AOL 3 CÁLCULO INTEGRAL

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AOL 3 – CÁLCULO INTEGRAL 
 
1. Pergunta 1 
/1 
Existem inúmeros meios de se tentar mensurar uma área sob uma curva. 
Uma aproximação válida é dada pela igualdade a seguir, que faz essa 
mensuração por meio de retângulos. 
 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca dessa 
representação, analise as afirmativas a seguir: 
I. ∆x refere-se a largura de cada retângulo. 
II. O n tendendo ao infinito indica um crescente número de retângulos. 
III. A multiplicação f(Xk)* ∆x equivale a área de um retângulo. 
IV. Esse método mensura com exatidão a área sob a curva. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
I, II e III. 
Resposta correta 
2. 
I e II. 
3. 
III e IV. 
4. 
I, II e IV. 
5. 
II e IV. 
 
 
 
 
Pergunta 2 
/1 
O Teorema Fundamental do Cálculo permite o cálculo de integrais definidas 
dado um intervalo de integração. Não somente por isso, esse Teorema é 
muito importante por um outro fator. 
Considerando essas informações, pode-se afirmar que Teorema 
Fundamental do Cálculo é relevante para o Cálculo, também porque: 
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6. 
ele torna dispensável a utilização das derivadas. 
7. 
ele permite o cálculo de integrais definidas. 
8. 
ele realiza a conexão do Cálculo Integral com o Cálculo 
diferencial. 
Resposta correta 
9. 
ele é o único teorema que envolve integrais. 
10. 
ele refuta a integral de Riemann. 
 
 
 
 
 
 
 
Pergunta 3 
/1 
Funções exponenciais são importantes funções que modelam fenômenos 
naturais, econômicos e sociais e, por esse motivo, como sabemos que a 
derivada e a integral possuem significados práticos para esses modelos, o 
estudo do Cálculo se faz indispensável para a análise quantitativa e 
qualitativa desses fenômenos. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral 
indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções exponenciais 
e logarítmicas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A função f(x) = -e^(x) apresenta apenas valores negativos de integral, 
qualquer que seja o intervalo de integração. 
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = 4/x no intervalo [1, e] é igual 
a 4. 
III. ( ) A integral indefinida de h(x) = 2e^(2x) resulta na primitiva H(x) = 
4e^(2x). 
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = x³ + e^x resulta na primitiva I(x) = 3x^4 
+ e^x + C. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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11. 
V, V, F, V. 
12. 
V, V, F, F. 
Resposta correta 
13. 
F, F, V, V. 
14. 
V, V, V, F. 
15. 
V, F, F, F. 
 
 
 
Pergunta 4 
/1 
As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo 
Cálculo. É por meio delas que se tem uma mensuração mais precisa de 
áreas, volumes e comprimentos. Identificar as propriedades das integrais 
definidas é essencial para a sua manipulação. 
De acordo com seu conhecimento acerca das propriedades das integrais 
definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) 
II. ( ) 
III. ( ) 
IV. ( ) 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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16. 
F, F, V, F. 
17. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
18. 
V, V, F, V. 
19. 
V, V, F, F. 
20. 
V, F, V, V. 
 
 
 
Pergunta 5 
/1 
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e 
o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e 
negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função como 
integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida, 
precisamos analisar a continuidade da função. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais 
indefinidas de funções circulares, analise as asserções a seguir e a relação 
proposta entre elas. 
I. A integral definida de f(x) = cos(x)/(sen²(x)) no intervalo [π/3, π/2] é 
igual a 1. 
Porque: 
II. A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por 
substituição de sen(x) por outra variável ou então reescrevendo a função 
como f(x) = (1/sen(x))(cos(x)/sen(x)) = cossec(x)cotg(x), cuja primitiva 
pode ser consultada em uma tabela de integração, sendo F(x) = -cossec(x) + 
C. Então, basta calcular F(π/2) – F(π/3). 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
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21. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
22. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
Resposta correta 
23. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma 
justificativa correta da I. 
24. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma 
proposição falsa. 
25. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é 
uma justificativa correta da I. 
 
Pergunta 6 
/1 
As funções trigonométricas, ou aquelas chamadas de funções circulares, são 
definidas a partir do círculo trigonométrico. Elas possuem um caráter 
periódico e suas variáveis e integrais estão relacionadas entre si. 
Com base no seu conhecimento acerca das integrais das funções 
trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral do seno relaciona-se com o cosseno. 
II. ( ) A integral da tangente relaciona-se com a secante. 
III. ( ) A derivada primeira e a integral do seno são iguais. 
IV. ( ) Ao integrar duas vezes a função seno, obtém-se –sen(x). 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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26. 
F, F, V, V. 
27. 
V, V, F, V. 
Resposta correta 
28. 
V, F, F, V. 
29. 
F, V, F, F. 
30. 
V, F, V, F. 
 
 
 
 
Pergunta 7 
/1 
As funções logarítmicas, principalmente na base ‘e’, logaritmo denominado 
logaritmo natural, são muito recorrentes em aplicações da matemática no 
dia a dia. Portanto, entender a dinâmica dessa função, qual sua derivada e 
integral auxilia nos processos de manipulação das funções. Sabe-se que a 
relação do logaritmo natural com uma integral é dada pela integral 
indefinida: 
 
Com base nos seus conhecimentos de integrais logarítmicas e as 
informações do texto, analise as afirmativas a seguir: 
I. Essa relação resolve um problema de derivação/integração da função 
polinomial x^(-1). 
II. Calcula-se aplicando essa relação, e obtém-se . 
III.Essa função é definida para quando x = 0. 
IV. Calcula-se aplicando essa relação, e obtém-se . 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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31. 
I e III. 
32. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
33. 
II e III. 
34. 
II e IV. 
35. 
I e II. 
 
Pergunta 8 
/1 
O estudo acerca das integrais é fundamental para alunos que estudam 
Cálculo. Por meio delas, tem-se uma medida analítica de algumas áreas, 
volumes e comprimentos, portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de 
integração indefinida, analise as afirmativas a seguir: 
I. Uma Integral indefinida é delimitada na forma . 
II. As integrais indefinidas dão somente uma resposta específica, ou seja, só 
há uma resposta possível. 
III. Com a integração indefinida, é possível calcular o valor da integral em 
um determinado ponto. 
IV. A constante adicionada ao final da integração indica que há uma família 
de respostas possível para o cálculo. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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36. 
I, II e IV. 
37. 
I, II, III. 
38. 
I e IV. 
Resposta correta 
39. 
II e IV. 
40. 
II, III. 
 
 
 
 
Pergunta 9 
/1 
As integrais de funções possuem inúmeros significados dentro da física, 
sendo que nosso primeiro contato com esses conceitos nessa área do 
conhecimento ocorre no estudo de movimento de corpos, trabalho de 
forças, volumes, pressões etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral 
indefinida edefinida e com seus conhecimentos sobre funções 
trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A primitiva de f(x) = sen(x) é F(x) = cos(x) + C. 
II. ( ) A integral de uma função sempre é calculável em um intervalo, pois, 
diferentemente da derivada, é possível calcular uma área que seja um 
número real para qualquer função, mesmo que seja descontínua no ponto. 
III. ( ) A primitiva de g(x) = cos(x) é G(x) = sen(x). 
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = 2cos(x) é igual a 0. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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41. 
F, F, F, V. 
Resposta correta 
42. 
F, V, F, V. 
43. 
F, F, V, F. 
44. 
V, V, F, F. 
45. 
V, F, F, V. 
 
 
 
Pergunta 10 
/1 
Funções exponenciais e logarítmicas têm comportamentos peculiares 
quando comparadas, já que a potência e o logaritmo são operações inversas, 
de forma que, quando aplicamos um expoente a uma base, calculamos o 
resultado por meio de uma multiplicação, enquanto, quando aplicamos o 
logaritmo de uma determinada base a um logaritmando, o resultado é o 
expoente a que se eleva essa base para chegarmos ao logaritmando. 
Dessa forma, considerando as funções f(x) = e^x e g(x) = ln(x) e também 
seus conhecimentos sobre as derivadas e integrais desses tipos de funções, 
é correto afirmar que: 
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46. 
No intervalo 0 < x < 1, a integral de f(x) é positiva e a de g(x) é 
negativa. 
Resposta correta 
47. 
Para x < 0, a taxa de variação de ambas as funções é negativa. 
48. 
Ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos 
números reais. 
49. 
No intervalo 0 < x < 1, a integral definida de ambas as funções é 
positiva. 
50. 
Ambas as funções não possuem taxa de variação em x = 0.