somas_telescopicas

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Arquivo cedido por Alex Pereira Bezerra Lista de Discussão OBM 
www.rumoaoita.com 
Somas Telescópicas 
São somas do tipo 
n
k
FnFkFkF
2
)1()()]1()([ ,vamos a alguns exemplos: 
Exemplo 1) Avaliar a soma kxkx
n
k
2,)cos(
1
. 
Solução: Vamos multiplicar e dividir o somatório por 
2
sen2 x .Daí segue que: 
n
k
n
k
n
k
xkxkkxxkxx
111 2
1
sen
2
1
sen)cos(
2
sen2)cos(
2
sen2 ,agora fica 
fácil basta substituir o valor de k de 1 até n e você vai obter: 
xxnxkxk
n
k 2
1
sen
2
1
sen
2
1
sen
2
1
sen
1
.Agora lembre que devemos 
dividir por 
2
sen2 x .Então fica 
2
1
2
sen2
2
1
sen
)cos(
1 x
xn
kx
n
k 
Exemplo 2) Calcular 
n
k kk0 2
1
1
1
tan 
Solução: Faça utgautga 1 e vtgbvtgb 1 ,temos que 
tgbtga
tgbtgabatg
.1
)( substituindo temos: 
vu
vu
vtgutgtg
.1
)( 11
uv
vu
tgvtgutg
1
111
 por simplicidade tome 
ktgak
1
.Daí segue : 
1
1
)1(1
1
.1 21
1
1 kkkk
kk
tgatga
tgatga
aatg
kk
kk
kk .Pronto 
agora fica fácil,vejamos: 
4
1
1
1 1
11
0
1
0
1
1
2
0
1 ntgaaaaaatgtg
kk
tg n
n
k
kk
n
k
kk
n
k 
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Exercícios 
1)Prove que : 
Zkkx
xx
xngx
nx
nx
x
x
x
x
n
,
2
,
cos.sen
)1cos(
cot)cos(
)sen(
)2cos(
)2sen(
cos
sen
 
2)Prove que: 
º1sen
º1cos
º89cosº.88cos
1
º2cosº.1cos
1
º1cosº.0cos
1
2
 
3)Tome n como um inteiro positivo e a como um número real, tal que a é um número 
irracional. Calcule a soma 
anaaaaa )12cos(cos
1
)5cos(cos
1
)3cos(cos
1
 
4)Prove a identidade 
12
1 1
2
1
1
n
n
tg
k
tg
n
k 
5)Avalie a soma 
n
k
n
a
tg
22
1
1
 onde Zkka ,
 
6)Prove que )sen(
4
1
3
sen3 3
1
1 aa
a
n
n
n
 
7)Prove que para todo inteiro n e para todo número real Zknmkx
m
),,..,2,1,0
2
 
)2(cotcot)2sen(
1
)4sen(
1
)2sen(
1
xggx
xxx
n
n
 
8)Calcule 12cos
2
4cot
2
2cos
1
n
ntg
g
tgtg
 
9)Avalie o produto 
n
k
n
k
tg
1
2
12
21
 
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10) Avalie o produto 
n
k
n
k
1 13
3.2
cos21
 
Gabarito 
3)
a
angga
sen2
)1(cotcot
 
5) ga
a
cot
1
 
8) 12 1 tgtg n
 
9) n2
 
10) 1