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Modelagem de Sistemas 
Dinâmicos
Modelagem de sistemas 
elétricos
Prof. Giancarlo Michelino Gaeta Lopes
• Unidade de Ensino: 2
• Competência da Unidade: Compreender e aplicar a modelagem de 
circuitos elétricos.
• Resumo: Apresentação da modelagem, aplicação e simulação de 
circuitos elétricos.
• Palavras-chave: circuito RC; circuito RL; circuito RLC; controlador PID; 
filtros RLC.
• Título da Teleaula: Modelagem de sistemas elétricos
• Teleaula nº: 2
Contextualização
• Todo circuito elétrico pode ser modelado?
• Em termos de controle analógico, o que cada 
elemento insere no sistema?
• Quais aplicações possíveis para diferentes 
circuitos elétricos?
https://upload.wikimedia.org/wikipedi
a/commons/6/68/PID.png
Modelagem 
matemática de 
sistemas elétricos:
amplificadores 
operacionais
Amplificadores operacionais
• Os AmpOp’s são utilizados para dar ganho de 
tensão, amplificando o sinal de entrada, de
duas formas:
• Amplificador Inversor;
• Amplificador Não Inversor;
Autoria própria
Modelagem de amplificadores operacionais
• Amplificador Inversor
���� = −
��
��
� ���
Autoria própria
Modelagem de amplificadores operacionais
• Amplificador Não Inversor
���� = 1 +
��
��
� ���
Autoria própria
Modelagem de amplificadores operacionais
• Somador Não Inversor
���� = −�� �
��
��
+
��
��1
V
OUTV
RFR1
R22V
Autoria própria
Modelagem de amplificadores operacionais
• Impedância Resistiva:
�� = �
• Impedância Capacitiva:
�� =
1
���
=
1
� � �
• Impedância Indutiva:
�� = ��� = � � �
• Impedância em série:
�� = �� + ��
• Impedância em paralelo:
�� =
�� � ��
�� + ��
Situação Problema
• Você é o engenheiro responsável 
pela equipe de P&D de uma 
empresa de desenvolvimento de 
sistemas embarcados;
• Projetar um controle automático de 
nível  Para isso foi proposta a 
utilização de um controlador PID 
analógico  Como modelar esse 
controlador?
TAVARES (2017)
https://images.pexels.com/photos/290271/pexels-photo-
290271.jpeg?cs=srgb&dl=aco-agua-alto-290271.jpg&fm=jpg
Resolvendo a situação-problema
• A montagem parte da estrutura de dois 
amplificadores inversores em série;
• Analisando o primeiro bloco:
Autoria própria
TAVARES (2017)
� = −
��
��
� ��
� = −
��� + ���
���||���
� ��
Sabendo que:
�� + �� = �� +
1
� � ��
=
� � �� � �� + 1
� � ��
��||�� =
�� �
1
� � ��
�� +
1
� � ��
=
��
� � ��
�� � � � �� + 1
� � ��
TAVARES (2017)
� = −
� � �� � �� + 1
� � ��
��
�� � � � �� + 1
� ��
�
��
= −
� � �� � �� + 1
� � ��
�
� � �� � �� + 1
��
�
��
= −
� � �� � �� + 1 � � � �� � �� + 1
� � �� � ��
• Continuando a resolução:
• Analisando o segundo bloco:
• Resolvendo:
�� = −
��
��
� �
TAVARES (2017)
Autoria própria
� = −
��
��
� ��
ou
�
��
= −
� � �� � �� + 1 � � � �� � �� + 1
� � �� � ��
��
��
=
��
��
�
� � �� � �� + 1 � � � �� � �� + 1
� � �� � ��
• Forma construtiva 
mais utilizada devido 
à facilidade de ajuste 
dos ganhos; 
Autoria própria
Modelagem 
matemática de 
sistemas elétricos:
circuito RC e RLC
Lei de Kirchhoff
• Lei dos nós ou das correntes: soma das 
correntes em um nó é igual à zero.
• Lei das malhas ou das tensões: soma das 
tensões em uma malha é igual à zero.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2f/1%C2
%AA_Lei_de_Kirchhoff_para_Circuitos_El%C3%A9tricos.PNG
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/com
mons/f/fa/Mesh_Analysis_Example2.PNG
Elementos dos circuitos
• Resistor:
• Capacitor:
• Indutor:
� = � � � � = � ��
�� = � �
���
��
�� = � � �� � �
�� = � �
���
��
�� = � � �� � �
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/RL
C_parallel_circuit_v1.svg/1280px-RLC_parallel_circuit_v1.svg.png
Modelagem de circuitos de 1ª ordem
• Composto por resistor e um outro 
elemento (capacitor ou indutor);
• Considerações para a modelagem 
de um circuito RC:
1. Obter a FT (saída pela entrada);
2. Lei das Malhas;
3. Elementos ideais;
4. Sentido horário;
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Ser
ies-RC.svg/1280px-Series-RC.svg.png
Modelagem de circuitos RC • Em que:
�� = ����
�� = � � �
� = ��
•��� − �� − �� = 0 �� = � �
���
��
�� = � � �� � �
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Ser
ies-RC.svg/1280px-Series-RC.svg.png
Modelagem de circuitos RC
• Substituindo:
��� − �� − �� = 0
��� − �� � � − �� = 0
��� − � � �� � � � � − �� = 0
��� − � � ���� � � � � − ���� = 0
• Colocando a tensão de saída em evidência:
��� − ����(� � � � � + 1) = 0
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Ser
ies-RC.svg/1280px-Series-RC.svg.png
�� = � � �
� = ��
�� = � � �� � �
�� = ����
Modelagem de circuitos RC
• Isolando ����:
��� = ���� � (� � � � � + 1)
1 � ���
(� � � � � + 1) 
= ����
• Obtendo a FT (FT = ���� ���� )
�� � =
����
���
=
1
(��� + 1) 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Ser
ies-RC.svg/1280px-Series-RC.svg.png
Circuitos de segunda ordem
• Possui resistores (R) e elementos armazenadores de energia (C e L);
• A ordem do sistema é dada pela quantidade de armazenadores de 
energia que tem no circuito;
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/RLC_pa
rallel_circuit_v1.svg/1280px-RLC_parallel_circuit_v1.svg.png
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commo
ns/thumb/f/fb/RLC_series_circuit_v1.svg/554px-
RLC_series_circuit_v1.svg.png
Como se modela um circuito RLC?
• Em que:
�� = ����
�� = � � �
�� = � � � � �
�� = � � �� � ���� − �� − �� − �� = 0
Autoria própria
• Substituindo:
��� − �� − �� − �� = 0
��� − �� � � − � � �� � � = ����
��� − � � ���� � � � � − � � � � ���� � � � � − ���� = 0
��� − ���� � ���
� + ��� + 1 = 0
• Isolando a tensão de saída:
��� =
���� � ���
� + ��� + 1
Autoria própria
Em que:
�� = ����
�� = � � �
�� = � � � � �
�� = � � �� � �
• Isolando a tensão de saída:
�� � =
����
���
=
1
���� + ��� + 1
• Rearranjando:
�� � =
����
���
=
1
���
�� +
�
�
� +
1
��
�(�)
�(�)
=
��
�
�� + 2���� + ���
Conclusão: �� =
�
��
Representação padrão de 
um sistema de 2ª Ordem:
Variáveis do circuito e equações
• Tempo de subida:
�� =
1,8
��
• Tempo de pico:
�� =
�
�� � 1 − �
�
• Tempo de estabelecimento (p/2%):
�� =
3,9
�� � �
• Máxima ultrapassagem (%):
�� = ����� ���
�⁄
• Fator de Qualidade
� =
1
2 � �
Modelagem 
matemática de 
sistemas elétricos 
com uso de software
Circuito RC com uso do Octave
• Aplicar um degrau e um impulso no circuito RC:
�� � =
����
���
=
1
(��� + 1) 
Autoria própria
Autoria própria
Circuito RLC com uso do Octave
• Aplicar um degrau, impulso e uma rampa no 
circuito RLC:
�� � =
����
���
=
1
���� + ��� + 1
SVOBODA (2016)
Modelagem em diagrama de blocos
• Realizar simulação em diagrama de blocos para entrada 
Rampa, com R = C = L =1 e depois alterar valores;
TAVARES (2017)
TAVARES (2017)
• Realize a modelagem do circuito, de forma a obter a 
sua função de transferência FT = ���� ���� ;
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Series-RL.svg/1280px-Series-RL.svg.png
�� = � = ����
Saiba que:
Exemplo – Modelagem do circuito RL
• Resolvendo a malha do circuito:
• Em que:
�� = ���� = �
�� = � � �
�� = � �
���
��
�� = � � �� � �
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Ser
ies-RL.svg/1280px-Series-RL.svg.png
��� − �� − �� = 0
��� − �� � � − � � �� � � = 0
• Colocando a corrente de saída em 
evidência:
��� − �� � � − � � �� � � = 0
��� − ����(� � � + �) = 0
• Obtendo a FT (FT = ���� ���� )
�� � =
����
���
=
1
(�� + �) 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thu
mb/b/bb/Series-RL.svg/1280px-Series-RL.svg.png
Situação Problema
•Você é o engenheiro responsável pela equipe de 
P&D de uma empresa de desenvolvimento de 
sistemas embarcados;
•Você já obteve a função de transferência que 
descreve o comportamento sistema de controle e 
redução de ruido para o controle de nível;
•Agora você deve comprovar a viabilidade dos 
componentesrealizando a simulação em diagrama 
de blocos do sistema;
https://images.pexels.com/photos/290271/
pexels-photo-290271.jpeg?cs=srgb&dl=aco-
agua-alto-290271.jpg&fm=jpg
Resolvendo a situação problema
• Montar no software o sistema de controle automático de nível:
• Verificar a resposta à entrada degrau;
TAVARES (2017)
Filtros RLC
Filtros RLC
• Filtro Passa-baixa:
SVOBODA (2016)
Autoria própria
Filtros RLC
• Filtro Passa-alta:
SVOBODA (2016)
Autoria própria
Filtros RLC
• Filtro de Banda Passante:
SVOBODA (2016)
Autoria própria
Filtros RLC
• Filtro de Banda de Rejeição
SVOBODA (2016)
Autoria própria
Variáveis e equações dos filtros
• Frequência de corte (em 
radianos/segundo):
�� =
1
��
• Frequência de corte (em hertz):
�� =
1
2 � � � ��
• Fator de Qualidade:
� =
1
�
�
�
�
Situação problema
•Você é o engenheiro responsável pela equipe de 
P&D de uma empresa de desenvolvimento de 
sistemas embarcados;
•Você já projetou e modelou um controlador PID 
analógico para ser utilizado no projeto;
•Agora você deverá atentar-se para o ruído 
presente no local do projeto. Como resolver essa 
situação? Como fazer que o ruído presente não 
interfira no controle do seu sistema?
https://images.pexels.com/photos/290271/
pexels-photo-290271.jpeg?cs=srgb&dl=aco-
agua-alto-290271.jpg&fm=jpg
Resolvendo a Situação Problema
• Frequência dos sinais de controle: 9 kHz;
• Frequência do sinal indesejado: 15 kHz;
• Filtro passa-baixa;
• Frequência de corte do filtro: 10 kHz;
• Fator de qualidade igual à 1.
�� =
1
2 � � � �� � =
1
�
�
�
�
SVOBODA (2016)
• Adotando L = 3mH:
10 × 10� =
1
2 � � � 3 × 10�� � �
3 × 10�� � � =
1
2 � � � 10 × 10�
= 15,915 × 10��
3 × 10�� � � = 15,915 × 10�� �
� =
0,253 × 10��
3 × 10��
= 84,43 ��
• Adotando capacitor comercial de 100 nF
� =
1
1
�
3 × 10��
100 × 10��
= 173,2 Ω
• Usando L = 3 mH, C = 100 nF e R = 180 Ω:
T � =
1
���
�� +
�
� � � +
1
��
�(�) =
3,33 × 10�
�� + 60 × 10� � � + 3,33 × 10�
Recapitulando
Recapitulando
• Modelagem de circuitos elétricos:
• Circuito RC e RL;
• Circuito RLC;
• Amplificador Operacional;
• Controlador PID analógico;
• Filtros passivos.