Álgebra-Módulo 15 - Aulas 26 e 27 - P A e P G

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ÁLGEBRA
Módulo 15
Aula 26: Progressão Aritmética (P.A.)
Aula 27: Progressão Geométrica (P.G.)
Sequências Numéricas
238
Álgebra
Módulo 15
(2, 10, 18, ...... , ...... , ...... ) 
(2, 5, 8, ...... , ...... , ...... ) 
(97, 94, 91, ...... , ...... , ..... ) 
( , , 3, , ..... , ...... ) 
3
5
3
7
3
11
(1, 3, 9, ...... , ...... , ...... ) 
(243, 81, 27, ...... , ...... , ...... ) 
(5, -10, 20, -40, ...... , ...... ) 
(2, 4, 8, 16, ...... , ...... ) 
Progressão Aritmética (P.A.)
239
Álgebra
Módulo 15
P.A.: (a1, a2, a3, a4, a5, ... , an) 
Termo Geral
Obs.: Um termo em função de outro qualquer
(PUCCamp)
Em 31/12/1990, uma máquina foi comprada por 5.000
dólares e, a partir de então, o valor dela, no último dia de
cada ano subsequente, decresceu segundo os termos de
uma progressão aritmética. Se em 31/12/1999 o valor era
de 3.650 dólares, espera-se que em 31/12/2000 o valor,
em dólares, seja igual a:
a) 3.300
b) 3.330
c) 3.420
d) 3.450
e) 3.500
Progressão Aritmética (P.A.)
240
Álgebra
Módulo 15
PROPRIEDADES
✓ Termos Equidistantes (U. Caxias do Sul)
Sabendo que a sequência (1 – 3x, x – 2, 2x + 1, ...) 
é uma P.A., então o décimo termo da P.A. (5 – 3x, x 
+ 7, ...) é:
a) 62 
b) 40 
c) 25 
d) 89 
e) 56
P.A.: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38)
✓ Termos Consecutivos
✓ Notação Especial
Progressão Aritmética (P.A.)
241
Álgebra
Módulo 15
(CEFET-MG)
A soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre
100 e 250 é igual a:
a) 3325
b) 3850
c) 3500
d) 3825
e) 3675
Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Gauss – séc. XIX
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100
Exercícios de Aplicação
242
Álgebra
Módulo 15
1. (PUC-SP)
Se o 4º. e o 9º. termos de uma PA são,
respectivamente, 8 e 113, então a razão r da
progressão é:
a) r = 20
b) r = 21
c) r = 22
d) r = 23
e) r = 24
2. (Fatec-Adaptado)
Interpolando 5 meios aritméticos entre 18 e 96,
tem-se a3 (terceiro termo da sequência) igual a:
a) 43
b) 44
c) 45
d) 46
e) 47
3. (ITA)
O valor de n que torna a sequência 2 + 3n, – 5n, 1 – 4n uma progressão aritmética
pertence ao intervalo:
Exercícios de Aplicação
243
Álgebra
Módulo 15
a) [–2, –1]
b) [–1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]
Exercícios de Aplicação
244
Álgebra
Módulo 15
4. (EsPCEx 2019)
Uma fábrica de tratores agrícolas, que começou a produzir em 2010, estabeleceu
como meta produzir 20.000 tratores até o final do ano de 2025. O gráfico abaixo
mostra as quantidades de tratores produzidos no período 2010-2017.
Admitindo que a quantidade de tratores produzidos evolua nos anos seguintes segundo a mesma razão de
crescimento do período 2010-2017, é possível concluir que a meta prevista
a) deverá ser atingida, sendo superada em 80 tratores.
b) deverá ser atingida, sendo superada em 150 tratores.
c) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 1.850 tratores a menos.
d) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 150 tratores a menos.
e) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 80 tratores a menos.
Exercícios de Aprofundamento
245
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1. (Fuvest)
Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo
ABC, cujos vértices são A = (–a, 0), B = (0, b) e C = (c, 0), é igual a b, então o valor de b é:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
246
Álgebra
Módulo 15
2. (Fuvest)
Um número racional r tem representação decimal da forma r = a1a2,a3 onde 1 ≤ a1 ≤ 9, 0 ≤ a2 ≤ 9, 0 ≤ a3 ≤ 9.
Supondo-se que:
- a parte inteira de r é o quádruplo de a3,
- a1, a2, a3 estão em progressão aritmética,
- a2 é divisível por 3,
então a3 vale:
a) 1
b) 3
c) 4
d) 6
e) 9
Exercícios de Aprofundamento
247
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3. (Unicamp)
Seja x um número real, 0 < x < /2, tal que a sequência (tan x, sec x, 2) é uma progressão aritmética 
(PA). Então, a razão dessa PA é igual a 
a) 1. 
b) 5/4. 
c) 4/3. 
d) 1/3. 
Exercícios de Aprofundamento
248
Álgebra
Módulo 15
4. (Mackenzie)
Se log2, log(2x – 1) e log(2x + 3) nessa ordem, estão em progressão aritmética crescente, então o
valor de x é
a) 2
b) log23
c) log25
d) 23
e) 25
Exercícios de Aprofundamento
249
Álgebra
Módulo 15
Progressão Geométrica (P.G.)
P.G.: (a1, a2, a3, a4, a5, ... , an) 
Termo Geral
Obs.: Um termo em função de outro qualquer
Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A
espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma
pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira
vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas
quantas já houverem sido colocadas anteriormente.
Determine, ao final de 9 dessas operações qual será
a altura atingida pela pilha de tábuas?
250
Álgebra
Módulo 15
Progressão Geométrica (P.G.)
P.G.: (2, 6, 18, 54, 162, 486, ...) 
PROPRIEDADES (PUC-SP)
A sequência (4x, 2x + 1, x – 1) é uma PG. Então, o
valor de x é:
a) –1/8
b) – 8
c) – 1
d) 8
e) 1/8
✓ Termos Equidistantes
✓ Termos Consecutivos
✓ Notação Especial
251
Álgebra
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Progressão Geométrica (P.G.)
FÓRMULAS
✓ q > 1
✓ q < 1
Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
Milionário(a) em 30 dias
252
Álgebra
Módulo 15
Progressão Geométrica (P.G.)
Fórmula da Soma Infinita
Soma dos “Infinitos” termos de uma P.G.
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
1
128
1 ...
Soma = 
Chocolate INTEIRO
1. A sequência (4x; 2x + 1; x – 1) é uma P.G. 
Encontre:
a) o valor de x.
b) a sua razão.
c) o sexto termo dessa progressão.
Exercícios de Aplicação
253
Álgebra
Módulo 15
Exercícios de Aplicação
254
Álgebra
Módulo 15
2. (PUC-SP)
A soma dos n primeiros termos da sequência
(6, 36, 216,..., 6n,...)
é 55.986. Nessas condições, considerando
log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de log n é:
a) 0,78
b) 1,08
c) 1,26
d) 1,56
e) 1,68
Exercícios de Aplicação
255
Álgebra
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3. (UFRGS)
Considere o padrão de construção representado pelos triângulos equiláteros abaixo.
O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura
é h; a altura do triângulo da etapa 2 é metade da
altura do triângulo da etapa 1; a altura do triângulo
da etapa 3 é metade da altura do triângulo da etapa
2 e, assim, sucessivamente.
Assim, a soma dos perímetros da sequência infinita
de triângulos é
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
1. (Fuvest-Adaptada)
Uma sequência de números reais a1, a2, a3, ... satisfaz à lei de formação
an+1 = 6an , se n é ímpar
an+1 = (1/3) an, se n é par.
Sabendo-se que a1 = 2,
a) escreva os seis primeiros termos da sequência.
b) determine a37 e a38. 
Exercícios de Aprofundamento
256
Álgebra
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2. (ITA)
Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por (0,3; 0,03; 0,003; ...) é igual ao termo
médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos da progressão
aritmética vale:
Exercícios de Aprofundamento
257
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a) 1/3
b) 2/3
c) 1
d) 2
e) 1/2
3. (UFRGS) Na figura abaixo, encontram-se representados quadrados de maneira
que o maior quadrado (Q1) tem lado 1. O quadrado Q2 está construído com vértices
nos pontos médios dos lados de Q1; o quadrado Q3 está construído com vértices nos
pontos médios dos lados de Q2 e, assim, sucessiva e infinitamente.
Exercícios de Aprofundamento
258
Álgebra
Módulo 15
A soma das áreas da sequência infinita de triângulos sombreados na figura é
1. (Fuvest)
Sejam a e b números reais tais que:
(i) a, b e a + b formam, nessa ordem, uma PA;
(ii) 2a, 16 e 2b formam, nessa ordem, uma PG.
Então o valor de a é: 
a) 2/3 
b) 4/3 
c) 5/3 
d) 7/3 
e) 8/3
259
Álgebra
Módulo 15
Mais P.A. e P.G.
2. (Mack)
Em uma sequência de quatro números, o primeiro é igual ao último; os três primeiros, em progressão
geométrica, têm soma 6, e os três últimos estão em progressão aritmética. Um possível valor da
soma dos quatro termos dessa sequência é:
a) 10
b) 18
c) 12
d) 14
e) 20
Mais P.A. e P.G.
260
Álgebra
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3. (Vunesp)
A sequência de números reais a, b, c, d forma,nessa ordem, uma PA cuja soma dos
termos é 110; a sequência de números reais a, b, e, f forma, nessa ordem, uma PG de
razão 2. A soma d + f é igual a:
Mais P.A. e P.G.
261
Álgebra
Módulo 15
a) 96
b) 102
c) 120
d) 132
e) 142