Aol 4 calculo vetorial

Prévia do material em texto

Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - 
Questionário 
9/10 
Conteúdo do exercício 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
/1 
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral dupla sobre uma região R. 
Para que seja válido o teorema, a curva C deve ser simples, ou seja para todos os valores 
contidos no intervalo aberto da variação do parâmetro t. Somado a isso, a região R deve ser 
simplesmente conexa, ou seja, a curva C que delimita a região deve ser simples, e delimitar apenas 
pontos que pertencem a R. 
Figura 6 – Regiões R2 e R3 
 
Cálculo Vetorial_BQ04- Questão20_v1(1).png 
Fonte: (LARSON; EDWARDS, 2009) 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, afirma-se que as 
regiões R2 e R3 são regiões não contempladas pelo teorema porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
são regiões que se adéquam à definição de simplesmente conexas: R2 por conter furos e R3 por 
sua fronteira cruzar ela mesma. 
2. Incorreta: 
são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário e anti-horário. 
3. 
são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: R3 por conter furos e R2 
por sua fronteira cruzar ela mesma. 
4. 
são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário. 
5. 
são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: R2 por conter furos e R3 
por sua fronteira cruzar ela mesma. 
Resposta correta 
2. Pergunta 2 
/1 
Em um contexto com variáveis reais definidas em domínios e imagens de pontos, o cálculo 
integrativo se dá com objetos matemáticos conhecidos como integrais. Já em um contexto vetorial, o 
cálculo integrativo se dá com objetos matemáticos conhecidos como integrais de linha. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, pode-se afirmar 
que as integrais referentes ao teorema fundamental do cálculo e as integrais de linhas, apesar de 
distintas, se relacionam porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
as integrais do contexto vetorial podem ser escritas como integrais duplas e triplas, referentes 
ao outro contexto integrativo. 
Resposta correta 
2. 
as integrais triplas conseguem definir qualquer tipo de objeto matemático. 
3. 
as integrais de linha possuem integrandos que não são vetores. 
4. 
ambas são definidas no mesmo contexto, em um cenário onde domínio e contradomínio 
representam conjuntos de pontos. 
5. 
ambas conseguem tratar do mesmo objeto matemático sem que haja perda de informações. 
3. Pergunta 3 
/1 
O teorema de Green, em sua forma vetorial, é utilizado para simplificar a resolução de integrais de 
linha em caminhos fechado. O teorema relaciona a borda do caminho com a área formado pelo 
caminho fechado, que deve ter orientação anti-horária. O teorema de Green possui mais de uma 
forma de ser escrito. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, analise as 
afirmativas a seguir. 
I. é uma forma do teorema de Green. 
II. é uma forma do teorema de Green, sendo . 
III. é uma forma do teorema de Green. 
IV. é uma forma do teorema de Green. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV. 
2. 
I e II. 
3. 
I e IV. 
4. 
I, II e III. 
5. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
4. Pergunta 4 
/1 
O teorema da divergência é bastante útil, pois consegue relacionar a integral de um campo vetorial 
sobre uma superfície com a integral de volume do divergente do campo vetorial. A princípio, pode 
não ser clara sua utilidade, porém, há diversos casos em que o problema é simplificado. Mas para 
utilizá-lo, há certos requisitos a serem atendidos. A definição é: 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, analise as 
afirmativas a seguir. 
I. A superfície S deve ser fechada. 
II. A superfície S deve ser orientada para dentro. 
III. O campo vetorial F deve possuir derivadas parciais contínuas. 
IV. O volume V deve ser maior que o definido pela superfície S. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e IV. 
2. 
I e IV. 
3. 
I e II. 
4. 
II e IV. 
5. 
I e III. 
Resposta correta 
5. Pergunta 5 
/1 
As integrais de linha retomam conceitos do Teorema Fundamental do Cálculo, possibilitando o 
cálculo de integrais em um contexto vetorial. Para isso, porém, deve-se encontrar maneiras 
algébricas para se trabalhar com os objetos matemáticos, de modo a tornar viável o cálculo de 
integrais e derivadas. 
Uma das maneiras algébricas de se trabalhar com alguns objetos é efetuando a parametrização. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados, pode-se dizer que a parametrização é de 
extrema importância para o Cálculo Vetorial porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
a parametrização é uma representação de uma função, ou seja, torna o objeto matemático 
integrável. 
Resposta correta 
2. 
a parametrização torna dispensável o trabalho com vetores. 
3. 
a parametrização é uma estrutura algébrica nula. 
4. 
a parametrização é uma maneira de se definir limites integrativos. 
5. 
a parametrização faz com que a integral de linha independa de limites integrativos. 
6. Pergunta 6 
/1 
O teorema de Stokes é bastante utilizado para simplificar o problema da integral de um campo 
vetorial sobre uma superfície para uma integral de linha. Ou seja, é utilizado no sentido contrário (da 
direita para a esquerda) de como temos escrito ele. Para tanto, é necessário que o campo vetorial em 
questão possa ser escrito como o rotacional de um outro campo. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, ordene as etapas a 
seguir de acordo com a sequência em que devem ser efetuados os passos para a utilização do 
teorema no sentido . 
( ) Verificar se campo vetorial pode ser escrito como um rotacional e se ele e a superfície satisfazem 
os requisitos do teorema. 
( ) Executar a integral de linha. 
( ) Parametrizar o caminho. 
( ) Fazer a mudança de sistema de coordenadas convenientes. 
( ) Projetar a superfície no plano XY para definir o caminho de integração. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
4, 3, 5, 2, 1. 
2. 
2, 1, 3, 4, 5. 
3. 
5, 4, 1, 3, 2. 
4. 
1, 5, 3, 4, 2. 
Resposta correta 
5. 
3, 4, 1, 2, 5. 
7. Pergunta 7 
/1 
Um dos requisitos do teorema de Green é que o caminho de integração seja fechado. Isto é, o ponto 
do começo da integração e do fim são o mesmo. Lembrando que o que está sendo somado são os 
vetores do campo, portanto o fato de ser fechado não torna a integral nula. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, pode-se dizer que o 
caminho deve ser fechado porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
a integral de caminho em um campo vetorial é definida em caminho fechado. 
2. 
só é possível definir uma área de integração com uma superfície fechada. 
Resposta correta 
3. 
o caminho fechada permite definir um volume. 
4. 
o caminho aberto poder ter singularidades. 
5. 
o caminho fechado faz a orientação ser anti-horário. 
8. Pergunta 8 
/1 
Os Teoremas de Green, Gauss e Stokes são teoremas que facilitam o trabalho algébrico com as 
integrais de linha e superfície. Eles definem equivalências com outras integrais, de modo que não se 
calcule as integrais de linha e superfície por definição.É interessante, também, lançar um outro olhar 
sobre esses teoremas. Observar as diferenças e similaridades acerca de seus aspectos vetoriais 
também é fundamental. 
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, Gauss e Stokes, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O Teorema de Green é pautado em regiões simplesmente conexas. 
II. ( ) Uma região R, que é delimitada por uma curva C que corta a si mesma, pode ser utilizada pelo 
Teorema de Green. 
III. ( ) O Teorema de Gaussé pautado em um sólido delimitado por superfícies. 
IV. ( ) O Teorema de Stokes é pautado em uma superfície orientada. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, F, V. 
2. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
3. 
F, F, V, V. 
4. 
F, F, V, F. 
5. 
V, V, F, F. 
9. Pergunta 9 
/1 
Os teoremas de Green, Stokes e Gauss são extremamente relevantes para o Cálculo Vetorial. Eles 
possibilitam o trabalho com integrais seja mais simples, em vez de se realizar o trabalho direto com 
integrais de superfícies e curvas. Entender o que enunciam esses teoremas é fundamental para o 
aperfeiçoamento das habilidades técnicas em Cálculo Vetorial. 
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, Gauss e Stokes, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral dupla sobre uma região 
R. 
II. ( ) O Teorema de Green possibilita o cálculo da integral através do gradiente de uma função. 
III. ( ) O Teorema de Gauss relaciona uma integral de superfície com uma integral tripla de um 
sólido. 
IV. ( ) O Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha com uma integral de superfície. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
2. 
V, V, F, F. 
3. 
V, F, F, V. 
4. 
F, F, V, F. 
5. 
F, F, V, V. 
10. Pergunta 10 
/1 
O teorema de Stokes pode ser dito que é uma versão de uma dimensão maior que o de Green. 
Lembrando que ambos relacionam uma integral de caminho com uma integral sobre uma superfície. 
Porém, eles não o fazem da mesma maneira. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, pode-se dizer que 
o teorema de Green e de Stokes são diferentes porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
o teorema de Stokes é usado para campos escalares e o de Green campos vetoriais. 
2. 
o teorema de Green usa o operador rotacional e de Stokes o operador divergente. 
3. 
o integrando da integral sobre a mesma superfície é diferente em cada um dos teoremas. 
4. 
a superfície do teorema de Stokes é uma superfície cuja projeção no plano do caminho é a 
superfície do teorema de Green. 
Resposta correta 
5. 
as superfícies de integração possuem orientações diferentes.