Triângulo de Pascal e Binômio de Newton

Prévia do material em texto

Triângulo de Pascal






0
1
Linha 0 → 





0
0
C
o
lu
n
a
 0
 →






0
2






0
3






0
4






0
5
Linha 1 →
Linha 2 →
C
o
lu
n
a
 1
 →






1
1






1
2






1
3






1
4






1
5






2
2






2
3






2
4






2
5






3
3






3
4






3
5






4
4






4
5






5
5
C
o
lu
n
a
 2
 →






0
1
Linha 0 → 





0
0
C
o
lu
n
a
 0
 →






0
2






0
3






0
4






0
5
Linha 1 →
Linha 2 →
Linha 3 →
Linha 4 →
Linha 5 →
C
o
lu
n
a
 1
 →






1
1






1
2






1
3






1
4






1
5






2
2






2
3






2
4






2
5






3
3






3
4






3
5






4
4






4
5






5
5
C
o
lu
n
a
 2
 →
C
o
lu
n
a
 3
 →
C
o
lu
n
a
 4
 →
C
o
lu
n
a
 5
 →
1Linha 0 →
Linha 1 →
Linha 2 →
Linha 3 →
Linha 4 →
Linha 5 →
C
o
lu
n
a
 0
 →
C
o
lu
n
a
 1
 →
C
o
lu
n
a
 2
 →
C
o
lu
n
a
 3
 →
C
o
lu
n
a
 4
 →
C
o
lu
n
a
 5
 →
1
1
C
o
lu
n
a
 6
 →
Linha 6 →
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
1
4
10
20
1
5
15
1
6 1
Triângulo de Pascal
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7 1
Propriedade 1:
A soma de dois binomiais consecutivos de uma mesma
linha é igual ao binomial situado imediatamente abaixo do
binomial da direita.
Relação de Stifel 
+
Geometria:
P1
+=
+ =
(Propriedades)
Triângulo de Pascal
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7 1
+ + + + + + = 64 = 26
+ + + = 8 = 23
Propriedade 2:
A soma de todos os elementos de uma linha n, é 2n.
Geometria:
P2 2n
(Propriedades)
Triângulo de Pascal
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7 1
+
+
+
+
+
+
+
Propriedade 3:
A soma dos elementos de uma coluna é igual ao elemento
que está avançado uma linha e uma coluna sobre a última
parcela.
Geometria:
P3
(Propriedades)
Triângulo de Pascal
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7 1
+
+
+
Propriedade 4:
A soma dos elementos de uma diagonal, é igual ao elemento
que está imediatamente abaixo da última parcela
+
+
+
+
Geometria:
P4
(Propriedades)
Triângulo de Pascal
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7 1
iguais
Propriedade 5:
Em qualquer linha, dois binomiais equidistantes dos extremos
são complementares e, portanto, iguais.
Geometria:
P5
(Propriedades)
Triângulo de Pascal
+






0
1






0
0






0
2






0
3






0
4






0
5






1
1






1
2






1
3






1
4






1
5






2
2






2
3






2
4






2
5






3
3






3
4






3
5






4
4






4
5
+






5
5
1. O valor de + é:
a) b)
c) d)
e) 
20
13
20
14
20
14
20
15
21
14
21
15
21
13
P1
EXERCÍCIOS
(Aplicação)
1 + =
+ =
EXERCÍCIOS
2. (FGV) Sabendo-se que x
p
m
=





e
Resolução:
No Triângulo de Pascal:
y
1p
1m
=





+
+
, então 





+1p
m
é igual a:
a) x + y
b) x - y
c) y - x
d) x - p
e) y - p
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
1
4
10
1
5 1






0
4






0
5






1
4






1
5






2
4






2
5






3
4






3
5






4
4






4
5
+






5
5
(Aplicação)
Resolução:
No Triângulo de Pascal:






0
4






0
5






1
4






1
5






2
4






2
5






3
4






3
5






4
4






4
5






5
5
Logo:






p
m






+1p
m






+
+
1p
1m
+
ou seja:
x + 





+1p
m
= y 
x





+1p
m
= y 
+
=
EXERCÍCIOS
2. (FGV) Sabendo-se que x
p
m
=





e y
1p
1m
=





+
+
, então 





+1p
m
é igual a:
a) x + y
b) x - y
c) y - x
d) x - p
e) y - p
(Aplicação)
+ + + = 8 = 23






0
1






0
0






0
2






0
3






0
4






0
5






1
1






1
2






1
3






1
4






1
5






2
2






2
3






2
4






2
5






3
3






3
4






3
5






4
4






4
5






5
5
3. Calcule
=





7
0k k
7
EXERCÍCIOS
(Aplicação)
7
2
7
3
7
4
7
5
7
1
7
0
7
6

=





7
0k k
7 7
7
= + + + + + + +
 
=





7
0k k
7
= 27 = 128
3. Calcule
=





7
0k k
7
EXERCÍCIOS
(Aplicação)
+
+
+






0
1






0
0






0
2






0
3






0
4






0
5






1
1






1
2






1
3






1
4






1
5






2
2






2
3






2
4






2
5






3
3






3
4






3
5






4
4






4
5






5
5
4. Calcule 
=





5
2k 2
k
EXERCÍCIOS
(Aplicação)
4
2
5
2
3
2
2
2

=





5
2k 2
k 6
3
= + + + =

P3
6
3
=
6!
3! (6 − 3)!
=
6 x 5 x 4 x 3!
3! 3!
= 20
x x
4. Calcule 
=





5
2k 2
k
EXERCÍCIOS
(Aplicação)






3
5






1
3






1
2






1
1
+
+
+






0
1






0
0






0
2






0
3






0
4






0
5






1
4






1
5






2
2






2
3






2
4






2
5






3
3






3
4






4
4






4
5






5
5
5. Calcule 
=





 +4
0k k
2k
EXERCÍCIOS
(Aplicação)
4
2
5
3
3
1
2
0

=





 +4
0k k
2k 7
4
= + + + =

7
4
=
7!
4! (7 − 4)!
=
7 x 6 x 5 x 4!
4! 3!
= 35
x x
6
4
+
P4
5. Calcule 
=





 +4
0k k
2k
EXERCÍCIOS
(Aplicação)






1
3






1
2






1
1
iguais






0
1






0
0






0
2






0
3






0
4






0
5






1
4






1
5






2
2






2
3






2
4






2
5






3
3






3
4






3
5






4
4






4
5






5
5






0
5






1
5






2
5






3
5






4
5






5
5
Binomiais Complementares
Desenvolva:
(a+ b)0 = 
(a + b)1 =
(a + b)2 =
(a + b)3 =
(a + b)4 = 
1
?
a
a2
a3
2ab b2
+
+
b
+
+ + +3a2b 3ab2 b3
BINÔMIO DE NEWTON
(Desenvolvimento)
(a + b)0 = 
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 a b2 + b3
(a + b)4 = + + + +
1
1
1
1
1
1
1
1
14 6 4
Desenvolva:
BINÔMIO DE NEWTON
(Desenvolvimento)
(a + b)0 = 
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 a b2+ b3
(a + b)4 = + + + +
1
1
1
1
1
1
1
1
14 6 4
Desenvolva:
a0
a0
a0
a4 a1a2a3 a0
1
1
1
BINÔMIO DE NEWTON
(Desenvolvimento)
(a + b)0 = 
(a + b)1 = a1 + b
(a + b)2 = a2 + 2 a1b + b2
(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 a1 b2+ b3
(a + b)4 = + + + +
1
1
1
1
1
1
1
1
14 6 4
Desenvolva:
a0
a0 
a0
a4 a1a2a3 a0
b0
b0
b0
b0 b1 b2 b3 b4
1
1
1
BINÔMIO DE NEWTON
(Desenvolvimento)
(a + b)0 = 
(a + b)1 = a1 + b1
(a + b)2 = a2 + 2 a1b1 + b2
(a + b)3 = a3 + 3 a2b1 + 3 a1b2 + b3
(a + b)4 = + + + +
1
1
1
1
1
1
1
1
14 6 4
Desenvolva:
a0
a0
a0
a4 a1a2a3 a0
b0
b0
b0
b0 b1 b2 b3 b4
(a + b)5 = + + + + +1 55 10 10a5 a2a3a4 a1b0 b1 b2 b3 b4 1 a0b5
BINÔMIO DE NEWTON
(Desenvolvimento)
Desenvolva:
(a + b)6 = + + + + + +1 156 15 20a6 a3a4a5 a2b0 b1 b2 b3 b4 6a1b5 1a0b6
(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
BINÔMIO DE NEWTON
(a + b)0 = 
(a + b)1 = a1 + b1
(a + b)2 = a2 + 2 a1b1 + b2
(a + b)3 = a3 + 3 a2b1 + 3 a1b2 + b3
(a + b)4 = + + + +
1
1
1
1
1
1
1
1
14 6 4
a0
a0
a0
a4 a1a2a3 a0
b0
b0
b0
b0 b1 b2 b3 b4
(a + b)5 = + + + + +1 55 10 10a5 a2a3a4 a1b0 b1 b2 b3 b4 1 a0b5
(Desenvolvimento)
(a + b)0 = 
(a + b)1 = a1b0 + a0b1
(a + b)2 = a2b0 + 2a1b1 + a0b2
(a + b)3 = a3b0 + 3a2b1 + 3 a1b2 + a0b3
(a + b)4 = + + + +
1
1
1
1
1
1
1
1
14 6 4a4 a3 a2 a1 a0b0 b1 b2 b3 b4
(a + b)5 = a5b0 + 5a4b1 +10a3b2 +10a2b3 + 5 a1b4 + a0b51 1
.
.
.
(a + b)n = 





0
n
anb0 + 





1
n
an-1b1 + 





2
n
an-2b2 +... 





k
n
an-kbk++ ... 






n
n
a0 bn+
Termo Geral
Tk + 1 = 





k
n
an−k bk
1. termo 2. termo 3. termo Termo de ordem k + 1
Desenvolva:
BINÔMIO DE NEWTON
Termo Geral
(Desenvolvimento)