AOL 2 - Cálculo Integral

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AOL 2 – Cálculo Integral 
 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1Crédito total dado 
/1 
As funções circulares são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e podem ser 
categorizadas entre dois grupos, aquelas que são diretas e as que são inversas. 
Considerando essas informações e tendo em vista os conhecimentos acerca das funções 
circulares, analise as afirmativas a seguir: 
I. Sen(x) e Log(x) são funções circulares. 
II. As funções trigonométricas são circulares. 
III. As funções inversas são funções circulares. 
IV. x²+y² = 25 é uma função circular. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
II e III. 
Resposta correta 
2. 
I e IV. 
3. 
I, III e IV. 
4. 
II, III e IV. 
5. 
II e IV. 
2. Pergunta 2 
/1 
Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, podemos 
constatar que, quanto menor o denominador, maior o resultado dessa divisão, pois 
menor seria o número de parcelas dessa divisão. No Ensino Superior, nas disciplinas de 
Cálculo, estudamos isso através dos limites, onde aproximamos nossas funções para um 
ponto em que x tende a algum valor (nesse caso, a zero). No entanto, algumas funções 
apresentam indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir dessas 
indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das funções para 
o cálculo do limite desconhecido. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a regra de 
L’Hospital, analise as afirmativas a seguir: 
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1. 
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2. 
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito. 
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma 
indeterminação, não podendo ser aplicada a qualquer caso, pois poderia gerar respostas 
incorretas. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II, III e IV. 
Resposta correta 
2. 
III e IV. 
3. 
I, II, III e IV. 
4. 
I, II, III. 
5. 
II, e IV. 
3. Pergunta 3 
/1 
Saber calcular o valor de uma derivada é fundamental para o estudo de cálculo integral, 
já que este valor possui um significado prático para análise da curva do gráfico de uma 
determinada função que indica uma taxa de variação instantânea. Isso pode significar 
encontrar uma taxa de variação referente a outra função ou algo similar, o que implica 
na possibilidade de se aplicar a operação reversa à derivada. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integral indefinida, pode-
se afirmar que aplicar a operação inversa à derivada é relevante porque: 
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1. 
vale para qualquer tipo de função e intervalo. 
2. 
tem uma interpretação geométrica diferente da derivada. 
3. 
elimina indeterminações em que a regra de L’Hospital falha. 
4. 
permite determinar a função primitiva de uma derivada, ou seja, a função que a 
gerou. 
Resposta correta 
5. 
passa a ser possível derivar outros tipos de funções. 
4. Pergunta 4 
/1 
Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações são inversas. 
Ou seja, tendo uma função f(x), a integral de sua derivada f’(x) é a própria f(x). A esta 
constatação damos o nome de Teorema Fundamental do Cálculo. Já fisicamente, a 
derivada significa uma taxa de variação, ou seja, um coeficiente angular de uma reta 
tangente à curva em um dado ponto da função, enquanto a integral representa a área sob 
a curva do gráfico da função em um intervalo definido. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema Fundamental 
do Cálculo e as propriedades de derivação e integração, analise as afirmativas a seguir. 
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − 
sen(x). 
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos a expressão 
obtida por 9 vezes, obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem. 
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x). 
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e III. 
2. 
II e IV. 
3. 
I e II. 
4. 
II e III. 
5. 
I, II e III. 
Resposta correta 
5. Pergunta 5 
/1 
A Regra de L’Hospital contribui para a solução de algumas categorias de 
indeterminações. Com essa regra tenta-se resolver o que não é solucionável apenas com 
a aplicação de um limite. Ela pode ser aplicada, também, inúmeras vezes, caso as 
indeterminações se mantenham, até o momento em que cessam. 
Considerando essas informações e com base em seus conhecimentos sobre a regra de 
L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para 
a(s) falsa(s): 
I. ( ) Indeterminações do tipo 1/0 podem ser resolvidas por essa regra. 
II. ( ) Em determinações do tipo 0/0, pode-se utilizar a regra de L’Hospital. 
III. ( ) Em determinações do tipo infinito/infinito, pode-se utilizar a regra de L’Hospital. 
IV. ( ) A sua aplicação envolve um processo de integralização. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
V, V, V, F. 
2. 
V, V, F, V. 
3. 
F, F, V, V. 
4. 
F, F, F, V. 
5. 
F, V, V, F. 
Resposta correta 
6. Pergunta 6 
/1 
O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações geométricas acerca 
das curvas de funções. A inclinação da reta tangente à curva é definida pela derivada da 
função, e a integral da função mensura a área abaixo da curva que a descreve. 
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com base nos 
seus conhecimentos acerca de funções e interpretação geométrica dos conceitos 
estudados em cálculo diferencial e integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer ponto é igual 
a 2. 
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo eixo Ox, 
pelas retas y = 0, y = 2 e pelo gráfico de g(x). 
III. ( ) h(x) é uma função. 
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, V, F. 
2. 
F, F, V, V. 
3. 
V, V, F, F. 
4. 
V, V, V, F. 
5. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
7. Pergunta 7 
/1 
O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em 
física, é utilizado para descrever as equações horárias de movimento, que são funções 
polinomiais. Essas funções polinomiais podem ser integradas e derivadas conforme o 
estudo de cálculo integral para, a partir daí, obter outros conhecimentos. 
Considere que a integral da equação horária da aceleração a(t) é igual à equação horária 
da velocidade v(t), e a integral desta é igual à equação horária do movimento S(t). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivação, analise as 
afirmativas a seguir. 
I. Em movimentos em que a(t) é uma função constante e não nula, S(t) é uma função do 
primeiro grau. 
II. Para a função horária S(t) = cos(x), a aceleração a(t) também é a(t) = cos(x). 
III. Se a velocidade de um corpo é de 4 m/s e constante, pode-se afirmar que S(t) é uma 
função do primeiro grau. 
IV. Dada a equação horária da posição S(t) = x² + 2x − 3, tem-se que v(2) = 6m/s e que 
a aceleração é constante e vale 2m/s². 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
III e IV. 
Resposta correta 
2. 
II, III. 
3. 
I, II e IV. 
4. 
I, II, III. 
5. 
II e IV. 
8. Pergunta 8 
/1 
O cálculo está muito associado com a ideia de zero e do infinito e, para lidar com esses 
conceitos, muitas vezes faz-se uso de instrumentose temas sofisticados. O próprio 
limite é um desses conceitos referenciados, pois consegue explorar com perfeição a 
ideia de proximidade e, com isso, proporciona inúmeros ganhos ao conhecimento 
humano, assim como o conceito e instrumento matemático chamado de diferencial. 
Considerando essas informações e os estudos sobre o conceito de diferencial, pode-se 
afirmar que ele é relevante porque: 
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1. 
é útil na aplicação da regra de L’Hospital. 
2. 
está relacionado com a ideia de infinitésimo. 
Resposta correta 
3. 
relaciona uma função trigonométrica com sua função inversa. 
4. 
é pouco útil para a fundamentação do cálculo. 
5. 
torna dispensável o uso do limite. 
9. Pergunta 9 
/1 
De acordo com Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral e a derivada 
são operações contrárias. As integrais indefinidas são extremamente importantes para a 
determinação da função primitiva F(x), que é obtida realizando a integração da função 
de interesse f(x), sendo que, da mesma forma, derivando-se a primitiva F(x), obtemos 
novamente a f(x). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de integrais definidas, 
analise as afirmativas a seguir. 
I. A propriedade define uma regra para integração de polinômios. 
II. As integrais indefinidas podem delimitar várias famílias de respostas para o 
problema de função primitiva. 
III. Uma integral indefinida é delimitada a partir de uma função primitiva. 
IV. é um exemplo de integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e III. 
2. 
II, III e IV. 
3. 
I, II e III. 
Resposta correta 
4. 
I, III e IV. 
5. 
I e IV. 
10. Pergunta 10 
/1 
Do círculo trigonométrico de raio 1 extrai-se muitas relações importantes para a 
matemática, sem usar uma ideia mais rebuscada, como a de limite. Porém, também é 
possível extrair novas relações quando se alia o estudo de limites à trigonometria. Um 
exemplo disso é o limite fundamental trigonométrico. 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre o tópico, pode-se afirmar 
que o limite fundamental trigonométrico é relevante para o cálculo porque: 
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1. 
torna dispensável a utilização do círculo trigonométrico. 
2. 
relaciona um sen(x) com um arco x, obtendo um valor 1 da razão entre esses dois 
elementos. 
Resposta correta 
3. 
as relações trigonométricas deixam de valer quando se aplica o limite. 
4. 
relaciona a tg(x) com a cossec (x), de tal forma que sua razão valha 1. 
5. 
torna dispensável a utilização de qualquer outro limite.