola Na figura, estão nomeados dois
pontos dessa parábola: o vértice V, de coordenadas
( 2, 2), e o ponto P, de coordenadas (0, yP)
y
x
d
–3 –2 –1
–1
1
2
3
4
5
P (0, y
p
)
V
F
0 1
Determine as coordenadas de dois pontos quaisquer
dessa parábola que sejam diferentes de V e de P Em
seguida, calcule yP.
22 Fuvest 2014 Considere a circunferência l de equação
cartesiana x2 + y2 4y = 0 e a parábola a de equação
y = 4 x2.
a) Determine os pontos pertencentes à interseção
de l com a.
) Desenhe em um plano cartesiano a circunferên
cia l e a parábola a. Indique, no seu desenho,
o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem, si
multaneamente, as inequações x2 + y2 4y ≤ 0 e
y ≥ 4 x2.
23 ITA Sejam A(a, 0), B(0, a) e C(a, a), pontos do plano
cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas
alternativas a seguir, assinale a equação do lugar geo-
métrico dos pontos P(x, y) cuja distância à reta que
passa por A e B é igual à distância de P ao ponto C.
A x2 + y2 2xy 2ax 2ay + 3a2 = 0
b x2 + y2 + 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0
C x2 + y2 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0
D x2 + y2 – 2xy – 2ax – 2ay – 3a2 = 0
E x2 + y2 + 2xy – 2ax – 2ay – 3a2 = 0
24 ITA Considere a parábola de equação y = ax2 + bx + c,
que passa pelos pontos (2, 5), (–1, 2) e tal que a, b,
c formam, nesta ordem, uma progressão aritmética.
Determine a distância do vértice da parábola à reta
tangente à parábola no ponto (2, 5).
25 ITA 2016 Sejam S um subconjunto de R2 e P(a, b) um
ponto deR2. Define-se distância de P a S, d(P, S), como
a menor das distâncias d(P, Q), com Q ∈ S:
d(P, S) = min{d(P, Q)|Q ∈ S}
Sejam S1 = {(x, y) ∈R
2 | x = 0 e y ≥ 2} e S2 = {(x, y) ∈R
2 | y = 0}.
a) Determine d(P, S1) quando P(1, 4) e d(Q, S1) quando
Q( 3, 0).
) Determine o lugar geométrico dos pontos do pla-
no equidistantes de S1 e de S2.
26 IME 2012 É dada uma parábola de parâmetro p. Tra-
ça-se a corda focal MN, que possui uma inclinação
de 60o em relação ao eixo de simetria da parábola. A
projeção do ponto M sobre a diretriz é o ponto Q, e o
prolongamento da corda MN intercepta a diretriz no
ponto R. Determine o perímetro do triângulo MQR em
função de p, sabendo que N encontra-se no interior
do segmento MR.
27 Resolva graficamente a inequação |x| > 1.
28 Resolva graficamente a inequação |x y| ≤ 1
29 Resolva graficamente a inequação |x + y| < 1
30 Determine graficamente os pontos P do plano carte-
siano cujas coordenadas satisfazem a desigualdade:
|x| + y > 1
31 Determine graficamente os pontos P do plano carte-
siano cujas coordenadas satisfazem a desigualdade:
|x| + |y| ≤ 1
32 Determine graficamente os pontos do plano cartesia-
no cujas coordenadas satisfazem as desigualdades:
y 2 > 0 e |x| ≤ 1
33 Determine graficamente os pontos do plano cartesia-
no cujas coordenadas satisfazem as desigualdades:
1 < |y| < 2 e 1 < |x| < 3
34 Determine graficamente os pontos do plano cartesia-
no cujas coordenadas satisfazem a inequação produto
3x y + 6) (2x + 4y 12) < 0.
35 Determine graficamente os pontos do plano carte-
siano cujas coordenadas satisfazem a inequação
quociente
x y 1
2x y 2
0
+ −
+
≥ .
36 Determine graficamente os pontos do plano cartesia-
no que são soluções do sistema
x y 2
x y 1
0
y 0
+
− +
≤
≥




MATEMÁTICA Capítulo 10 Cônicas212
37 Fuvest 2017 Um caminhão deve transportar, em uma
única viagem, dois materiais diferentes, X e Y, cujos
volumes em m3 são denotados por x e y, respectiva-
mente. Sabe-se que todo o material transportado será
vendido. A densidade desses materiais e o lucro por
unidade de volume na venda de cada um deles são
dados na tabela a seguir.
Material Densidade Lucro
X 125 kg/m3 R$ 120,00/m3
Y 400 kg/m3 R$ 240,00/m3
Para realizar esse transporte, as seguintes restrições são
impostas:
I. o volume total máximo de material transportado
deve ser de 50 m3;
II. a massa total máxima de material transportado
deve ser de 10 toneladas.
Considerando essas restrições:
a) esboce, no plano cartesiano preparado a se-
guir, a região correspondente aos pares (x, y) de
volumes dos materiais X e Y que podem ser trans-
portados pelo caminhão;
y
0
10
10 20 30 40 50 60 70 80
20
30
40
50
60
70
80
x
) supondo que a quantidade transportada do
material Y seja exatamente 10 m3, determine a
quantidade de material X que deve ser transporta-
da para que o lucro total seja máximo;
c) supondo que a quantidade total de material trans-
portado seja de 36 m3, determine o par (x, y) que
maximiza o lucro total
38 ITA 2017 Sejam S1 = {(x, y) ∈ R
2 | y ≥ ||x| 1|} e
S2 = {(x, y) ∈ R
2 | x2 + (y + 1)2 ≤ 25} A área da região
S1 ∩ S2 é
A
25
4
2
π
− .
b
25
4
1
π
− .
C
25
4
p
D
75
4
1
π
− .
E
75
4
2
π
− .
39 FGV 2016 No plano cartesiano, a área do polígono de-
terminado pelo sistema de inequações
0 x 3
4x 12
3
y 2x 4
≤ ≤
+
≤ ≤ +




é igual a
A 12
b 12,5.
C 14.
D 14,5
E 15
40 Represente graficamente o conjunto dos pontos que
satisfazem simultaneamente as desigualdades:
x y 4
(x 2) (y 2) 4
1 y 3
2 2
2 2
+ ≥
− + − ≤
≤ ≤





CAPÍTULO Posições relativas no espaço
A Geometria é a área da Matemática que estuda formas, tamanhos e posições,
como vimos nos capítulos sobre Geometria Plana Euclidiana e Geometria Analítica.
Agora, conheceremos a Geometria Espacial.
Este capítulo é dedicado ao estudo das posições relativas entre as entidades
geométricas no espaço. Assim, será apresentado um novo vocabulário visando com
plementar o que já foi estabelecido pela Geometria Plana, bem como alguns novos
conceitos inerentes ao espaço tridimensional.
Sem esse vocabulário e esses conceitos, caria difícil denir os formatos das gu
ras sólidas ou compreender as expressões usadas para calcular as grandezas métricas
próprias dessas guras.
11
FRENTE 3
g
u
s
ta
v
o
fr
a
z
a
o
/i
S
to
c
k
p
h
o
to
.c
o
m