Resoluções da Lista Mínima - Função Inversa e Função Composta

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Resoluções da Lista Mínima – Álgebra – Módulo 12 
(Aulas 20 e 21: Função Inversa e Função Composta) 
 
 
Resoluções: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
A inversa de y 2x 1= − é x 2y 1,= − ou seja, 
x 1
y
2
+
= 
 
A inversa de y 1 2x= − é x 1 2y,= − ou seja, 
1 x
y
2
−
= 
 
Assim, os dois pares de funções inversas são: 
[A] y 2x 1= − e [C] 
x 1
y
2
+
= 
[B] 
1 x
y
2
−
= e [E] y 1 2x= − 
 
Portanto, a função que não pertence a nenhum dos pares citados é a que aparece na 
alternativa [D]. 
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Queremos calcular f(g(2)). Assim, como 
2g(2) (2 1) 1,= − = segue que 1f(g(2)) 2 2.= = 
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Impondo f(x) 2,= − temos 
5 9
2 2x 4 5 x .
2 x 2
− =  − =  =
−
 
 
Portanto, segue que 1
9
f ( 2) .
2
− − = 
 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Do gráfico, sabemos que g(1) 0= e f(1) 1.= − Logo, como f(0) 1= e g( 1) 0,− = obtemos 
 
f(g(1)) g(f(1)) f(0) g( 1)
1 0
1.
− = − −
= −
=
 
 
 
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Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
Como 2f( 1) ( 1) 2 ( 1) 5 4,− = − +  − + = segue que 
 
2f(f( 1)) f(4) 4 2 4 5 29.− = = +  + = 
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Como f(3) 2 3 1 7=  + = e g(3) 3 3 1 10,=  + = segue que 
 
f(g(3)) g(f(3)) f(10) g(7)
2 10 1 (3 7 1)
20 1 21 1
1.
− = −
=  + −  +
= + − −
= −
 
 
 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Desde que 1h(0) 2 2= = temos, = − =h(2) 2 1 1 e, portanto, vem 1 1h(1) 2 4.+= = 
 
Portanto, a resposta é 
= = =h(h(h(0))) h(h(2)) h(1) 4. 
 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
Calculando: 
1
g(f(x)) 3 (2x 1) 2 2x
2 x
g (f(x)) x 2 2x y
2
−
= − + = −
−
 = −  =
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [E] 
 
Lembrando que é possível definir tantas funções quanto queiramos por meio da lei 
2x 1
f(x) ,
x 1
−
=
+
 vamos supor que o domínio de f seja o conjunto dos números reais x, tal que 
𝑥 ∈ ℝ − {−1}. Assim, temos 
2x 1
y yx y 2x 1
x 1
x(y 2) (y 1)
y 1
x .
2 y
−
=  + = −
+
 − = − +
+
 =
−
 
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Portanto, sendo 1
x 1
f (x)
2 x
− +=
−
 a lei da inversa de f, podemos afirmar que a imagem de f é o 
conjunto dos números reais y tal que 𝑦 ∈ ℝ − {2}. 
 
 
Resposta da questão 10: 
 a) A função g será definida quando: 
1
1 4x 0 x
4
−    
 
Portanto o domínio da função será dada por: 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠
1
4
} 
 
 
b) Trocando g(x) por x e x por 1g (x),− temos: 
𝑥 =
3 ⋅ 𝑔−1(𝑥) − 4
1 − 4 ⋅ 𝑔−1(𝑥)
⇒ 𝑥 − 4 ⋅ 𝑔−1(𝑥) ⋅ 𝑥 = 3 ⋅ 𝑔−1(𝑥) − 4 ⇒ 𝑥 + 4 = 3 ⋅ 𝑔−1(𝑥) + 4 ⋅ 𝑔−1(𝑥) ⋅ 𝑥 ⇒ 
𝑔−1(𝑥) ⋅ (3 + 4𝑥) = 𝑥 + 4 ⇒ 𝑔−1(𝑥) =
𝑥+4
3+4𝑥
 
 
 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
Sabendo que o gráfico de uma função e sua inversa são simétricos em relação à reta y x,= 
podemos concluir que a única possibilidade, dentre as apresentadas, é xf(x) 10= e 
g(x) logx.= 
 
 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
Lembrando que uma função só está bem definida quando conhecemos o seu domínio, 
contradomínio e a lei de associação, vamos supor que 𝑓: ℝ → ℝ e 𝑔: ℝ → ℝ. Além disso, por 
exemplo, a função g f está definida apenas quando o contradomínio de f é igual ao domínio 
de g. 
 
Desse modo, o valor de x para o qual se tem f(g(x)) g(f(x))= é 
 
2 2 2 2x 2x 4 3 (x 3) 2(x 3) 4 x 2x 3 x 6x 9 2x 6
6x 15 3
x 3.
− + − = − − − +  − − = − + − +
 = +
 =
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
Temos que 
 
 
2
2
2
f(g(x)) (x 1) 4(x 1)
x 2x 1 4x 4
x 2x 3
(x 3)(x 1).
= − + −
= − + + −
= + −
= + −
 
 
Assim, a função f g está definida para os valores de x tais que 
 
 (x 3)(x 1) 0 x 3 ou x 1,+ −    −  
ou seja, 
 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −3 ou 𝑥 ≥ 1}. 
 
 
Resposta da questão 14: 
 [C] 
 
Tem-se que 
x 2
yx 2y x 2
x 2
(y 1)x 2y 2
2y 2
x .
y 1
y
+
 − = +
−
 − = +
+
 =
−
=
 
 
Portanto, sendo 𝑓: ℝ − {2} → ℝ − {1}, a inversa de f é 𝑓−1: ℝ − {1} → ℝ − {2}, com 
1 2x 2f (x) .
x 1
− +=
−
 
 
Daí, como f(0) 1,= − 1f (0) 2− = − e 1f ( 1) 0,− − = vem 
1 1 2 2[f(0) f (0) f ( 1)] ( 1 ( 2) 0) 9.− −+ + − = − + − + = 
 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
Lembrando que uma função só está bem definida quando conhecemos o seu domínio, 
contradomínio e a lei de associação, vamos supor que 𝑓: ℝ → ℝ com f(x) ax b.= + Logo, como 
a taxa de variação de f é igual a 2, segue-se que f(x) 2x b.= + 
 
A lei da função inversa de f é dada por 
 
1
y 2x b x 2y b
1 b
f (x) x .
2 2
−
= +  = +
 = −
 
 
Desse modo, sendo o zero de 1f− é igual a 6, vem 
 
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1 b
0 6 b 6.
2 2
=  −  = 
 
Portanto, o gráfico que melhor representa a função afim f é o da alternativa [A]. 
 
 
Resposta da questão 16: 
 [E] 
 
Tem-se que 
g(x) f(f(x))
2x 1
f
x 2
2x 1
2 1
x 2
2x 1
2
x 2
5x
5
x.
=
+ 
=  
− 
+
 +
−=
+
−
−
=
=
 
 
 
Resposta da questão 17: 
 [E] 
 
Calculando: 
2 2
k g h(f(1))
4
g sen 2 sen 1
4 4 2
f(1) x 3x 1 3 1 4
h(4) 4 2
k 1 2 3
π
π π π
 
= + 
 
     
=  = =     
     
= + = +  =
= =
= + =
 
 
 
Resposta da questão 18: 
 [B] 
 
Se − =g(f( 2)) 12, então 
2( 2)
b k 12 b 10 k.
2
−
+ + =  = − 
 
Daí, sendo − = −f(g( 5)) g( 2), temos 
2
2
2
( 5 k)
10 k 2 k k 14k 49 0
2
(k 7) 0
k 7.
− +
+ − = − +  − + =
 − =
 =
 
 
Portanto, vem =b 3 e, assim, encontramos 
2( 4)
f( 4) 3 11 f(g( 3)).
2
−
− = + = = −